第一章有理数和实数

第一章有理数

方法技巧归纳

（一）有理数的识别方法

1、识别有理数的依据是有理数的定义及分类标准。

2、有限小数或无限小数都可以转化为分数，故这样的小数也叫分数，填入分数集合时不要漏掉。

3、0既不是正数也不是负数，但它是整数。

4、正数是相对于负数而言的，整数是相对于分数而言的，正有理数包括正整数和正分数。

（二）求相反数的方法与多层性质符号的化简办法

1、求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“-”即可。若求一个代数式（含和、差形式）的相反数，则把这个代数式作为一个整体用括号括起来，再在前面加一个“-”。

2、多层性质符号的式子，其化简结果的符号只与“-”的个数有关，若“-”有偶数个，则结果为正；若“-”有奇数个，则结果为负。（三）绝对值的求法

1、求一个数的绝对值，就是想办法去掉绝对值号，顺序为“先判后去”，即先判定绝对值号内的数（或式）的符号，再根据绝对值的性

质去掉绝对值号。

（四）绝对值非负性的应用

1、对于任意有理数a，有|a|≥0.若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0.

（五）数轴与有理数大小比较的方法

1、在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大。根据正、负数在数轴上的位置可知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。在利用数轴比较有理数的大小时，先要确定好有理数在数轴上的位置。

2、用不等式表示正数和负数：

①正数大于0，反之，大于0的数都是正数。

②负数小于0，反之，小于0的数都是负数。

③a为非负数，用“a≥0”表示；a为非正数，用“a≤0”表示。（六）数轴上两点间的距离

1、数轴上两点间的距离等于表示该两点的数的差的绝对值。

2、求两点间的距离，常常运用数形结合的思想，借助数轴来解决。（七）有理数加法运算的解题技巧

1、在进行有理数加法运算时，首先要弄清楚两个加数的情况，其次按照“一定，二求，三和差”的步骤完成解题任务。“一定”即先确

定和的符号；“二求”即求加数的绝对值；“三和差”即分析确定绝对值是相加还是相减。

2、在运算中可灵活运用运算律，使运算简化。

3、多个有理数相加得运算，通常遵循以下规律：①互为相反数的两个数相加；②相加得到整数的几个数相加；③分母相同的数相加；④符号相同的数相加；⑤整数与整数相加，小数与小数相加。另外，多个加数相加是，往往有多种组合方法，不定要硬套规律，要仔细观察，根据题目的特点，只要能使运算简便易行即可。

（八）、有理数减法运算的解题规律

1、有理数的减法，不像算术里那样直接减，而是把它转化为加法，借助加法进行计算。关键是准确理解减法法则，注意“两变”和“一不变”。“两变”即改变运算符号和改变减数的性质符号；“一不变”即被减数和减数的位置不能交换。

（九）有理数加减混合运算的规律技巧

1、有理数的加减混合运算的方法：①运用有理数减法法则，将有理数加减混合运算中的减法运算统一为加法运算，然后省略加号和括号；

②运用运算律，使运算简便。

2、在运算过程中，遵循以下原则：①正数和负数分别相结合；②同分母分数或比较容易通分的分数相结合；③互为相反数的两数相结合；

④其和为整数的两数相结合；⑤带分数一般化成假分数或整数和分数

两部分，再分别相加。

（十）正确进行有理数的乘法运算，灵活运用运算律

1、有理数乘法运算步骤为：第一步，确定符号；第二步，因数的绝对值相乘。

2、有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”专对“两数相乘”

而言。

（十一）正确进行有理数的除法运算

1、在有理数的除法中，一般能整除的，在确定符号后直接整除；在不能整除的情况下，特别是当初数是分数是，往往把除法转化为乘法较为方便，在乘除混合运算中，注意运算顺序，从左向右依次运算。

2、有理数除法通常要先变成乘法，再利用乘法法则进行运算；在含有小数或带分数的运算中，通常要先化成真分数或假分数；将除法转化成乘法后，就可以用乘法运算律简化运算。

（十二）有理数乘方运算的解题方法

1、乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果。有理数乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先先确定幂的符号，然后再计算绝对值。当底数是负数或分数是，一定要先用括号将底数括上，再在右上角写上指数，指数要写的小一些。

（十三）有理数混合运算的方法和技巧

1、把握好运算顺序是关键，有理数运算分为三级运算，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方与开方是第三级运算，运算顺序：先算高级运算，再算低级运算；若是同级运算，从左向右依次计算；若有括号，就先算括号里面的。

2、牢记五种运算的运算法则、运算技巧及运算律，以简化计算，从而提高解题的速度和准确率。

（十四）用科学计数法表示数的方法

（十五）巧用“拆项法”解决有理数的混合运算问题

第二章实数

方法技巧归纳

（一）平方根与立方根的求法

1、平方与开平方、立方与开立方都互为逆运算，根据这个互逆关系，可以求一个数的平方根和立方根。

2、求一个数的平方根，先化简，当这个数为带分数时，要先化为假分数，再求其平方根。注意正数的平方根有两个，它们互为相反数。正数的平方根有两个，立方根只有一个；负数没有平方根，却有立方根。

（二）平方根与立方根性质的应用

1、立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.

2、根据平方根、立方根的性质列方程求解是解题的一种常用方法。（三）算术平方根与立方根的综合应用

（四）用计算器求算术平方根、立方根

（五）根据一个数的平方根求这个数

1、若一个非负数的平方根是a和b，则a+b=0。

2、已知a,b是一个非负数的平方根，则a=b或a+b=0。

（六）无理数的识别

1、识别无理数，常常与有理数综合在一起进行辨析，主要把握“无限”和“不循环”两个特点。

2、初中当中所学的无理数归纳起来有三类：①开方开不尽的数的方根；②化简后含有π的数；③特殊结构的无限不循环小数（构造性的无理数）。

（七）实数大小比较的方法

1、实数大小比较包括有理数的大小比较和无理数的大小比较，另外还包括有理数与无理数的大小比较。有时综合多个知识点进行考查。

常用的方法有特殊值法、平方法等。

（八）实数与数轴的关系

1、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不全表示有理数，因此有理数与数轴上点之间不是一一对应的关系；所有的无理数都能用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示无理数，所以无理数与数轴上的点也不是一一对应关系；数轴上的每一个点都表示实数，且所有的实数都能用数轴上的点来表示，所以实数与数轴上的点是一一对应的关系。

2、有序实数对与坐标平面上的点之间也是一一对应的关系。

（九）实数的运算

1、当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算规律等同样适用。

（十）实数性质的应用

（十一）借助数轴化简