肇庆市2017届高中毕业班第三次统一检测(文数)

试卷类型：A肇庆市2017届高中毕业班第三次统一检测数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合()(){}|210M x x x =+-<,{}|10N x x =+<，则M N =I（A ）()1,1- （B ）()2,1-（C ）()2,1--（D ） ()1,2（2）复数512ii=- （A ）2i -- （B ）12i - （C ） 2i -+ （D ）12i -+（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =-（D ）32n n S a =-（5）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（A 3 （B ）13 （C ）12（D ）3 （6）某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 （D ）6 （7）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （A ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 （B ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 （C ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 （D ）()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称（8）如图所示是计算函数()ln ,20,232,3x x x y x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①②③处应分别填入的是 （A ）()ln ,0,2x y x y y =-== （B ）()ln ,2,0x y x y y =-== （C ）()0,2,ln x y y y x ===- （D ）()0,ln ,2xy y x y ==-=（9）已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）双曲线 （C ）抛物线 （D ）圆（10）当实数,x y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，3ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）0a ≤ （B ）0a ≥ （C ）02a ≤≤ （D ）3a ≤（11）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O =I ，E 是线段1B C （含端点）上的一动点， 则①1OE BD ⊥； ②11//OE AC D 面； ③三棱锥1A BDE -的体积为定值； ④OE 与11A C 所成的最大角为90︒. 上述命题中正确的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4OC 1B 1A DE（12）定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，()21,1121,13x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩.若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是（A ）11,43⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）11,64⎛⎫ ⎪⎝⎭（C ）1166⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）1,86⎛- ⎝第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）平面向量()1,2a =r ，()4,2b =r ，()c ma b m R =+∈r r r，且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，则m ＝ ▲ .（14）已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为 ▲ .（15）设数列{}n a 满足2410a a +=，点(),n n P n a 对任意的*n N ∈，都有向量()11,2n n P P +=u u u u u u r，则数列{}n a 的前n 项和n S = ▲ .（16）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在2个零点12,x x ，且12,x x 都大于0，则a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，其中2b =.（Ⅰ）若sin 2sin a B A =，求B ；（Ⅱ）若,,a b c 成等比数列，求ABC ∆面积的最大值.ED某市房产契税标准如下： 购房总价（万）(0,200] (200,400] (400,)+∞税率1% 1.5% 3%从该市某高档住宅小区，随机调查了一百户居民，获得了他们的购房总额数据，整理得到了如下的频率分布直方图：（Ⅰ）假设该小区已经出售了2000套住房，估计该小区有多少套房子的总价在300万以上，说明理由.（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该小区购房者缴纳契税的平均值.（19）（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，112AD AB DC BC ====，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD .（Ⅰ）证明：//ED PAB 面；（Ⅱ）若2PB PC ==，求点P 到面ABCD 的距离.（20）（本小题满分12分）已知圆()221:19F x y ++=，圆()222:11F x y -+=，动圆P 与圆1F 内切，与圆2F 外切. O 为坐标原点.（Ⅰ）求圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）直线:2l y kx =-与曲线C 交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程.已知函数()1ln ,1x f x x aa R x -=-∈+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）当()0,1x ∈时，()()1ln 1x x a x +<-恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数)， 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为8cos .3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的最大值和最小值.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()1f x x =+，()2g x x a =+. （Ⅰ）当0a =，解不等式()()f x g x ≥；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.数学（文科）参考答案一、选择题13．2 14． 2 15．2n 16．()0,2三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin 2sin a B A =，得2sin cos sin a B B A = （1分）由正弦定理得 2sin sin cos sin A B B B A = （2分）得cos B =（3分） 又因为()0,B π∈，所以6B π=（5分）（Ⅱ）若,,a b c 成等比数列，则有2=4b ac = （6分）222221cos 222a cb ac b B ac ac +--=≥=，当且仅当2a c ==时等号成立， （8分）()cos 0,y x π=在单调递减，且1cos32π=，所以B 的最大值为3π. （10分） 1sin 2sin 2ABC S ac B B ==V ，当=3B π时，ABC ∆ （12分）（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，购房总价在300万以上的频率为0.10.50.10.50.10.50.15⨯+⨯+⨯=， （3分） 20000.15300⨯=，估计该小区有300套房子的总价在300万以上. （4分）（Ⅱ）由频率分布直方图，以及契税标准可知： 当购房总价是1百万时，契税为1万，频率为0.1； 当购房总价是1.5百万时，契税为1.5万，频率为0.15； 当购房总价是2百万时，契税为2万，频率为0.2；当购房总价是2.5百万时，契税为3.75万，频率为0.25； 当购房总价是3百万时，契税为4.5万，频率为0.15； 当购房总价是3.5百万时，契税为5.25万，频率为0.05； 当购房总价是4百万时，契税为6万，频率为0.05；当购房总价是4.5百万时，契税为13.5万，频率为0.05； （8分） 依题意可知该小区购房者缴纳契税的平均值为10.1 1.50.1520.2 3.750.25 4.50.15 5.250.0560.0513.50.05 3.575⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=该小区购房者缴纳契税的平均值为3.575万元. （12分）（19）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接,AF EF . （1分）因为EF 是PBC ∆的中位线，所以1//2EF BC . （2分）又1//2AD BC ，所以//AD EF ，所以四边形ADEF 是平行四边形. （3分）所以//DE AF ，又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以//ED PAB 面. （5分） （Ⅱ）取BC 的中点M ，连接AM ，则//AD MC ，所以四边形ADCM 是平行四边形. 所以AM MC MB ==，所以A 在以BC 为直径的圆上. （6分） 所以AB AC ⊥，可得AC = （7分） 因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC I 面ABCD =AC ，所以AB ⊥面PAC ， （8分） 即AB PA ⊥，可得PA =（9分）在面PAC 内做PH AC ⊥于H ，又面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC I 面ABCD =AC ，所以PH ⊥面ABCD . （10分）由余弦定理可得2221cos 23PA CA PC PAC PA CA +-∠==g g，所以sin 3PAC ∠=.（11分）sin 3PH PA PAC =∠=g ，即P 到面ABCD的距离为3. （12分）解法二：（Ⅰ）证明：延长,BA CD 交于点K ，连接PK . （1分）因为1//2AD BC ，所以AD 是KBC ∆的中位线. （2分）1KA KD ==，所以ED 是KPC ∆的中位线，所以//ED PK . （3分） 又,DE ABP ⊄面,AF ABP ⊂面所以//ED PAB 面. （5分） （Ⅱ）易得KBC ∆是等边三角形，所以AB AC ⊥. （6分） 因为面PAC ⊥面ABCD ，且面PAC I 面ABCD =AC ， 所以AB ⊥面PAC ，所以AB PA ⊥. （7分） 所以=2PB PK =，三棱锥P KBC -是正四面体.（8分） 所以P 在底面KBC 的投影H是底面的中心，可得3CH =. （10分）3PH ==，P 到面ABCD 的距离为3. （12分）（20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，依题意有123,1PF r PF r =-=+，21124PF PF F F +=>. （2分） 所以轨迹C是以12,F F 为焦点的椭圆，且1,2c a ==，所以b =（3分）当P 点坐标为椭圆右顶点时，0r =不符合题意，舍去. （4分）所以轨迹C 的方程()221243x y x +=≠ . （5分） （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22341640k x kx +-+=（6分）121222164,3434k x x x x k k +==++，()2161230k ∆=->，得214k >（7分） 设原点到直线AB 的距离为d =（8分）12AB x=-==12AOBS AB d==Vg（9分）(),0t t=>，则2241k t=+，AOBStt==≤=+V2t=时，等号成立，（11分）即当k=时，OAB∆2y x=-.（12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）定义域是()0,+∞，222122(1)1'()(1)(1)a x a xf xx x x x+-+=-=++. （1分）令()22(1)1g x x a x=+-+.当()24140a∆=--≤，即02a≤≤时，()0g x≥恒成立，即()'0f x≥，所以()f x的单调增区间为()0,+∞；（2分）当()24140a∆=-->时，即0a<或2a>时，方程()0g x=有两个不等的实根，1211x a x a=-=-. （3分）若0a<，由()1212210,10x x a x x+=-<=>得，120,0x x<<，所以()0g x>在()0,+∞成立，即()'0f x>，所以()f x的单调增区间为()0,+∞；（4分）若2a>，由()1212210,10x x a x x+=->=>得，120,0x x>>，由()0g x>得x的范围是()()120,,,x x+∞，由()0g x<得x的范围()12,x x，即()f x的单调递增区间为()()120,,,x x+∞，()f x的单调递减区间为()12,x x.（5分）综上所述，当2a>时，()f x的单调递增区间为(()0,1,1a a--+∞，()f x 的单调递减区间为(11a a --；当2a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无递减区间. （6分） （Ⅱ）由()()1ln 1x x a x +<-，得()()1ln 10x x a x +--<， 即1ln 01x x ax --<+，即()0f x <在()0,1x ∈上恒成立. （7分） 由（Ⅰ）知当2a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，又()10f =， （8分） 所以当()0,1x ∈时，()0f x <恒成立. （9分） 由（Ⅰ）知当2a >时，()f x 在()()120,,,x x +∞单调递增，在()12,x x 单调递减，且121x x =，得121x x <<，()()110f x f >=，不符合题意. （11分） 综上所述，a 的取值范围是(,2]-∞. （12分）（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）8cos =8cos cos sin sin 4cos 333πππρθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2分）24cos sin ρρθθ=+，即224x y x +=+. （4分）即()(22216x y -+-= ①，故曲线2C 是圆. （5分）（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入①，化简得2sin 130t α--=. （7分）12=AB t t -== （8分）当2sin 1α=时，AB 取得最大值8；当2sin 0α=时，AB 取得最小值（10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由()()f x g x ≥，得12x x +>， （1分） 两边平方，并整理得()()3110x x +->， （2分） 所以不等式的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （4分） （Ⅱ）法一：由()()f x g x ≥，得12x x a +≥+，即12x x a +-≥. （5分）令()12F x x x =+-，依题意可得()max F x a ≥. （6分）()1111F x x x x x x x x =+--≤+--=-≤， （8分）当且仅当0x =时，上述不等式的等号同时成立，所以()max 1F x =.（9分）所以a 的取值范围是,1-∞（]. （10分） 法二：由()()f x g x ≥，得12x x a +≥+，即12x x a +-≥. （5分） 令()12F x x x =+-，依题意可得()max F x a ≥. （6分）()1012=311011x x F x x x x x x x -≥⎧⎪=+-+-<<⎨⎪-≤-⎩， （7分）易得()F x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，所以当0x =时，()F x 取得最大值1. （9分）故a 的取值范围是,1-∞（]. （10分）。