北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)

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北师大新版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形单元培优卷含解析

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．42．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣64．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝cm．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．4【分析】根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，求出a2+b2＝102，ab＝40，解方程组求出a即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，∴a2+b2＝102，又∵S矩形ABCD＝2S△ABC∴ab＝2××10×4＝40，∵BC＞AB，解得：a＝4，b＝2，即AD＝4，故选：D．2．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用矩形的性质，证明△AFD与△CHB全等，即可推出结论①正确；②先证明四边形PBHF为矩形，推出PB＝FH，再证明△AFG与△BPG全等，推出AF＝FH ＝CH，即可②正确；③假设结论成立，可推出∠BAC＝45°，BA＝BC，故矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④先证明△EPB与△BHC全等，推出EB＝BC，AB垂直平分EC，求出AC的长度，再证△ABH与△BCH相似，求出BH的长度，最后证△AFG与△AHB相似，即可求出GF的长度为2，故④错误．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴∠DAF＝∠BCH，∵BH⊥AC，∴∠BHC＝∠BHA＝90°，∴△AFD≌△CHB（AAS），∴AF＝CH．故①正确；②由①知，∠PFH＝∠BHF＝90°，∵∠BPD＝∠BCD＝90°，∴∠BPD＝∠PFH＝∠BHF＝90°，∴四边形PBHF为矩形，∴PB＝FH，PB∥FH，∵∠AFG＝∠BPG＝90°，FG＝PG，∠AGF＝∠BGP，∴△AFG≌△BPG（ASA），∴BP＝AF，∴AF＝FH，由①知，AF＝CH，∴AF＝FH＝CH，∴AC＝3FH，故②正确；③假设BE＝BG，∵∠EBG＝90°，∴∠E＝∠BGE＝45°，在Rt△EFC中，∠FCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④∵DE∥BH，∴∠PEB＝∠HBC，由②知，四边形PBFH为矩形，PB＝FH＝CH，∴∠EPB＝∠BHC＝90°，∴△EPB≌△BHC（AAS），∴EB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴AB垂直平分EC，∴AC＝AE＝6，由②知，AF＝FH＝HC，∴AF＝FH＝HC＝AC＝2，∴AH＝4，∵∠BHC＝∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠HBC＝90°，∴∠BAH＝∠HBC，∴△ABH∽△BCH，∴＝，即＝，∴BH＝4，∵DE∥BH，∴△AFG∽△AHB，∴＝，即＝，∴CF＝2，故④错误，故选：B．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣6【分析】如图作B′H⊥AD于H交BC于M．首先证明四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，根据AB′2＝AH2+HB′2，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质解决问题即可；【解答】解：如图作B′H⊥AD于H交BC于M．∵∠B′HD＝∠HDF＝∠DFB′＝90°，∴四边形DFB′H是矩形，∵FD＝FB′，∴四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，∵AB′2＝AH2+HB′2，∴62＝（6﹣x）2+x2，解得x＝3，∴B′M＝CF＝6﹣3，∵△AHB′∽△B′ME，∴＝，∴＝，∴EB′＝6﹣6，∴BE＝B′E＝6﹣6，故选：D．4．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB ＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理，BM＝＝a，∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，∴ME+MF＝MB．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG ＝180°，易证ED∥GA，即可判断A；求出∠DAG＝135°，根据矩形的判定即可判断B；然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；根据AD＝AC＝和菱形的判定即可判断C；根据正方形的判定即可判断D．【解答】解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1＝2C2＝4C3，FG＝LK，EF＝6，即可得到AB＝BF+EF+AE＝11．【解答】解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，又∵BF＝FG＝KL，∴EF＝CL＝6＝CH，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，∵C1＝2C2，∴AE＝CH＝3，又∵2C2＝4C3，∴C3＝C2＝×12＝6，∴BF＝×6＝2，∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，故选：C．二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝24 cm．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝5cm，AD＝AB＝BC＝CD ＝13cm，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝＝5cm，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AD＝AB＝BC＝CD＝×52cm＝13cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+0D2，即OD＝＝12（cm），∴BD＝2OD＝24cm，故答案为：24．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AM＝AP，∠MAP＝60°，∴△AMP是等边三角形，∵∠MAP＝∠BAC，∴∠MAB＝∠PAC，∴△MAB≌△PAC，∴BM＝PC＝10，∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，∴PM2+PB2＝BM2，∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，∴AH＝PA＝3，PH＝3，BH＝8+3，∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，故答案为50+72．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．【分析】延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】解：延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴GF∥BE，EF∥AM，∴四边形AMFE是平行四边形，∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠DAH＝30°，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为或．【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出＝，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴＝，即＝，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF＝．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC＝，综上，EF＝或．故答案为：或．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝7﹣4．．【分析】（1）已知EA＝EF，∠EAF＝45°，由三角形的内角和得∠AEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，又因∠BAE+∠AEB＝90°，等量代换得∠BAE＝∠CEF，从而证明△ABE≌△ECF；EF的长可由勾股定理求出．（2）作辅助线FM和EN，已知△CEF，构建两个等腰△DEM，△BEN可求出线段DF，AM，FC，BE和AN的长；证明△ANE∽△FMA，再由两个三角形相似的性质求出相似比，解出x 的值，由勾股定理（或三角函数）求出EF的长．【解答】解：（1）如图甲所示：∵EA＝EF，∴△AEF是等腰直角形，∠EAF＝∠EFA，∵∠EAF＝45°，∴∠EFA＝45°，又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△ABE和△ECF中，∴△ABE≌△ECF（AAS）∴AB＝EC，BE＝CF，又∵AB＝3，BC＝4，∴EC＝3，CF＝1，在Rt△CEF中，由勾股定理得：＝＝故答案为．（2）如图乙所示：作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，∵四边形ABCDA是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∵∠BAE+∠NEA＝45°，在△ANE和△FMA中，∴△ANE∽△FMA（AA）∴；又∵MD＝x，∴DF＝x，∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，∴FC＝EC＝3﹣x，BE＝AB＝x+1，AN＝2﹣x，∴，解得：2﹣4，或﹣2﹣4（舍去），∴FC＝3﹣（）＝7﹣2，∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．故答案为7﹣4．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长或．【分析】根据矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH＝BD，从而求出GH的长，若四边形EGFH为矩形时，EF＝GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．【解答】解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∴AB＝EM＝CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝90°，OB＝OD，在Rt△ABD中，BD＝，又∵点G、H分别是OB、OD的中点，∴GH＝BD＝，当四边形EGFH为矩形时，GH＝EF＝，在Rt△EMF中，FM＝＝，易证△BOF≌△DOE（AAS），∴BF＝DE，∴AE＝FC，设BF＝x，则FC＝6﹣x，由题意得：x﹣（6﹣x）＝，或（6﹣x）﹣x＝，∴x＝或x＝，故答案为：或．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP ＝PE时，求出即可．【解答】解：根据题意得：BP＝t，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，过E作EF⊥AB于F，则∠EFA＝∠EFB＝90°，∵∠C＝∠B＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，∴PF＝5﹣t，由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，解得：t＝2，t＝8，∵t＝8不符合题意，舍去；②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，解得：t＝，即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，故答案为：2或．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）在RT△BCP中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP中利用勾股定理求出PA 即可．（2）如图2中，延长PM交BC于E．先证明PD＝BE，再利用三角形中位线定理证明MN ＝BE，ON＝PD即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD∵PD＝4，∴PC＝6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB＝∠ABP＝90°，在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，∴PB＝＝＝8，在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，∴PA＝＝＝2．（2）△OMN是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM交BC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴＝，∴CP＝CE，∴PD＝BE，∵CP＝CE，CM⊥PE，∴PM＝ME，∵PN＝NB，∴MN＝BE，∵BO＝OD，BN＝NP，∴ON＝PD，∴ON＝MN，∴△OMN是等腰三角形．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．【分析】首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝5，∴×6×8＝DE×AB，解得：DE＝，即AB边上的高为：．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD＝OC，求出∠CDO，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴EF＝DE，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG•a，于是得到结论；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，在△AOG与△BOE中，，∴△AOG≌△BOE，∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；故答案为：；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OM＝m b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF ＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE＝OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF＝CF＝a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P 在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形解答题训练(一)解析版

北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形解答题训练（一）解析版1．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．2．（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．3．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．5．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD 边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．8．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．9．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD 于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．12．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．13．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．14．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形BEDF为菱形．15．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．16．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．17．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．18．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．第一章特殊平行四边形解答题训练（一）参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BOA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2．【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0＝1+2+1＝4；（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了相反数，绝对值，零指数幂，平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能求出四边形ABCD是平行四边形是解（2）的关键．3．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE 是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．4．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝CF．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．5．【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．7．【分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．10．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG ＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB ＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．11．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG ∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．【分析】连接AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF＝FG＝GH＝HE，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，BD，如图所示：∵E为AB的中点，F为BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理HG＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形ABCD，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理和矩形的性质，根据题意正确找出辅助线是解决问题的关键．14．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据根据菱形的性质作出判断：EF与BD互相垂直平分．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO．∵四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．故答案为：EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO（答案不唯一）【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．15．【分析】（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC＝PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF＝∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，证明∠CPF＝90°即可．（2）由菱形轴对称性质，利用题（1）的方法证明∠CPF＝60°，又因为PC＝PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE＝PC＝AP．【解答】解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点∴PA＝PC∵点P位于AE的垂直平分线上∴PA＝PE∴PC＝PE由正方形的轴对称性质可得，∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE∴∠PAD＝∠E∴∠PCD＝∠E∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠FDE∵正方形ABCD∴∠ADC＝90°∴∠FDE＝90°∴∠CPF＝90°∴PC⊥PE（2）PA＝CE．理由如下：∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点∴AP＝PF，∠PAD＝∠PCD∵点P在AE的垂直平分线上∴AP＝PE∴PE＝PC，∠PAD＝∠PED∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠EDF∵菱形ABCD，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE【点评】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．16．【分析】（1）只要证明AD＝BC，∠ADP＝∠BCQ，DP＝CQ即可解决问题；（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．18．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME ≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．19．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．在直角△ADE中，AD＝4，AE＝AB＝3，由勾股定理知，DE＝＝＝5，∴△CDE的周长＝2DE+CD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB＝∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，于是得到结论．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》期末综合复习训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》期末综合复习训练（附答案）1．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．15°2．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形3．如图，在菱形ABCD中，AB＝5、AC＝8，则该菱形的面积为（）A．40B．20C．48D．244．要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠ABD＝∠CBD 5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB＝AD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH上AB于点H，则OH的长为（）A．3B．4C．D．7．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（）A．20B．22C．24D．268．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为（）A．4B．2C．D．29．如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y 轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（）A．1+B．1+C．3D．10．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为（）A．1B．2C．D．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED＝1：3，AE＝，则BD＝．12．如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于．13．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF，若∠A＝70°，则∠DGF的度数为．14．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．17．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．19．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB 交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90，求证：四边形DEBF是菱形．20．如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE＝2．求：（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC，BD的长；（3）菱形ABCD的面积．21．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）在BC上截取CF＝CO，连接OF，若AC＝16，BD＝12，求四边形OFCD的面积．22．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？24．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A ＝PE，PE交CD于F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．参考答案1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵∠AOB＝50°，∴∠BAO＝，∴∠OAD＝90°﹣∠BAO＝90°﹣65°＝25°，故选：A．2．解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；C、对角线平分且相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题是假命题；D、一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，如△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE＝∠DAC，DE＝AC，但四边形ABCE不是平行四边形，原命题是假命题；故选：A．3．解：BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，∴BO＝，故BD＝6，则菱形的面积是：×6×8＝24．故选：D．4．解：A、∵▱ABCD中，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵▱ABCD中，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；D、∵▱ABCD中，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意；故选：C．5．解：A、若AB＝AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；B、若AB＝AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；故选：C．6．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝BD＝3，AO＝AC＝4，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝＝＝，故选：C．7．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC＝＝＝4，则AB＝4，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴长方形的周长为：2×（4+4+3）＝22．故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OE⊥BC，∴BE＝CE，∴OE是△ABC的中位线，∴AB＝2OE＝2，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BAD＝×90°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，∴BC＝2BE＝4，∴AC＝＝＝2，故选：B．9．解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，∵∠AOB＝90°，∴Rt△AOB中，OE＝AB＝1，又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，∴Rt△CBE中，CE＝，又∵OC≤CE+OE＝1+，∴OC的最大值为1+，即点C到原点O距离的最大值是1+，故选：A．10．解：如图，连接AO，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，BD＝AB＝4，∠DAB＝90°，又∵OM⊥AD，ON⊥AB，∴四边形AMON是矩形，∴AO＝MN，∵当AO⊥BD时，AO有最小值，∴当AO⊥BD时，MN有最小值，此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，∴AO＝BD＝2，∴MN的最小值为2，故选：B．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OA＝2OD，∵OE：ED＝1：3，∴设OE＝x，ED＝3x，则OD＝2x，∵AE⊥BD，AE＝，在Rt△OEA中，根据勾股定理，得x2+（）2＝（2x）2，解得x＝1，∴BD＝4．故答案为：4．12．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，过E作EF⊥AC于F，∴EF＝BE＝1，∴AC＝2CF＝2，∴AB＝，BC＝3，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝3，故答案为：3．13．解：如图，延长AD、EF相交于点H，∵F是CD的中点，∴CF＝DF，∵菱形对边AD∥BC，∴∠H＝∠CEF，在△CEF和△DHF中，，∴△CEF≌△DHF（AAS），∴EF＝FH，∵EG⊥AD，∴GF＝FH，∴∠DGF＝∠H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝70°，∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，∴CE＝CF，在△CEF中，∠CEF＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠DGF＝∠H＝∠CEF＝55°．故答案为：55°．14．解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD于点O，∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，连接PD，如图所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD•PM+DC•PN＝AC•OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案为：7.8．15．解：（1）四边形AEBO是矩形．证明：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形．（2）∵菱形ABCD，∴OA＝8，∵OE＝10，∴AE＝6，∴OB＝6，∴△ABC的面积＝，∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝96．16．证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB；（2）∵△AEF≌△DEB，∴AF＝DB，∵AD是BC边上的中线，∴DC＝DB，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴AD＝DC，∴▱ADCF是菱形．17．解：（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥BG，又∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形；（2）四边形DEBF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD．∴BE＝DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∴平行四边形DEBF是菱形．18．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝＝2．在Rt△ACE中，AE＝＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵AG∥DB，AD∥CG，∴四边形AGBD是平行四边形，∵∠G＝90°，∴平行四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，又E为边AB的中点，∴ED＝EB，又四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．20．解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝BD，∵菱形ABCD中，AD＝AB，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ABC＝120°；（2）∵△ABD是等边三角形，AE＝2，∴AB＝BD＝AD＝4，∴DE＝AO＝＝＝2，∴AC＝4；（3）菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×4×4＝8．21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED为矩形；（2）解：作FH⊥OC于点H，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，OA＝OC＝AC＝8，∴S△DOC＝＝24，在Rt△OBC中，BC＝＝10，sin∠OCB＝＝，在Rt△CFH中，CF＝CO＝8，sin∠HCF＝＝，∴FH＝CF＝，∴S△OCF＝＝，∴S四边形OFCD＝S△DOC+S△OCF＝．22．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．23．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE＝AE，FD∥AC．∴BD＝CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE＝AE＝AF．∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．∴∠F AE＝∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF＝EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形．24．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．。

2019-2020北师大版九年级数学(上)期末单元复习第1章特殊的平行四边形1(解析版)

第1章特殊的平行四边形一．选择题（共8小题）1．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1 B．2 C．3 D．42．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB＝4，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．4 B．2C．2 D．3．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，1）4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4 D．55．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．72 D．1446．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2 D．7．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6 B．5 C．3D．48．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8 B．10 C．10.4 D．12二．解答题（共10小题）9．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．10．如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点．试判断四边形AECF的形状，并加以证明．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．12．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．13．如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B 作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．14．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．16．两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB＝BF．求证：四边形BNDM为菱形．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．18．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：①当BE＝时，四边形BECD是矩形，试说明理由；②当BE＝时，四边形BECD是菱形．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；④对角线平分、相等且垂直的四边形是正方形，错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，正确，故选：B．2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB＝4，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（）A．4 B．2C．2 D．【分析】由已知条件可求出菱形的面积，则△ADC的面积也可求出，易证OE为△ADC的中位线，所以OE∥AD，再由相似三角形的性质即可求出△OCE的面积．【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，AO＝CO，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠BAD＝60°，∴DH＝4×＝2，∴S菱形ABCD＝4×2＝8，∴S△CDA＝S菱形ABCD＝4，∵点E为边CD的中点，∴OE为△ADC的中位线，∴OE∥AD，∴△CEO∽△CDA，∴△OCE的面积＝×S△CDA＝×4＝，故选：D．3．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，1）【分析】作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，由AAS证明△AOE≌△OCD，得出AE＝OD，OE ＝CD，由点A的坐标是（﹣3，1），得出OE＝3，AE＝1，则OD＝1，CD＝3，得出C（1，3）．【解答】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，则∠AEO＝∠ODC＝90°，∴∠OAE+∠AOE＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝CO＝BA，∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠COD＝90°，∴∠OAE＝∠COD，在△AOE和△OCD中，，∴△AOE≌△OCD（AAS），∴AE＝OD，OE＝CD，∵点A的坐标是（﹣3，1），∴OE＝3，AE＝1，∴OD＝1，CD＝3，∴C（1，3），故选：A．4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4 D．5【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴CO＝AC＝6，BO＝BD＝8，AO⊥BO，∴BC＝＝10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝96，∴AH＝＝5．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．72 D．144【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE＝FD，∴BO＝OD，∵AO＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE＝5，∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，由勾股定理得，AO＝＝＝3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，∴S四边形ABCD＝BD•AC＝×24×6＝72；6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2 D．【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝∴DE＝；故选：A．7．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6 B．5 C．3D．4【分析】利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5，故选：B．8．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8 B．10 C．10.4 D．12【分析】由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长．【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，∵四边形AECF是菱形∴AE＝CF＝EC＝AF，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE2＝1+（5﹣AE）2，∴AE＝2.6∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4故选：C．二．解答题（共10小题）9．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2．10．如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点．试判断四边形AECF的形状，并加以证明．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，OB＝OD，再求出OE＝OF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可．【解答】解：四边形AECF是菱形，理由如下：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∵点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点，∴BE＝EF＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝5，AB＝6，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF＝DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论；（2）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，结合条件可求得答案．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝．12．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD＝∠ADB，证出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】证明：（1）∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，同理：AB＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝12，∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，∵∠ADB＝30°，∴cos∠ADB＝，∴AD＝．13．如图，在△ABC中，BD是AC的垂直平分线．过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B 作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】求出∠BDC＝90°，根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，关键平行四边形的性质得出AD＝BE，根据平行四边形的判定得出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定得出即可．【解答】证明：∵BD是AC的垂直平分线∴AD＝DC，BD⊥CA，∴∠BDC＝90°，∵由题意知：AB∥DE，AD∥BE∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∴DC＝BE，又AC∥BE即DC∥BE∴四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．14．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．【分析】（1）根据矩形的性质先证明四边形AECF是平行四边形，然后证明∠EAC＝∠ACE 得出AE＝CE，从而可证得四边形AECF是菱形；（2）首先设BF＝x，则FC＝8﹣x，然后由勾股定理求得（8﹣x）2+42＝x2，求出x的值，得出FC，再根据菱形面积计算方法即可求得答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AE∥CF∵AE＝CF∴四边形AECF是平行四边形∵AC平分∠ECF∴∠ACF＝∠ACE∵AE∥CF∴∠ACF＝∠EAC∴∠EAC＝∠ACE∴AE＝CE∴四边形AECF是菱形（2）设BF＝x，则FC＝8﹣x∴AF＝FC＝8﹣x在Rt△ABF中AB2+BF2＝AF2∴（8﹣x）2＝x2+42解得：x＝3∴FC＝8﹣3＝5∴S菱形AECF＝FC•AB＝5×4＝2016．两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB＝BF．求证：四边形BNDM为菱形．【分析】易证四边形BNDM是平行四边形；根据AB＝BF，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△FBN，得BM＝BN．根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证．【解答】证明：∵两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE，根据矩形的对边平行，∴BC∥AD，BE∥DF，∴四边形BNDM是平行四边形，∵∠ABM+∠MBN＝90°，∠MBN+∠FBN＝90°，∴∠ABM＝∠FBN．在△ABM和△FBN中，∴△ABM≌△FBN，（ASA）．∴BM＝BN，∴四边形BNDM是菱形．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A 停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．18．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：①当BE＝ 2 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；②当BE＝ 4 时，四边形BECD是菱形．【分析】（1）先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形；（2）①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，再由∠ABC＝120°可得∠ECB＝30°，再根据直角三角形的性质可得BE＝2；②根据四边形BECD是菱形可得BE＝EC，再由∠ABC＝120°，可得∠CBE＝60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，∵点F是BC的中点，∴BF＝CF，在△DCF和△EBF中，，∴△EBF≌△DCF（AAS），∴DC＝BE，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：①BE＝2；∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB＝90°，∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝60°；∴∠ECB＝30°，∴BE＝BC＝2，故答案为：2；②BE＝4，∵四边形BECD是菱形时，BE＝EC，∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝4．故答案为：4．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形综合压轴专项训练测试题(含答案)

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形综合压轴专项训练测试题1、如图，分别以直角ABC △的斜边AB ，直角边AC 为边向ABC △外作等边ABD △和等边ACE △，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒．给出如下结论：①EF ⊥AC ； ②四边形ADFE 为菱形； ③4AD AG =；④14FH BD =；其中正确结论的是__________．2、如图，矩形ABCD 中，BC =2AB ，对角线相交于O ，过C 点作CE ⊥BD 交BD 于E 点，H 为BC 中点，连接AH 交BD 于G 点，交EC 的延长线于F 点，下列5个结论： ①EH =AB ； ②∠ABG =∠HEC ； ③△ABG ≌△HEC ；④CF =BD ．正确的有________．3、如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论： ①四边形CFHE 是菱形； ②EC 平分∠DCH ；EADH F GA BDCHGOEABGHEDCF③线段BF的取值范围为34BF≤≤；④当点H与点A重合时，EF=．以上结论中，你认为正确的有_______________．4、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE BF=，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．求证：AM BG GM=+．A D F BCGEMHADF BCGEMH34215、如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP AB⊥交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若60B∠=︒，这时点P与点C重合，则NMP∠=_______度；（2）求证：NM NP=；（3）当NPC△为等腰三角形时，求B∠的度数．ADM BPNCADMBPNC备用图6、如图3-1，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若120ABC∠=︒.（1）求出线段PG与PC的位置关系及PCG∠的大小；（2）将图3-1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图3-2）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．A D CPGB EAD CP BE G 图3-1 图3-27、在平行四边形ABCD中，BAD∠的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图4-1中证明CE CF=；（2）若90ABC∠=︒，G是EF的中点（如图4-2），求BDG∠的度数；（3）若120ABC∠=︒，FG//CE，FG CE=，分别连接BD、DG（如图4-3），直接写出BDG∠的度数．A DB EG C F图4-1 图4-2 图4-38、在菱形ABCD中，60ABC∠=︒，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF AE=，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图5-1，证明：BE EF=；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图5-2、图5-3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．ABDECFA BDECFA BDEC图5-1 图5-2 图5-59、已知：矩形ABCD 中AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N （如图3-1）．（1）求证：BM DN =；（2）如图3-2，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，求证：四边形AMCN 是菱形；（3）在（2）的条件下，若CDN △的面积与CMN △的面积比为1:3，求MNDN的值． AB N D OMCABNDOMC E图3-1 图3-210、已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图4-1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD CF ⊥．②CF BC CD =-．（2）如图4-2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；（3）如图4-3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．FA BD CEFADEADBCFOE图4-1 图4-2 图4-311、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．12、如图，在平行四边形ABCD 中，4cm AD =，60A ∠=︒，BD AD ⊥．一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AD ⊥．（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求APE △的面积；（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动．过Q 作直线QN ，使QN//PM ．设点Q 运动的时间为t 秒010t ≤≤（），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2．求S 关于t 的函数关系式．13、如图，矩形OABC 顶点B 的坐标为,3)(8，定点D 的坐标为(12,0)，动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动，动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，PQ 两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ．设运动时间为t 秒．（1）当t =_______时，PQR △的边QR 经过点B ；（2）设PQR △和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．M D CAPBE Q DQ D14、如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA AB ⊥，3cm AD =，5cm DC =，8cm AB =．如果点P 由B 点出发沿BC 方向以1cm/s 速度向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发以2cm/s 速度沿AB 方向点B 匀速运动，当Q 点到达B 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为()t s ．（1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）当PQB △为等腰三角形时，求t 的值．15、如图5-1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(12,0)A ，(0,4)C ，点D 为OA 边的中点，连接BD ．（1）直接写出点D 的坐标：__________，BD =__________；（2）如图5-2，若点M 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿D A B C →→→运动，同时点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿O C B →→运动，当点M ，N 相遇时运动即停止，设运动时间为t （秒），求使得MON △为直角三角形时所有t 值和取值范围．图5-1图5-2 备用图16、已知：矩形ABCD 中，AD AB >，O 是对角线的交点，过O 任作一直线分别交BC 、AD 于点M 、N （如图6-1）．（1）如图6-2，四边形AMNE 是由四边形CMND 沿MN 翻折得到的，连接CN ，求证：四边形AMCN 是菱形；（2）在（1）的条件下，如图6-3，若4cm AB =，8cm BC =，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿AMB △和CDN △各边匀速运动一周．即点P 自A M B A →→→停止，点Q 自C D N C →→→停止．在运动过程中，已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．图6-1 图6-2 图6-317、如图，在矩形ABCD 中，12cm AB =，8cm BC =．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，EFG △的面积为S (cm 2) ．（1）当1t =秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围．AN DBOM CANDBOM CEAN DB1图2图18、在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图所示，且5AO =、10OC =，Rt DEF △中，90D ∠=︒，6DE DF ==，DE 边在x 轴上且E 点与原点重合，将Rt DEF △沿x 轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，当点E 与点C 重合时停止运动，设平移的时间为t ，Rt DEF △与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求在平移过程中S 与t 的函数关系式．19、如图，正方形ABCD 的边长为6cm ，P 、Q 分别是BC 、AD 边上的两个动点，点P 从点B 出发以3cm/s 的速度向点C 运动，点Q 从点D 出发以4cm/s 的速度向点A 运动．P 、Q 两点同时出发，当Q 到达A 点时，Q 、P 点同时停止运动．过Q 作QF BC ⊥于F ，交AC 于E ，连接EP ．设运动的时间为()x s ，EPC △的面积为2(cm )y ．当x 为多少时，EPC △是等腰直角三角形．20、如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，BC =30C ∠=︒．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t ＞．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF ．（1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF △为直角三角形？请说明理由．21、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB BC⊥．点M为直角梯形ABCD内一点，满足AMD∠=135︒，将△ADM绕点A顺时针旋转得到对应的△ABN（AD与AB重合，ADM ABN），连接MN．△≌△（1）判断线段MN和BN的位置关系，并说明理由；（2）若AM=1，MD=，求MB的长及点B到直线AN的距离；（3）在（2）的情况下，若BC=8，求四边形MBCD的面积．参考答案1、①③④； ∵ACE △是等边三角形，∴60EAC ∠=︒，AE AC =∵30BAC ∠=︒，∴90FAE ACB ∠=∠=︒，2AB BC =，∵F 为AB 的中点 ∴2AB AF =，∴BC AF =，∴ABC EFA △≌△，∴FE AB =，∴30AEF BAC ∠=∠=︒ ∴EF AC ⊥，故①正确∵EF AC ⊥，90ACB ∠=︒，∴HF//BC ；∵F 是AB 的中点 ∴12HF BC =，∵12BC AB =，AB BD =，∴14HF BD =，故④说法正确； ∵AC AB ≠；∴AE EF ≠，∴四边形ADFE 不是菱形；故②说法不正确； ∴12AG AF =；∴12AG AB =，∵AD AB =；则4AD AG =，故③说法正确. 2、①②④； ①∵CE BD ⊥，H 为BC 中点∴在BCE △中，2BC EH =；又2BC AB =∴EH AB =，故①正确；②由①可知，BH HE =∴EBH BEH ∠=∠，又90ABG EBH BEH HEC ∠+∠=∠+∠=︒∴ABG HEC ∠=∠，故②正确；③由AB BH =，290ABH ∠=︒，得45BAG ∠=︒同理：45DHC ∠=︒，∴45EHC DHC ∠∠=︒＞∴ABG HEC △≌△错误；④∵45ECH CHF F F ∠=∠+∠=︒+∠，又ECH CDE BAO ∠=∠=∠， BAO BAH HAC ∠=∠+∠，∴F HAC ∠=∠∴CF BD =，故④正确．3、①③④； ∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分， ∴FH //CG ，EH //CF ，∴四边形CFHE 是平行四边形，由翻折的性质得，CF FH =，H∴四边形CFHE 是菱形，（故①正确）；∴BCH ECH ∠=∠，∴只有30DCE ∠=︒时EC 平分DCH ∠，（故②错误）；点H 与点A 重合时，设BF x =，则8AF FC x ==-，在Rt ABF △中，222AB BF AF +=，即2224(8)x x +=- 解得3x =，点G 与点D 重合时，4CF CD ==， ∴4BF =，∴线段BF 的取值范围为34BF ≤≤，（故③正确）；过点F 作FM AD ⊥于M ，则(83)32ME =--=，由勾股定理得，EF④正确）．4、连接DG ，在ABG △和ADG △中，45AB AD DAC BAC AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABG ADG △≌△，∴BG DG =，23∠=∠，∵BG AE ⊥，∴290BAE ∠+∠=︒，∵490BAD BAE ∠=∠+∠=︒，∴234∠=∠=∠，∵GM CF ⊥，∴190BCF ∠+∠=︒，又90BCF BFC ∠+∠=︒，∴12BFC ∠=∠=∠，∴13∠=∠，在ADG △中，345DGC ∠=∠+︒，∴DGC ∠也是CGH △的外角，∴D 、G 、M 三点共线，∵34∠=∠（已证），∴AM DM =，∵DM DG GM BG GM =+=+，∴AM BG GM =+．5、（1）∵MP AB ⊥交边CD 于点P ，60B ∠=︒，点P 与点C 重合， ∴30NPM ∠=︒，90BMP ∠=︒，∵N 是BC 的中点，∴MN PN =，∴30NMP NPM ∠=∠=︒；（2）如图1，延长MN 交DC 的延长线于点E ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，∴BMN E ∠=∠，∵点N 是线段BC 的中点，∴BN CN =，在MNB △和ENC △中，BMN EMNB ENC BN CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MNB ENC △≌△，∴MN EN =，即点N 是线段ME 的中点，∵MP AB ⊥交边CD 于点P ，∴MP DE ⊥，∴90MPE ∠=︒， ∴12PN MN ME ==；（3）如图2∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =，又M ，N 分别是边AB ，BC 的中点，∴MB NB =，∴BMN BNM ∠=∠，由（2）知：MNB ENC △≌△，∴BMN BNM E CNE ∠=∠=∠=∠，又∵PN MN NE ==，∴NPE E ∠=∠，设BMN BNM E CNE NPE x ∠=∠=∠=∠=∠=︒，则2NCP x ∠=︒，NPC x ∠=︒，①若PN PC =，则2PNC NCP x ∠=∠=︒，在PNC △中，22180x x x ++=，解得：36x =，∴2363108B PNC NPC x x ∠=∠+∠=︒+︒=︒⨯=︒， ②若PC NC =，则PNC NPC x ∠=∠=︒，在PNC △中，2180x x x ++=，解得：45x =，∴454590B PNC NPC x x ∠=∠+∠=︒+︒=︒+︒=︒．6、（1）PG PC ⊥，30PCG ∠=︒；如图①，延长GP 交DC 于点H ，∵在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，AE //DC ，AE //GF ， ∴DC //GF ，∴PDH PFG ∠=∠，在△PDH 和△PFG 中，PDH PFG PD PF DPH FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)PDH PFG △≌△，∴DH GF =，PH PG =，∵BG GF =，∴DH BG =，∵DC BC =，∴HC GC =，∴GCH △是等腰三角形，∴PG PC ⊥，PCG PCH ∠=∠，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴30PCG ∠=︒；（2）（1）中两个结论仍成立；证明：如图②，延长GP 交AD 于点H ，连接CG ， ∵四边形ABCD 和BEFG 是菱形，∴AD //BC ，BE //FG ，∵E 在CB 的延长线上∴AD //FG ，∴HDP GFP ∠=∠，在DPH △和FPG △中，PDH PFG PD PF DPH FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DPH FPG △≌△，PH PG =，DH FG BG ==，在CDH △和CBG △中，120DH BG HDC CBG DC BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)CDH CBG △≌△，∴CH CG =，DCH BCG ∠=∠，∴CP PG ⊥，∵60HCG HCB BCG HCB DCH DCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴1230PCG HCG ∠=∠=︒7、（1）证明：如图1，∵AF平分BAD∠，∴BAF DAF∠=∠，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴DAF CEF∠=∠，BAF F∠=∠，∴CEF F∠=∠.∴CE CF=.（2）连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，90∠=︒，ABC∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分BAD∠，∴45∠=∠=︒，DAF BAF∵90∠=︒，DF//AB，DCB∴45∠=︒DFAECF∠=︒，90∴ECF△为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG CG FG⊥，==，CG EF∵ABE=，△为等腰直角三角形，AB DC∴BE DC=，∵45∠=∠=︒BEG DCG CEF GCF∠=∠=︒，∴135在BEG△与DCG△中，∵EG CGBEG DCG BE DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)BEG DCG△△≌，∴BG DG=，∵CG EF⊥，∴90DGC DGA∠+∠=︒，又∵DGC BGA∠=∠，∴90BGA DGA∠+∠=︒，∴DGB△为等腰直角三角形，∴45BDG∠=︒.（3）证法同2，如图3．8、（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60ABC∠=︒，∴ABC△是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴1230CBE ABC∠=∠=︒，AE CE=，∵AE CF=，∴CE CF=，∴F CEF∠=∠，∵60F CEF ACB∠+∠=∠=︒，∴30F∠=︒，∴CBE F∠=∠，∴BE EF=；（2）图2：BE EF=．图3：BE EF=．图2证明如下：过点E作EG//BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60∠=︒，ABC∴ABC△是等边三角形，∴AB AC∠=︒，ACB=，60又∵EG//BC，∴60∠=∠=︒，AGE ABC又∵60∠=︒，BAC∴AGE△是等边三角形，∴AG AE=，=，∴BG CE又∵CF AE=，=，∴GE CF又∵120BGE ECF∠=∠=︒，∴(SAS)△≌△，BGE ECF∴BE EF=；图3证明如下：过点E作EG//BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB BC=，又∵60∠=︒，ABC∴ABC△是等边三角形，∴AB AC∠=︒，=，60ACB又∵EG//BC，∴60∠=∠=︒，AGE ABC又∵60∠=︒，BAC∴AGE△是等边三角形，∴AG AE=，∴BG CE=，又∵CF AE=，=，∴GE CF又∵60∠=∠=︒，BGE ECF∴(SAS)=．BGE ECF△≌△，∴BE EF9、（1）连接BD ，则BD 过点O ， ∵AD //BC ，∴OBM ODN ∠=∠，又OB OD =，BOM DON ∠=∠， ∴OBM ODN △≌△，∴BM DN =；（2）∵矩形ABCD ，∴AD //BC ，AD BC =，又BM DN =，∴AN CM =，∴四边形AMCN 是平行四边形，由翻折得，AM CM =，∴四边形AMCN 是菱形；（3）∵12CDN S DN CD =⋅△，12CMN S CM CD =⋅△，又1:3CDN CMN S S =△△:，∴:1:3DN CM =，设DN k =，则3CN CM k ==，过N 作NG MC ⊥于点G ，则CG DN k ==，2MG CM CG k =-=，N G ==∴M N ==∴MN DN = 10、（1）证明：①∵90BAC ∠=︒，AB AC =， ∴45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD AF =，90DAF ∠=︒， ∵90BAC BAD DAC ∠=∠+∠=︒， 90DAF CAF DAC ∠=∠+∠=︒， ∴BAD CAF ∠=∠，在BAD △和CAF △中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(SAS)BAD CAF △≌△， ∴45ACF ABD ∠=∠=︒， ∴90ACF ACB ∠+∠=︒， ∴BD CF ⊥；②由①BAD CAF △≌△可得BD CF =， ∵BD BC CD =-， ∴CF BC CD =-；（2）与（1）同理可得BD CF =，所以，CF BC CD =+；11、①当01t ≤<时，1()2MNQP S PM QN MN =+⋅四边形11)]2t =++= ②当12t ≤≤时1()2MNQP S PM QN MN =+⋅四边形1)]12t =-⋅=； ③当23t <≤时，1()2MNQP S PM QN MN =+⋅四边形1))]2t t =--= 综上所述，1)2)3)tS tt+≤<=≤≤⎪+<≤⎪⎩．12、（1）当点P运动2秒时，2cmAP=，由60A∠=︒，知1cmAE=，PE=．∴APES=△2．（2）①当06t≤≤时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN 与AD交于点F，则AQ t=，2tAF=，QF=，2AP t=+，12tAG=+，PG．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=+．②当68t≤≤时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ t=，2tAF=，42tDF=-，QF，6BP t=-，10CP t=-，10PG t=-（BD=故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为2S=+-③当810t≤≤时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则202CQ t=-，(202QF t=-10CP t=-，10PG t=-（∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为2S=-+故S 关于t的函数关系式为22(0t 6)(68)10)S t t +≤≤⎪⎪⎪=+-≤≤⎨-+≤≤⎪⎩． 13、（1）当1t =秒时，PQR △的边QR 经过点B ．（2）①当01t ≤≤时，如图1-1所示．设PR 交BC 于点G ，过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==．13983(223)3622OABC OPGC S S S t t t =-=⨯-++⨯=-矩形梯形；②当12t <≤时，如图1-2所示．设PR 交BC 于点G ，RQ 交BC 、AB 于点S 、T ．过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==． QD =t ，则4AQ AT t ==-，∴3(4t)t 1BT BS AB AQ ==-=--=-．21183(223)3(1)2OABC BST OPGC S S S S t t t =--=⨯-++⨯--矩形梯形△215192t t =--+③当2＜t ≤4时，如图1-3所示．设RQ 与AB 交于点T ，则4AT AQ t ==-．123PQ t =-，∴3t)PR RQ ==-． 2222211117(123t)(4)142822424PQR AQT S S S PR AQ t t t =-=-=---=-+△△.综上所述， 22396(01)21519(12)271428(2t 4)4t t S t t t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩．D D14、（1）4t =；（2）183t =；28t =-，3327t -=15、（1）(6,0)，（2）①如图1所示：∵4OC =，6DA =，∴点N 从O 到C 需要4s ，点M 从D 到A 需要2s ．∴02t ≤＜时，点N 在OC 上，点M 在DA 上． ∴当02t ≤＜时，AOM △为直角三角形． ②如图2所示：当MN OC ⊥时，MON △是直角三角形． ∵MN OC ⊥，∴90MNO ∠=︒． ∴MNO NOA OAM ∠=∠=∠． ∴四边形OAMN 为矩形． ∴ON AM =． ∴36t t =-．解得：3t =．∴当3s t =时，AOM △为直角三角形． ③如图3所示：当点N 与点C 重合时，NOM △为直角三角形． ∵4ON OC ==， ∴4t =．综上所述，当02t ≤＜时或3t =时或4t =时，NOM △为直角三角形．16、（1）证法一：∵矩形ABCD ，∴AD//BC ，AD BC =， ∵BM DN =，∴AD DN BC BM -=-，即AN CM =，∴四边形AMCN 是平行四边形，由翻折得，AM CM =， ∴四边形AMCN 是菱形；证法二：由翻折得，AN NC =，AM MC =，AMN CMN ∠=∠， ∵AD//BC ，∴ANM CMN ∠=∠， ∴AMN ANM ∠=∠， ∴AM AN =，∴AM MC CN NA ===， ∴四边形AMCN 是菱形；（2）设菱形AMCN 的边长为x cm ，则8BM x =-，在Rt ABM △中，222AB BM AM +=，即22248x x +-=（），解得5x =， ∴5cm AM =，显然，当点P 在AM 上时，点Q 在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形，同理，点P 在AB 上时，点Q 在DN 或CN 上，此时A 、C 、P 、Q 四点也不可能构成平行四边形，因此，只有点P 在BM 上，点Q 在DN 上时，才能构成平行四边形，此时PC QA =，∵点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t ， ∴5PC PM MC PM AM t =+=+=， 844124QA AD CD CQ t t =+-=+-=-，∴5124t t =-，解得43t =， ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒． 17、（1）如图1，当1t =秒时，2AE =，10EB =，4BF =，4FC =，2CG =，由111()222EBF FCG GCBE EB CG BC EB BF FC C S S S S G =⨯+⋅-⋅--=-⋅△△梯形2111(102)81044224cm 222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（2）①如图1，当02t ≤≤时，点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上移动，此时2AE t =，122EB t =-，4BF t =，84FC t =-，2CG t =，111()222EBF FCG GCBE EB CG BC EB BF FC C S S S S G =⨯+⋅-⋅--=-⋅△△梯形21118(1222)4(122)2(84)83248(02)222t t t t t t t t t =⨯⨯-+-⨯--⨯-=-+≤≤． ②如图2，当点F 追上点G 时，428t t =+，解得4t =，当24t ＜＜时，点E 在边AB 上移动，点F 、G 都在边CD 上移动，此时48CF t =-，2CG t =，2(48)82FG CG CF t t t =-=---，11(82)883222S FG BC t t =⋅=-⋅=-+．即832(24)S t t =-+<<． 18、分为三种情况：①当05t <≤时，如图1，设EF 交OA 于Q ， ∵DF DE =，90FDE ∠=︒，∴45FED ∠=︒， ∵四边形AOCB 是矩形， ∴90AOC ∠=︒， ∴45OQE FEO ∠=∠=︒， ∴1OQ OE t t ==⨯=，∴重叠部分的面积21122QOE S S t t t ==⋅=△；②当56t <≤时，如图2，由①知：OE OQ t ==， ∵四边形AOCB 是矩形， ∴AB//OC ，90QAB ∠=︒， ∴45QRA FED ∠=∠=︒， ∴45AQR QRA ∠=∠=︒， ∴5AR AQ t ==-， ∴重叠部分的面积11()(5)522AOER S S AR OE OA t t ==⨯+⨯=⋅-+⋅梯形，即512.5S t =-；③当610t <≤时，如图3， ∵651QF QR ==-=， ∴重叠部分的面积11()(16)517.522S QR DE DQ =⨯+⨯=⨯+⨯=；综上所述：21,(05)2512.5,(56)17.5,(610)t t S t t t ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪<≤⎪⎩．19、∵45ACB ∠=︒，1图2图3图∴PE CE =和PE FC =时，EPC △是等腰直角三角形， ①PE CE =时，2PC CF =，6324x x -=⨯，解得611x =， ②PE FC =时，点P 和点F 重合，PC CF =，∴634x x -=，解得67x =，综上所述，611x =或67时，EPC △是等腰直角三角形．20、（1）在DFC △中，90DFC ∠=︒，30C ∠=︒，2DC t =，∴DF t =，又∵AE t =，∴AE DF =；（2）能.理由如下：∵AB BC ⊥，DF BC ⊥，∴AE//DF . 又AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形∵·tan 350AB BC ===，210AC AB ∴==， 102AD AC DC t ∴=-=-．若使AEFD 为菱形，则需AE AD =．即102t t =-，103t =．即当103t =时，四边形AEFD 为菱形；（3）①90EDF ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形．在Rt AED △中，30ADE C ∠=∠=︒，∴2AD AE =．即1022t t -=，52t =． ②90DEF ∠=︒时，由（2）知EF//AD ，∴90ADE DEF ∠=∠=︒，∵9060A C ∠=︒-∠=︒， ∴12AD AE =．即11022t t -=，4t =． ③90EFD ∠=︒时，此种情况不存在．综上所述，当52t =或4时，DEF △为直角三角形． 21、（1）MN BN ⊥，理由：由题意得，△≌△ADM ABN ，且MAN ∠=90︒，ANB AND ∴∠=∠=135︒，AM AN =， ANM ∴∠=45︒，MNB ∠=90︒， MN BN ∴⊥；（2）由题意得，△≌△ADM ABN ，且MAN ∠=90︒，NB MD ∴==AN AM ==1，由勾股定理，MN =，MB =作BP AN ⊥交AN 的延长线于点P ，则BNP ∠=45︒，BP =3，即点B 到直线AN 的距离为3．（3）由（2）得，BP NP ==3，AP ∴=4，AD AB ==5，△BMN S BN MN 1=⋅=32，△AMN S AN AM 11=⋅=22，所以△△△△△△ANBM BMN AMN ANB AMB AMD AMB S S S S S S S 7=+=+=+=2四边形， MBCD ANBM ABCD S S S 657∴=-=-=2922四边形四边形梯形．。

北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形(含答案)

期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，求证：AE＝EF；（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状；（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．3．在菱形A BCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度数．4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝，RH＝；（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2①求△PRQ的面积；②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；③六边形花坛ABCDEF的面积是m2．7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D 不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．（2）当BH平分DE时，求GC的长．8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结C E，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P 从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）填空：①当∠ADC＝°时，四边形ACEB为菱形；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝．13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．（1）求证：四边形AEMF是菱形；（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．（1）如图（1），求证：AP＝AQ；（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F 为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；（1）若AB＝2，求EF的长；（2）求证：CG﹣EF＝BG．参考答案1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵AB＝BC，BM＝BE，∴AM＝EC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：取AB中点M，连接EM，∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，∴∠BME＝∠BME＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴EM＝CF，∵AB＝2，点E是边BC的中点，∴BM＝BE＝1，∴CF＝ME＝．2．（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△F AE和△CDE中，，∴△F AE≌△CDE（ASA），∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD，BF＝BC，∴△BCF是等腰直角三角形，∴∠BCF＝45°，∴∠DCF＝45°，∴CF平分∠BCD．3．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AF，∴BE+BC＝AF+AB，即CE＝BF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∵∠BAE＝∠F AG，∴∠E+∠BAE＝∠F+∠F AG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．4．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠ADF＝∠F AD，∴F A＝FD，∴四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF ＝AD．理由如下：由（1）得：四边形AEDF是菱形，∴AD⊥EF，∵AB＝AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，∴EF∥BC；当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，∴EF＝AD；故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．5．（1）证明：如图，延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，在△ADE'和△ABE中，，∴△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠B AE＝45°，∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，在△E′AF和△EAF中，，∴△E′AF≌△EAF（SAS），∴E′F＝EF，∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，设BE＝x，DF＝y，∵正方形ABCD的边长为1，∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，∵△CEF的周长为2，∴CE+CF+EF＝2，∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，在△E'AF和△EAF中，，∴△E'AF≌△EAF（SSS），∴∠E'AF＝∠EAF，∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，∴∠EAF＝45°．6．解：（1）∵PR⊥QR，∴∠PRQ＝90°，∴PR2+RQ2＝PQ2，∵S1＝16，S2＝9，∴S3＝16+9＝25，∴PR＝4，RQ＝3，PQ＝5，∵RH⊥PQ，∴PR•RQ＝PQ•RH，∴RH＝＝，故答案为：25，2.4；（2）①设PH＝a，则QH＝6﹣a，∵RH2＝PR2﹣PH2＝RQ2﹣HQ2，∴25﹣a2＝13﹣（6﹣a）2，解得：a＝4，∴RH2＝PR2﹣PH2＝25﹣16＝9，∴RH ＝3，∴S △PQR ＝×6×3＝9；②S △PRQ ＝S △DQE ，证明：延长RQ 到点M ，使QM ＝RQ ，连结PM ，∵QD ＝QM ，∠DQE ＝∠MQP ，QE ＝QP∴△DQE ≌△MQP （SAS ），∴S △DQE ＝S △MQP ，∵RQ ＝QM ，∴S △PRQ ＝S △MQP ，∴S △PRQ ＝S △DQE ；③六边形花坛ABCDEF 的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m 2．故答案为：110．7．（1）证明：∵正方形ABCD ，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，同理：CG ＝CE ，∠GCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠GCE ＝90°，，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°，∴BH⊥DE；（2）若BH垂直平分DE，连接BD，∴BD＝BE，∵BD＝，∴CG＝CE＝BE﹣BC＝﹣1．8．解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2．9．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形．10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．11．解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，∵AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形．此时，t＝22﹣3t，t＝．当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．此时，16﹣t＝3t，t＝4，∵线段PQ为平行四边形的一边，故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．（2）当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3，当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD﹣PD＝16﹣13＝3．在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP═≠13∴四边形PBQD不能成为菱形；如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，由题意得，，解得，．故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t＝6时为菱形．12．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CD B．∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，∵∠ADC＝60°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE＝BE，∴四边形ACEB为菱形，故答案为：60；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，DE＝4，故答案为：4．13．（1）证明：∵EF垂直平分AM，∴AE＝EM，OA＝OM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，，∴△AOF≌△MOE（AAS）．∴OF＝OE．∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝EM．∴四边形AEMF是菱形；（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点，∴BM＝2OH，AM＝2OA，∴AM+BM＝2OA+2OH＝18．设BM＝x，则AM＝18﹣x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2，解得：x＝8，∴BM＝8，AM＝10．∴OA＝AM＝5，设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴AE＝EM＝在Rt△AOE中，EO＝＝＝．∵OP∥EM，∴＝＝1，∴AP＝PE，∴OP＝EM＝，∵PE＝AE＝，∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝++＝10．14．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴BP＝CQ，在△ABP和△ADQ中，，∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ，（2）∵AP＝AQ，∴△APQ是等腰三角形，∵BC＝CD，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴PC＝CQ，∴△PQC是等腰三角形，∵AB＝BC，AD＝CD，∴△ABC，△ACD是等腰三角形，∴图中所有的等腰三角形有△ABC，△APQ，△ACD，△CPQ．15．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，∴AC＝2OA＝2，∵AE＝AB＝2，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝﹣1；（2）证明：设AB＝2a，同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，∴AC＝2OA＝2a，∵AE＝AB＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝（﹣1）a，∴OF＝OE+EF＝（2﹣）a+（﹣1）a＝a，∴OB＝OF，∵AC⊥BD，∴△BOF是等腰直角三角形，∴∠BFG＝45°，∵BG⊥BF，∴△BFG是等腰直角三角形，∴GF＝BG，∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，∴CG﹣EF＝BG．。

北师大版九年级数学上学期期末培优训练第一章：特殊的平行四边形(含答案)

九年级数学上学期期末培优训练：特殊的平行四边形1．在菱形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 O 直线 EF 分别交 DA、 BC 的延长线于点 E、 F，连接 BE、 DF ．（1）求证：△ AOE≌△ COF；（2）若 EF ＝BD， BE＝ 8， BF＝ 16，求菱形 ABCD 的面积；（ 3）若 EF ⊥AB，垂足为G，OB＝ 3AG，求的值．2．菱形 ABCD 中， F 是对角线 AC 的中点，过点 A 作 AE ⊥BC 垂足为 E，G 为线段 AB 上一点，连接GF 并延长交直线BC 于点 H．（ 1）当∠ CAE＝ 30°时，且CE ＝，求菱形的面积；（ 2）当∠ BGF +∠BCF ＝ 180°， AE＝ BE 时，求证： BF ＝（+1） GF ．3．如图，菱形ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 D 作 DE ∥AC 且 DE ＝ OC，连接CE、 OE，连接 AE 交 OD 于点 F．（1）求证： OE＝ CD；（2）若菱形 ABCD 的边长为 6，∠ ABC ＝ 60°，求 AE 的长．4．如图 1，在矩形ABCD 中， AC 为对角线，延长 CD 至点 E 使 CE＝ CA，连接 AE． F 为 AB 上的一点，且 BF＝ DE ，连接 FC ．（ 1 ）若 DE ＝ 1， CF＝，求 CD 的长；（ 2 ）如图 2，点 G 为线段 AE 的中点，连接BG 交 AC 于 H，若∠ BHC+∠ ABG＝ 60°，求证： AF +CE ＝ AC．5．如图，已知正方形ABCD 的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ ACD交BD 于点 E，（1）求 DE 的长；（2 ）过点 E 作 EF⊥ CE，交 AB 于点 F，求 BF 的长；（3）过点 E 作 EG⊥ CE，交 CD 于点 G，求 DG 的长．6．如图，在正方形ABCD 中，点 E 在射线 AB 上，点 F 在射线 AD 上．（1）若 CE⊥ CF，求证： CE＝ CF ；（2）若 CE＝ CF，则 CE⊥ CF 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明．7．【感知】如图① ，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝ DG ．【拓展】如图② ，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠ F．求证： BE＝DG ．【应用】如图③ ，四边形ABCD 、 CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G 在 AD 延长线上．若AE＝ 2ED，∠ A＝∠ F，△ EBC 的面积为8，则菱形CEFG 的面积为．8．已知，正方形ABCD 中，∠ MAN ＝45°，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC （或它们的延长线）于点M、 N，AH⊥ MN 于点 H ．（ 1）如图①，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM ≠DN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN ＝ 45°，AH⊥ MN 于点 H，且 MH ＝ 2，NH＝3，求 AH 的长．（可利用（ 2）得到的结论）9．如图，在长方形OABC 中， O 为平面直角坐标系的原点，点 A 的坐标为（ a， 0），点 C 的坐标为（ 0， b）且 a、b 满足+|b﹣ 6|＝0，点 B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着O﹣ C﹣ B﹣A﹣ O 的线路移动．（Ⅰ）点 B 的坐标为；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为；（Ⅱ）在移动过程中，当点P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，求点P 移动的时间；（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP 的面积是10 时，求点P 移动的时间．10．如图，在正方形ABCD 中， E 是边 AB 上的一动点（不与点A、 B 重合），连接 DE，点A 关于直线 DE 的对称点为 F ，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG ，过点 E 作 EH ⊥ DE交 DG 的延长线于点 H，连接 BH ．（1）求证： GF ＝ GC；（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．11．如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝ 90°，AC＞ BC，分别以 AB，BC，CA 为一边向△ ABC 外作正方形 ABDE 、 BCMN ， CAFG ，连接 EF 、GM 、 ND ，设△ AEF 、△ BND、△ CGM的面积分别为S1、S2、 S3．（1）猜想 S1、 S2、 S3的大小关系．（2）请对（ 1）的猜想，任选一个关系进行证明；（3）若将图 1 中的 Rt △ ABC 改为图 2 中的任意△ ABC ，若 S ABC＝ 5，求出 S1+S2+S3的值；（ 4）若将图 2 中的任意△ ABC 改为任意凸四边形ABCD ，若 S△AEG+S△CNK+S△IBH +S△DFM ＝α，则四边形 ABCD 的面积为（直接用含α的代数式表示结果）12．（ 1）如图 1，已知 DE∥ BC，∠ D：∠ DBC ＝ 2：1，∠ 1＝∠ 2．求∠ DEB 的度数．（ 2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图 2 所示的图形，其中，ABCD 是长方形（ AD ∥ CB ，F 是 DA 延长线上一点，G 是 CF 上一点，并且∠ACG ＝∠ AGC，∠ GAF ＝∠ F，你能证明∠ECB＝∠ ACB吗？13．如图，已知正方形ABCD ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 延长线上， BE＝ DF （1）求证： AE＝ AF；（2）若 BD 与 EF 交于点 M，连接 AM，试判断 AM 与 EF 的数量与位置关系，并说明理由．14．（ 1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别是边 BC， CD 上两点，且BM ＝ CN，连 AM 和 BN，交于点 P．猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形 ABCD 的边长为 4．点 M 和 N 分别从点 B、 C 同时出发，以相同的速度沿 BC 、CD 方向向终点 C 和 D 运动，连接 AM 和 BN，交于点 P．求△ APB周长的最大值．15．已知，在△ABC 中， D ，E， F 分别是 AB，AC ，BC 的中点，连接DE， DF ．（1）如图 1，若 AC ＝BC，求证：四边形 DECF 为菱形；（2）如图 2，过 C 作 CG∥ AB 交 DE 延长线于点 G，连接 EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ ADG 面积相等的平行四边形．16．如图，在正方形ABCD 中，点 P 为 AD 延长线上一点，连接AC、 CP， F 为 AB 边上一点，满足CF⊥ CP，过点 B 作 BM ⊥ CF，分别交AC、 CF 于点 M、 N（ 1）若 AC＝AP， AC＝ 4，求△ ACP的面积；（2）若 BC＝ MC，证明： CP﹣ BM＝ 2FN．参考答案1．证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ＝ OC ，AD ∥ BC ，∴∠ EAO ＝∠ FCO ，又∠ AOE ＝∠ COF∴△ AOE ≌△ COF （ AAS ）；（ 2）由△ AOE ≌△ COF ，得 OE ＝ OF ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OB ＝ OD∴四边形 EBFD 是平行四边形，∵ EF ＝ BD ，∴ ? EBFE 是矩形，∴∠ EBF ＝ 90°，设菱形 ABCD 的边长为x ，∴ AB ＝ AD ＝ x ，∴ AE ＝ 16﹣ x ，在 Rt △AEB 中，根据勾股定理，得AB 2＝ AE 2+BE 2，即 x 2＝（ 16﹣ x ） 2+82 ，解得 x ＝ 10，∴ S 菱形＝BC ?BE ＝10× 8＝ 80．答：菱形 ABCD 的面积为 80．（ 3）∵ EF ⊥AB ，垂足为 G ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ⊥ OB ∴∠ AOG +∠ BOG ＝90°，∵ OG ⊥AB ，∴∠ AOG+∠ OAG ＝ 90°，∴∠ BOG ＝∠ OAG ，∠ AGO ＝∠ BGO ＝90°， ∴△ OBG ∽△ AOG∴，∴ OG 2＝AG?BG∵在 Rt △ GOB 中，根据勾股定理，得22 2∴ OB 2﹣ BG 2＝AG?BG ，∵ OB ＝ 3AG ，∴ BG 2+AG?BG ﹣90AG 2＝ 0∴（ BG ﹣9AG ）（ BG+10AG ）＝ 0BG ＝ 9AG ， BG ＝﹣ 10AG （不符合题意，舍去），AB ＝ BG+AG ＝ 10AG ，在 Rt △AOB 中，根据勾股定理，得OA 2＝ AB 2﹣ OB 2＝ 100AG 2﹣ 90AG 2＝ 10A G2∴ OA ＝AG ∴＝答：的值为．2．（ 1）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ BC ，∵ AE ⊥ BC ，∠ EAC ＝ 30°，∴∠ ACE ＝ 60°， AC ＝2EC ＝ 2，∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形，∴S 菱形ABCD ＝ 2?S △ ＝ 2× ×（ 2 ）2＝6 ． ABC（ 2）如图，连接 GC ，作 GM ⊥ GF 交 BF 于 M ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ BA ＝ BC ，∵ AF ＝ FC ，∴ BF ⊥ AC ，∴∠ BFA ＝90°，∵∠ BGF+∠ BCF ＝ 180°，∠ AGF +∠ BGF ＝ 180°，∴∠ AGF ＝∠ ACB ，∵∠ GAF ＝∠ CAB∴＝，∴＝，∵∠ CAG＝∠ BAF，∴△ CAG∽△ BAF ，∴∠ CGA＝∠ BFA＝90°，∵AE⊥ BE， AE＝ BE，∴∠ ABE＝45°，∴∠ GBC＝∠ GCB＝45°，∴ GB＝ GC，∵∠ BGC＝∠ MGF ，∴∠ BGM ＝∠ CGF ，∵∠ GBM ＝∠ GCF ，∴△ BGM ≌△ CGF ，∴BM＝CF，GM ＝GF，FM ＝GF，∵∠ AGC＝ 90°AF＝FC ，∴GF＝ FC＝BM ，∴ BF＝ BM +FM ＝ GF+GF ＝（+1） GF ．3．（ 1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， DE ＝AC，∴AC⊥ BD，DE ＝OC．∵ DE∥ AC，∴四边形 OCED 是平行四边形，∵ AC⊥ BD，四边形 OCED 是平行四边形，∴四边形 OCED 是矩形，∴OE＝ CD．（ 2）解：∵菱形ABCD 的边长为6，∴AB＝ BC＝ CD ＝AD＝ 6， BD ⊥AC，AO＝ CO＝ AC．∵∠ ABC＝ 60°， AB＝BC ，∴△ ABC 是等边三角形，∴ AC ＝ AB ＝ 6，∵△ AOD 中 BD ⊥AC ，AD ＝ 6， AO ＝3，∴OD ＝＝3 ，∵四边形 OCED 是矩形，∴ CE ＝ OD ＝3 ，∵在 Rt △ ACE 中， AC ＝6， CE ＝ 3，∴AE ＝＝＝3 ．4．解：（ 1）设 CD ＝ x ．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ADC ＝∠ B ＝ 90°， AD ＝ BC ，在 Rt △BCF 中， BC ＝＝，∵ AC ＝ CE ＝ x+1，在 Rt △ADC 中，∵ AC 2＝ AD 2+ CD 2，∴（ x+1） 2＝ x 2+（） 2，∴ x ＝ 3，∴ CD ＝3．（ 2）如图 2 中，连接 CG ．作 FJ ⊥AC 于 J ．∵ CA ＝ CE ， AG ＝EG ，∴ CG ⊥ AE ，∠ ACG ＝∠ ECG ，∵∠ AGC＝∠ ABC＝ 90°，∴∠ AGC+∠ ABC＝180°，∴A、 G、C、 B 四点共圆，∴∠ ABG＝∠ ACG，∴∠ ACG＝∠ ECG＝∠ ABG ，设∠ ACG＝∠ ECG＝∠ ABG＝x，则∠ BAH ＝∠ ACD ＝2x，∠ BHC＝∠ BAH+∠ ABG＝3x，∵∠ BHC+∠ ABG＝ 60°，∴4x＝60°，∴x＝ 15°，∴∠ FAJ＝ 30°，∠ DAC＝∠ ACB＝ 60°，∠ CAE＝ 75°，∴∠ EAD＝ 15°，∵DE＝ BF，∠ ADE ＝∠ CBF， AD ＝BC，∴△ ADE≌△ CBF ，∴∠ BCF＝∠ DAE ＝15°，∴∠ FCJ＝ 45°，∴ CJ＝ FJ ，设 CJ＝ FJ＝ a，则 AJ＝a， AF＝ 2a， AC＝ a+a，∴＝＝﹣1，∴AF＝（﹣1）AC，∴ AF＝AC﹣ AC，∵ AC＝ CE，∴AF+CE＝ AC．5．解：（ 1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ ABC＝∠ ADC＝ 90°，∠DBC＝∠ BCA＝∠ ACD ＝45°，∵ CE 平分∠ DCA ，∴∠ ACE＝∠ DCE＝∠ ACD＝22.5°，∴∠ BCE＝∠ BCA+∠ ACE ＝ 45°+22.5 °＝ 67.5°，∵∠ DBC＝ 45°，∴∠ BEC＝ 180°﹣ 67.5°﹣ 45°＝ 67.5°＝∠ BCE，∴BE＝ BC＝，在 Rt△BCD 中，由勾股定理得： BD ＝＝ 2，∴DE＝ BD﹣BE ＝2﹣；（ 2）∵ FE⊥CE，∴∠ CEF＝ 90°，∴∠ FEB ＝∠ CEF ﹣∠ CEB＝ 90°﹣ 67.5°＝ 22.5°＝∠ DCE ，∵∠ FBE＝∠ CDE ＝45°， BE＝BC＝CD ，∴△ FEB ≌△ ECD ，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长 GE 交 AB 于 F，由（ 2）知： DE ＝ BF＝ 2﹣，由（ 1）知： BE＝ BC＝，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥DC，∴△ DGE∽△ BFE ，∴＝，∴＝，解得： DG＝3﹣4．6．（ 1）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴CB＝ CD，∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°∵ CE⊥ CF∴∠ ECF＝ 90°∴∠ BCE＝∠ DCF ＝ 90°﹣∠ BCF在△ BCE 和△ DCF 中，，∴△ BCE≌△ DCF ，∴CE＝ CF．（ 2）若 CE＝ CF，则 CE⊥ CF 不一定成立当点 E 在线段 AB 上，且点 F 在 AD 延长线上或当点 E 在 AB 延长线上，且点 F 在线段AD 上时 CE⊥CF 成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形∴CB＝ CD，∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°∵ CE＝ CF在 Rt△BCE 和 Rt△ DCF 中，，∴Rt△BCE≌ Rt △ DCF（ HL ），∴∠ ECB＝∠ FCD ，∴∠ ECB+∠ BCF ＝ 90°，∴CE⊥ CF；当点 E 在线段AB 上，且点 F 在线段 AD 上或当点 E 在线段 AB 延长线上，且点 F 在 AD 延长线上时，CE⊥ CF 不成立，如图如下：．7．解：拓展：∵四边形ABCD 、四边形 CEFG 均为菱形，∴BC＝ CD，CE＝ CG，∠ BCD＝∠ A，∠ ECG＝∠ F．∵∠ A＝∠ F，∴∠ BCD＝∠ ECG．∴∠ BCD﹣∠ ECD＝∠ ECG﹣∠ ECD，即∠ BCE＝∠ DCG ．在△ BCE 和△ DCG 中，，∴△ BCE≌△ DCG （ SAS），∴BE＝ DG ．（6 分）应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD∥BC，∵BE＝DG，∴S△ABE+S△CDE＝ S△BEC＝ S△CDG＝ 8，∵ AE＝ 2ED ，∴S△CDE＝× 8＝，∴S△ECG＝ S△CDE+S△CDG＝，∴S菱形 CEFG＝2S△ ECG＝．故答案为：．（9 分）8．解：（ 1）如图① AH ＝AB．（2）数量关系成立．如图②，延长 CB 至 E，使 BE＝ DN ．∵ABCD 是正方形，∴ AB＝ AD ，∠ D ＝∠ ABE ＝ 90°，在 Rt△AEB 和 Rt△ AND 中，，∴Rt△AEB≌ Rt △ AND，∴AE＝ AN，∠ EAB＝∠ NAD，∵∠ DAN+∠ BAM ＝ 45°，∴∠ EAB+∠ BAM ＝45°，∴∠ EAM＝ 45°，∴∠ EAM＝∠ NAM ＝ 45°，在△ AEM 和△ ANM 中，，∴△ AEM≌△ ANM ．∴S△AEM＝ S△ANM， EM ＝ MN ，∵AB、 AH 是△ AEM 和△ ANM 对应边上的高，∴AB＝AH．（3）如图③分别沿 AM 、 AN 翻折△ AMH 和△ ANH，得到△ ABM 和△ AND，∴ BM ＝2， DN ＝ 3，∠ B＝∠ D＝∠ BAD ＝ 90°．分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD ，由（ 2）可知， AH ＝AB＝ BC＝ CD ＝ AD．设 AH ＝ x，则 MC ＝ x﹣ 2， NC＝ x﹣ 3，在 Rt△MCN 中，由勾股定理，得2 2 2 MN ＝ MC +NC∴52＝（ x﹣ 2）2+（ x﹣ 3）2（ 6 分）解得 x1＝6， x2＝﹣ 1．（不符合题意，舍去）∴AH＝ 6．9．解：（Ⅰ）∵ a、b 满足+ |b﹣ 6|＝ 0，∴a﹣ 4＝ 0， b﹣6＝ 0，解得 a＝ 4， b＝ 6，∴点 B 的坐标是（ 4， 6），∵点 P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着O﹣ C﹣ B﹣ A﹣O 的线路移动，∴2× 3.5＝ 7，∵OA＝ 4，OC＝ 6，∴当点 P 移动 4 秒时，在线段CB 上，离点 C 的距离是： 7﹣ 6＝ 1，即当点 P 移动 4 秒时，此时点P 在线段 CB 上，离点 C 的距离是 2 个单位长度，点P 的坐标是（ 1， 6）；故答案为（4，6），（1，6）．（Ⅱ）由题意可得，在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P 移动的时间是：4÷2＝2 秒，第二种情况，当点 P 在 BA 上时．点 P 移动的时间是：（ 6+4+2）÷ 2＝ 6 秒，故在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，点 P 移动的时间是 2 秒或 6 秒．（Ⅲ）如图 1 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴OP ?BC＝ 10，即× 4×OP ＝10．解得： OP＝ 5．∴此时 t ＝ 2.5s如图 2 所示；∵△ OBP 的面积＝ 10，∴PB?OC＝ 10，即× 6×PB ＝ 10．解得： BP＝．∴CP＝．∴此时 t ＝s，如图 3 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴BP?BC＝ 10，即× 4× PB＝10．解得： BP ＝5．∴此时 t ＝s如图 4 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴OP ?AB ＝10，即× 6× OP＝10．解得： OP＝．∴此时 t ＝s综上所述，满足条件的时间t 的值为 2.5s 或s 或s 或s．10．证明：（ 1）如图 1，连接 DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA＝ DC，∠ A＝∠ C＝90°，∵点A 关于直线 DE 的对称点为 F，∴△ ADE≌△ FDE ，∴∠ DFG ＝ 90°，在 Rt△DFG 和 Rt△ DCG 中，∵，∴Rt△DFG ≌ Rt△ DCG （ HL ），∴GF＝ GC；（ 2）BH ＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段 AD 上截取 AM，使 AM ＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（ 1）知：∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，∵∠ ADC＝ 90°，∴∠ 1+∠ 2+ ∠ 3+∠ 4＝90°，∴ 2∠ 2+2∠ 3＝90°，∴∠ 2+∠ 3＝ 45°，即∠ EDG＝ 45°，∵EH⊥ DE，∴∠ DEH ＝ 90°，△ DEH 是等腰直角三角形，∴∠ AED+∠ BEH ＝∠ AED +∠1＝ 90°， DE＝ EH ，∴∠ 1＝∠ BEH ，在△ DME 和△ EBH 中，∵，∴△ DME ≌△ EBH （ SAS），∴EM ＝BH，Rt△ AEM 中，∠ A＝ 90°， AM ＝AE ，∴EM ＝ AE，∴BH＝ AE；证法二：如图3，过点 H 作 HN⊥ AB 于 N，∴∠ ENH＝ 90°，由方法一可知：DE＝ EH ，∠ 1＝∠ NEH ，在△ DAE 和△ ENH 中，∵，∴△ DAE≌△ ENH（ AAS），∴AE＝ HN ，AD ＝EN，∵ AD＝ AB，∴AB＝ EN＝ AE+BE＝ BE+BN，∴AE＝ BN＝ HN ，∴△ BNH 是等腰直角三角形，∴BH＝ HN ＝ AE．11．解：（ 1）猜想： S1＝ S2＝ S3（ 2）如图 1，延长 FA，过点 E 作 EH⊥ FA 于 H由已知：∠ BAE＝∠ CAH ＝ 90°∴∠ CAB＝∠ HAE∵∠ ACB＝∠ AHE ＝90°， AE＝AB∴△ HAE≌△ CAB∴EH＝ BC∴ S△AEF＝＝＝S△ABCS1＝ S△ABC同理： S2＝ S△ABC S3＝ S△ABC∴S1＝ S2＝ S3（ 3）如图 2分别过点G 和 A 作 GQ⊥MC 于 Q，AP⊥BC 于 P 由已知：∠ GCA＝∠ QCB＝ 90°∴∠ GCQ ＝∠ ACP又∵∠ GQC ＝∠ APC＝ 90°GC＝ AC∴△ GCQ ≌△ ACP∴GQ＝AP∵S△GCM＝S△ABC＝MC ＝BC∴S△GCM＝S△ABC∴S3＝ S△ABC同理： S1＝ S△ABCS2＝ S△ABC∴S1＝ S2＝ S3＝ S△ABC∵S ABC＝ 5∴S1+S2+S3＝ 15（ 4）如图 3，连 AC由（ 3）可知， S△DFM＝ S△ADCS△IBH＝ S△ABC∴S△DFM +S△IBH＝ S△ADC+S△ABC＝S 四边形ABCD 同理： S△AEG+S△CNK＝ S 四边形ABCD∴S△AEG+S△ CNK+S△IBH +S△DFM ＝2S四边形 ABCD∵S△AEG+S△CNK+S△IBH +S△DFM＝α∴ 2S 四边形ABCD＝α∴四边形ABCD 的面积为故答案为：12．（ 1）解：如图1 中，∵ DE ∥BC，∴∠ D+∠ DBC＝ 180°，∵∠ D：∠ DBC ＝ 2： 1，∴∠ D＝ 2∠DBC ，∴2∠DBC +∠ DBC＝180°，即∠ DBC＝ 60°，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠ 2＝30°，∵ DE∥ BC，∴∠ DEB＝∠ 1＝30°．（2）解：如图 2 中，∵ AD∥CB，∴∠ FCB＝∠ F，∵∠ AGC 是△ AGF 的外角，∴∠AGC＝∠ GAF+∠ F＝ 2∠ F，又∵∠ ACG ＝∠ AGC，∠ACB＝∠ ECB +∠ACG ，＝∠ F+2∠ F＝ 3∠ F＝ 3∠ ECB，∴∠ ECB＝∠ ACB．13．（ 1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ ABE＝∠ ADC ＝∠ ADF ＝ 90°， AB＝ AD ，在△ ABE 和△ ADF 中，，∴△ ABE≌△ ADF （ SAS），∴AE＝ AF ；（ 2）AM⊥ EF， AM ＝EF，理由是：由（ 1）得：△ ABE≌△ ADF ，∴∠ FAD＝∠ EAB ，∴∠ FAE＝∠ DAB ＝90°，∴△ FAE 是直角三角形，如图，过 E 作 EN∥ CD，交 BD 于 N，∴∠ MNE ＝∠ MDF ，∠ MEN ＝∠ MFD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ NBE＝ 45°，∴△ NBE 是等腰直角三角形，∴EN＝ BE＝ DF ，在△ MNE 和△ MDF 中，∵，∴△ MNE ≌△ MDF （ASA），∴EM ＝FM ，∵AE＝AF，∴AM ⊥EF，AM ＝ EF ．14．解：（ 1）结论： AM⊥ BN．理由：如图① 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝ BC，∠ ABM ＝∠ BCN＝ 90°，∵BM ＝CN，∴△ ABM≌△ BCN，∴∠ BAM＝∠ CBN，∵∠ CBN+∠ ABN＝ 90°，∴∠ ABN+∠ BAM＝ 90°，∴∠ APB＝90°，∴AM ⊥BN．（ 2）如图②中，以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠ AEB＝90°，作 EF⊥ PA 于 F，作 EG⊥ PB 于 G，连接 EP．∵∠ EFP ＝∠ FPG ＝∠ G＝90°，∴四边形EFPG 是矩形，∴∠ FEG＝∠ AEB＝ 90°，∴∠ AEF ＝∠ BEG ，∵EA＝ EB，∠ EFA＝∠ G＝90°，∴△ AEF ≌△ BEG ，∴ EF＝ EG， AF＝ BG，∴四边形EFPG 是正方形，∴PA+PB＝ PF+AF+PG﹣ BG＝ 2PF＝2EF ，∵ EF≤ AE，∴ EF 的最大值＝ AE＝ 2，∴△ APB 周长的最大值＝4+4．15．（ 1）证明：∵ D， E， F 分别是 AB， AC， BC 的中点，∴ DE∥ CF，DF ∥ EC， DE＝BC ，DF ＝AC，∴四边形DECF 是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝ DF，∴四边形 DECF 是菱形．（2）∵ CG∥ EF， EG∥ CF，∴四边形 EFCG 是平行四边形，△ ADG 面积相等的平行四边形有：四边形 DECF ，四边形 DEFB ，四边形 EFCG ，四边形ADFE ．16．解：（ 1）∵ AC＝AP， AC＝ 4，∴AP＝．AD＝CD＝4∴ S△ACP＝AP× CD＝×× 4＝ 7；（2）在 CF 上截取 FN＝NG，连接 BG ，∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB＝ CB＝ CD ，∠CBF ＝∠ CDP ＝∠ BCF +∠FCD ＝90°，又∵ CF ⊥ CP，∴∠ DCP+∠ FCD ＝ 90°，∴∠ BCF＝∠ BCD，在△ BCF 和△ DCP 中，，∴△ BCF≌△ DCP，∴CF＝ CP，∵BC＝ MC， BM ⊥ CF ，∴∠ BCF＝∠ ACF ＝∠ BCA＝22.5°，∴∠ CFB＝ 67.5°，∵FC⊥ BM，FN ＝ NG∴BF＝ BG∴∠ FBG＝ 45°，∠ FBN ＝ 22.5°∴∠ CBG＝ 45°，在△ BCG 和△ BAN 中，，∴△ BCG≌△ ABM，∴BM ＝CG，∴CF﹣ CG＝FG ，∵BF＝ BG， BM⊥CF，∴ FN＝ NG，∴ CP﹣ BM＝2FN．。

BS北师版初三九年级数学上册第一学期秋(期末考试总复习拔高专题)特殊的平行四边形(含中考真题解析)

特殊的平行四边形☞解读考点☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）AB．C．D【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴=3（cm），∴BD=2OB=cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．B．C．5 D．6 【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（）A ．102B ．53 CD【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．2014 21）（B．2015 21）（C．2015 33）（D．2014 33）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==，∴BD=，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=cm2．故答案为：．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3，2-）．的交点，∴点P的坐标为方程组(11y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：32xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（3，2-），故答案为：（3-，2）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB ∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q 分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】2014．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 BCD． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．B．3 C．D【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=cos30BO=︒，∴BF=BE=，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质． 4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，，则MF 的长是（）ABC ．1D ．【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 【答案】B ．考点：矩形的性质． 3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B=45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB1E ，则△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积为（）A ．0.7B ．0.9C ．−2 D【答案】C ．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE ，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：，由题意得：△ABE ≌△AB1E ，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，，∴，-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B C CF AB BB =，解得：，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：112=，21(232⨯=-，∴△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(32--=．故选C ．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（B．，）C．（2，-2）D．，【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 【答案】B ．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是．4π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴，BH=2，设OG=OE=x，则-3，-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（-3）2+x2=-x）2，解得，∴⊙O的半径为．故答案为：考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】1 4．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt △AOB 中，由勾股定理有5=，∴sin ∠ABC=54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y=-43x+4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y=34x+78，联立直线L与直线AB 求交点，∴F （4751-，722-）；④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A 关于N 的对称点即为F ，AF=145，过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG=145×35=4225，∴F （-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN 为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分． 15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C 的运动路径为CC '，则图中阴影部分的面积为．【答案】342π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A 、D′、C及A、B、C′分别共线∴，∴扇形ACC′4π=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B（AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC--1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=-1）2，解得BO=12-，32C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

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期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N 的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM ∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，∴S＝BC•AE＝24．菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB ＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，， ∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ， ∴S △BOE ＝S △AOG ， ∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB ＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB ＝S四边形AEOG，∴S△BOE ＝S△AOG，∵S△BOE ＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。