平面向量典型例题

平面向量经典例题：

欧阳学文

1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝

(1，－2)共线，则实数λ等于( )

A．－2 B．－1 3

C．－1 D．－2 3

[答案] C

[解析] λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋

2b与c垂直，则k＝( )

A．－1 B．－3

C．－3 D．1

[答案] C

[解析] a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，

∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k ＝－3.

(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为( )

A．－6

B．－

C.6

11 D.

[答案] C

[解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，

∵a＋b与a－λb垂直，

∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，

∴λ＝6 11 .

3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向

量a、b间的夹角为( )

A．150° B．120°

C ．60° D．30° [答案] B

[解析] 如图，在?ABCD 中，

∵|a|＝|b|＝|c|，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a|＝1，|a －b|＝3

2，a 与b 的夹角

为60°，则|b|＝( )

A.12

B.13

C.14

D.15

[答案] A

[解析] ∵|a－b|＝32，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3

4，

∵|a|＝1，〈a ，b 〉＝60°，

设|b|＝x ，则1＋x2－x ＝34，∵x>0，∴x＝1

若AB

→·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B

[解析] AB

→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB

→⊥AC →，

∴AB⊥AC，∴△ABC 为直角三角形．

若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( )

A ．－a ＋3b

B ．a －3b

C ．3a －b

D ．－3a ＋b [答案] B

[解析] 设c ＝λa＋μb，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，

∴??? λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴???

λ＝1μ＝－3

，∴c＝a －3b ，故选B.

在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段

OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF

→等于( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋13b

C.12a ＋14b

D.13a ＋23b

[答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE

→＝3ED →，

∵DF∥AB ，∴

|AB|

|DF|＝|EB||DE|

，

∴|DF|＝13|AB|，∴|CF|＝23|AB|＝2

3|CD|，

∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12

－12a)＝23a ＋13

若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB

→·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D

[解析] 据已知得cosB ＝72＋52－622×7×5＝1935

，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cosB)＝7×5×? ??

－1935＝－19. 7.

若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y)相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．23 C ．32D ．6 [答案] D

[解析] a·b＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x＋y ＝2，∴9x＋3y ＝32x

＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝1

，y ＝1时成立．

若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( )

A ．－1

B ．0

C.－1＋52

D.1＋52

[答案] A

[解析] x2OA

→＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x2OA →＋(x －1)OB

→＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x2＝1，∴x＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.

(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP

→·(AB →＋AC →)( )

A ．最大值为8

B ．最小值为2

C ．是定值6

D ．与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP →＝(x ，－3)，

∴AP

→·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD

→|的最小值是()

A.12

B.32

C.2

D.2

[答案]D

[解析]∵∠A＝120°，AB

→·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →

|·cos120°＝－1，

∴|AB

→|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，

∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC

→|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12

， ∴|AD →|≥22

10.

如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于

K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( ) A.15B.1

C.13

D.12

[答案] A

[解析] 如图，取CD 的三等分点

M 、N ，BC 的中点Q ，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝1

. 11.

已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.1

B ．2

C ．－2

D ．－1

[答案] C

[解析] ma ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0，∴m＝－2，

故选C.

12.

在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA

→，则CM →·CB →等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 [答案] B

[解析] CM

→·CB →＝(CA →＋AM

→)·CB → ＝(CA →＋13

AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13

→·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22

＝3.

13.

在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.

[答案] 15

[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC

→〉＝60°，

〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23

CB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝15

14.

已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．

[答案] －255。[解析] a 在b 方向上的投影为a·b

|b|

＝

－2

＝－25

15.

已知向量a 与b 的夹角为2π

3，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a

＋λb)⊥a，则实数λ＝________. [答案] 1

[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π

3，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝

|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π

3＝－2，∵(2a ＋

λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.

16.

已知：|OA

→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n∈R＋)，则m

n ＝________.

[答案] 3

[解析] 设mOA

→＝OF →，nOB →＝

→，则OC →＝OF →＋OE →，

∵∠AOC＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m|OA →|＝m ，

|OC

→|·sin30°＝|OE →|＝n|OB →|＝3n ，

两式相除得：m

3n ＝|OC →|cos30°|OC

→|sin30°＝1tan30°＝3，∴

n ＝3.

17.

(文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．

[答案] 5

[解析] 由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴OA

→·OB →＝(－2i ＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB

→|·cos〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，

∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55

，∴sin 〈OA

→，OB →〉＝25

， ∴S△OAB＝12|OA →|·|OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝12

×5

×5×255

＝5.

(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)

①sinA＋cosA ＝15②AB →·BC →

<0 ③b＝3，c ＝33，B ＝

30° ④tan A ＋tanB ＋tanC>0.

[答案] ④

[解析] 若A 为锐角，则sinA ＋cosA>1，∵sinA＋cosA ＝15

，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →>0，∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理b sinB ＝c sinC 得，3sin30°＝33sinC ，∴sinC＝32，∴C＝60°

或120°，∵c·sinB＝332，3<332<33，∴△ABC 有两

解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．

④由tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC ＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝tanAtanBtanC>0，及A、B、C∈(0，π)，A＋B＋C＝π知A、B、C均为锐角，

∴△ABC为锐角三角形．

18.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．

(1)若a⊥b，求x的值．

(2)若a∥b，求|a－b|.

[解析] (1)若a⊥b，

则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，

整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.

(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，

当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，

∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝错误!＝2，

当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，

∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝错误!＝2

19.已知向量a＝(sinx，－1)，b＝(3cosx，－1

)，函数f(x)＝

(a＋b)·a－2.

(1)求函数f(x)的最小正周期T；

(2)将函数f(x)的图象向左平移π

上个单位后，再将所得

图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标．

[解析] (1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝a2＋a·b－2＝sin2x＋1

＋3sinxcosx＋1

－2

＝1－cos2x

＋

sin2x－

＝

sin2x－

cos2x＝sin(2x－

6 )，

∴周期T＝2π

＝π.

(2)向左平移π

个单位得，y＝sin[2(x＋

)－

]＝sin(2x＋

)，横坐标伸长为原来的3倍得，

g(x)＝sin(2

x＋

)，令

x＋

＝kπ得对称中心为(

3kπ

－

，

0)，k∈Z.

20.(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、

b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.

(1)求角B的大小；

(2)若sinA＋sinC的取值范围．

[解析] (1)由m∥n知c－a

a＋b

＝

b－a

，

即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知cosB＝1

，得B＝

(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋π3 )

＝sinA＋1

sinA＋

cosA＝

sinA＋

cosA＝3sin(A＋

6 )，

∵B＝π

，∴A＋C＝

2π

，∴A∈(0，

2π

)，

∴A＋π

∈(

，

5π

)，∴sin(A＋

)∈(

，1]，

∴sinA＋sinC的取值范围为(

，3]．

(理)在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.

(1)求角A的大小；

(2)求函数y＝2sin2B＋cos(π

－2B)的值域．

[解析] (1)由m∥n得(2b－c)cosA－acosC＝0，

由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，∵sin(A＋C)＝sinB，∴2sinBcosA－sinB＝0，

∵B、A∈(0，π)，∴sinB≠0，∴A＝π3 .

(2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝1－12cos2B ＋

2sin2B ＝sin(2B －π

)＋1，

当角B 为钝角时，角C 为锐角，则 ?????

－B<π

2?π2

，

∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B－π6)∈(－12，12)，∴y∈(1

2，32

)．当角B 为锐角时，角C 为钝角，则

?????

－B<π?0

，