《高等数学(下册)》第八章练习题及答案(最新整理)

x

一、填空题

《高等数学(下册)》第八章练习题

1.设z sin( x y)，则dz

2.设z cos( x2y ), ，则

(1, )

2

3.函数z 6( x y) x 2y 2的极值点为

4.设z e xy ，则dz

5.设

x ln z ，则

z y zx

二、选择题

1、、 f ( 、y) x 3y 3 3 x2 3 y

2、( )

A. (2、2)

B. (0、0)

C. (2、0)

D. (0 、2)

2、f ( x, y) 在点(x

,y

)处偏导数f x( x 0 , y0 )、

的( ).

f y( x0 , y0 ) 存在是f ( x, y) 在该点连续

(a)充分条件，(b)必要条件，(c)充要条件，(d)既非充分条件又非必要条件。

3、设f ( x, y) ln( x

y

) ，则f

2 x

(1,1 、.

（A） 1、

3

三、计算题

y 2 x 2

（B）1、

3

（C） 5、

6

（D） 5 .

6

、、

z x 3

、( 、、1 、、

2、设z z( x, y) 是由方程F ( x z, y z) 0 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且F F 0, 其中u x z, v y z, 求z,z.

u v x y

3、求曲面x2y2xz z2 3 在点(1,2,1) 处的切平面及法线方程。

4、设u e x2y2z2,而z x2sin y,求

u

.

x

5、求曲线x e t, y e t, z t ,对应于t 0 点处的切线和法平面方程。

6、求函数z x 2y(4 x y) 在闭域x 0, y 0, x y 4 上的最大值及最小值。

x

x z ，

7、设z 2c os2 ( x 1

y),求

z和z

. 2x y

8、设f ( x, y) e xy3 ，求f f x y

9、求函数 f ( x, y) x 2xy y 2 3 x 的极大值或极小值

10、设z

11、设z f ( x, u, v), u 2 x y , v xy 求复合函数z 对x, y的全微分dz y

cos( xy), 求

z 和z

x x y

12、求曲面x 2yz 3 y 2 2 xz 28z 上点1,2,1)处的切平面和法线方程

13 函数z z( x, y 由方程xz sin y

求z

y

f ( xy, z y 所定，其中f 有连续的一阶偏导，

四、综合应用题

1.在平面xoy 上求一点M、、、，使它到三条直线x 、y 、x y 1 0 的距离平方和为最小，并求其最小值。

2.在曲面z

五、证明题

上求一点，使它到平面x 2 y 3z 1 的距离最近。

设(u，v)具有连续偏导

满足：b z c z a

证明由方程(ax bz，ay cz)所确定函数z f ( x，y) x y

2.证明曲面之和为常数。

a (a 0) 上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距

2 x 2 4 y2

y

y

， 《高等数学(下册)》第八章练习题答案

一、填空题

1. 设z

sin( x y )，则dz cos( xy )( ydx xdy )

2. 设

cos( x 2 y )，则

， ) 2

3. 函数

6( x y ) x

2 y 2的极值点为 (3， 3)

4. 设z

e x y ，则dz e xy ( ydx xdy )

5. 设 x z ln z ，

则 z y x

z x z

二、选择题

1 函 数 ( x ，y ) x 3 y 3 3 x

2

3 y 2的极小值点为 ( A ) A. (2，2)

B. (0，0)

C. (2，0)

D. (0，2)

2、f ( x ，y )在点( x 0，y 0 )处偏导数 x ( x 0，y 0 )、f y ( x 0，y 0 )存在 是f ( x ，y )在该点连续的( d )

(a ) 充分条件，(b ) 必要条件，(c ) 充要条件，(d ) 既非充分条件又非必要条件.

3 设f ( x ，y ) ln( x 2 x

)，则f x (1，1) ( B ) ( A ) 1

，

3 (B ) 1 ， 3 (C ) 5

，

6

( D ) 5 . 6 三、计算题

y 2 x 2

、 、

z x 3 、 ( 、 、 1 、 、

、

y 4 x 、 z 3 x 2 、 T

、 4 、

、 x 1 y 2 z 1

1 4 3

、

x 1 4( y 2) 3(z 1) 0

、 x 4 y 3z 12 0

2、设z z ( x ，y )是由方程F ( x z ，y z ) 0确定的隐函数， F 具有一阶连续偏导数， 且F u F v 0，

其中u x z ，v y z ，求 z z

.

x y

(1 x

、

、 f ( x 、 y 、 z ) F ( x z 、 y z )

、

f x F 、 f y F 、 f z F u F 、

z

x

f x f z F u F u F v

z

y f y

f z F v F u F v

、

F ( x z 、 y z ) 0、 x 、 F (1 ) F ( ) 0

z x

F u 、

F u F v

z y u x F v

F u F v

v x

3、求曲面 x 2 y 2 xz z 2 3在点(1，2，1)处的切平面及法线 程.

解：令 F ( x ，y ，z ) x 2 y 2 xz z 2 3

故 n {3， 4， 1} 则F x 2 x z ，F y

2 y ，F z x 2z

切平面方程 3( x 1) 4( y 2) (z 1) 0 即

3 x

4 y z 6 0

法线方程 x 1 y 2 z 1 3 4 1

4、

u 2 x e x

2

y 2 z 2

(1 2z sin y ) 2 x e x 2

y 2 x 4 sin 2 y

(1 2 x 2 sin 2 y )

x

5、切线方程

x 1

y 1

z 0

，法平面方程：x y z 0. 1 1

1

6、最 值为z max (2,1) 4 最 值为z min 0(在整个边界：x 0( y [0,4]), y 0( x [0,4]),

x y 4( x 、y [0,4])上都是最 值0).

7 z z

、

2 s in(2 x y )，

x y

s in(2 x y ).

8 f 3 xy 3

f

2 xy 3

、 y e x 、

3 x y e .

y

9、极小值点为(2,1)，f 极小值 (2,1) 3.

14 14 14

f 2

y

u z 10、解： z f 2 f y f z f x f x x u v y u v

dz z dx z dy ( f 2 f y f )dx ( f x f )dy .

x

z y y x u

y

2

v u

v

z 1 11、解 x cos( x y ) x 2 sin( xy )

x

y cos( xy ) y sin( xy ).

x

12、切平面方程为： 6 x 11 y 14z 2 0

法线方程为： x 1 y 2 z 1 .

6 11 14

13、解：由已知方程 xz sin y f ( xy , z y )的两边直接对 y 求偏导，得：

x z cos y xf ( z

1) f 当f x z cos y xf 1 f 2 . y 四、综合应用题

1 y 2

y x f 2

1. 在 oy 平面上求一点 M ( x , y )，使它到三条直线 x 0, y 0, x y 1 0的距 平方和为最 ，并求其最 值.

解：点 到三条直线 方和为f ( x ，y ) x 2

y 2

( x y 1)2

2

f x 2 x x y 1 0 1 1 由 2 y x y 1 0 得唯一驻点( ， )

4 4 由问题实际意义可得所求点为( 1 ， 1 )，且最小值为 f ( 1 ， 1 ) 1

4 4 4 4 4

2.(提示：这是条件极值， 用拉格朗日乘 法 )答案：所 点是 ( 2 , 1 , 6

). 五、证明题

1 设(u ，v )具有连续偏导 证明由方程(ax bz ，

ay cz ) 0 所确定的函数z f ( x ，

y 满足b z c z

a x y

证 令F ( x ，y ，z ) ax bz ，ay cz )则 F x a u ，F y a v ，F z b u c v

z F x a ， a v

b z

c z ab u ac v a

x F z b u c v y b u c v x y b u c v

注 如果直接将方程两边求导得：a b z c z 0

z

a u u u x

v x x b c 同理

z

y

下面同上

u v

a v

b u

c v

x z y 0

z 0

y z x

y z x 0 y 0 x 0

y 0

z 0

x 0 y 0

x 0 z 0 x 0 z 0 x 0 y 0 x y z

0 2. 证明曲面 a (a 0)上任一点处的切平面 三个坐标轴上的

截距 和为常数. 、

、

( x 0、 y 0、 z 0 )、 、

、 F ( x 、 y 、 z ) ， 、 F 1 、 2 F 1 、2 F 1 2

、

n {

1

、 1 、 1

} 2 2 2

、

1 ( x x

2 )

1 ( y y

2 )

1 (z z

2 ) 0

切平面在三个坐标轴上的截距 别为 a x 0

b y 0 y 0 z 、

c z 0

故截距 为 a b c x 0 y 0 z 0 2 2 2

( z )2 、 、

y x 0

a

x a z 0 x 0 z 0

x 0 y 0

y 0 z 0

x 0 y 0

y 0 z 0

0 0 0

“”

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!