高中物理第十一章机械振动第2节简谐运动的描述教学案新人教版选修3-4
第2节简谐运动的描述
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
表示。
A ，用最大距离
定义：振动物体离开平衡位置的(1) ，是标量。
强弱物理意义：表示振动的(2) 2．全振动
图11-2-1
类似于O →B →O →C →O 的一个完整振动过程。
3．周期(T )和频率(f )
周期
频率
定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期
单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率
单位 秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义 表示物体振动快慢的物理量
关系式 T ＝1f
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
1.振幅A 表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。
2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A 。
3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
4．简谐运动的表达式为：x ＝A sin(ωt ＋φ)。位移随时间变化的关系满足x ＝A sin(ωt ＋φ)的运动是简谐运动。
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ) 1．x 表示振动物体相对于平衡位置的位移。 2．A 表示简谐运动的振幅。
3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2π
T ＝2πf 。
4．ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。
1．自主思考——判一判
(1)振幅就是指振子的位移。(×) (2)振幅就是指振子的路程。(×)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(×)
(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(√)
(5)简谐运动表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期
越小。(√)
2．合作探究——议一议
，
π3
2
，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为φΔ两个简谐运动有相位差(1)意味着什么？
3
2
提示：两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为
动。
次全振3
4
个周期或34滞后)乙(总比甲)甲(，意味着乙π (2)简谐运动的表达式一般表示为x ＝A sin(ωt ＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能
否用余弦函数表示？
提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表
示，只是对应的初相位不同。
描述简谐运动的物理量及其关系的理解
1．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次
全振动。
(2)全振动的四个特征：
①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。 ③路程特征：振幅的4倍。 ④相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。振
幅越大，振动系统的能量越大。
(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最
大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。 (3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系
是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。
(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振
幅无关。
[典例] 弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20 cm ，某时
刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点，求：
(1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s 内通过的路程及位移大小。
[解析] (1)振幅设为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm 。
(2)从B 首次到C 的时间为周期的一半，因此T ＝2t ＝1 s ；
。
1 Hz ＝1
T
＝f 再根据周期和频率的关系可得 (3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，即一个周期运动的路程为40 cm ，
200 cm
＝5×40 cm ＝A 4t
T
＝s 5 s 的时间为5个周期，又回到原始点B ，位移大小为10 cm 。
[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm
振动物体路程的计算方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n 个周期内通过的路程必
为n ·4A 。
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当
T
4
动物体在振③内通过的路程才等于振幅。
T
4
初始时刻在平衡位置或最大位移处时， (2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。
1．如图11-2-2所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子
从B 到C 的运动时间为1 s ，则下列说法正确的是( )
图11-2-2
A ．振子从
B 经O 到
C 完成一次全振动
B ．振动周期是1 s ，振幅是10 cm
C ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm
解析：选D 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s＝2 s ，振幅
A ＝BO ＝5 cm ，A 、
B 错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动
振子通过的路程为40 cm ，C 错误；3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm ，D
正确。
b 和5 cm)＝－a x (点a 。质点经过O 轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点x ．质点沿2点所用的最短时间
a 点回到
b ；此时质点再由0.2 s ＝ab t 时速度相同，时间5 cm)＝b x (点) (；则该质点做简谐运动的频率为0.4 s ＝ba t A ．1 Hz
B ．1.25 Hz
C ．2 Hz
D ．2.5 Hz 解析：选B 由题意可知，a 、b 两点关于平衡位置O 对称，质点经a 点和b 点时速度
a
b t 2＝T ，故1
2
为质点振动周期的0.4 s ＝ba t 点所用的最短时间a 点回到b 相同，则质点由正确。
B ，1.25 Hz ＝1
T
＝f ，质点做简谐运动的频率为0.8 s ＝ 3．一个质点做简谐运动，振幅是4 cm ，频率为 2.5 Hz ，该质点从平衡位置起向正方
向运动，经2.5 s ，质点的位移和路程分别是( )
A ．4 cm 、24 cm
B ．－4 cm 、100 cm
C ．0、100 cm
D ．4 cm 、100 cm 。每个周期质点通过的路程为
T 1
46＝2.5 s ＝t Δ，0.4 s ＝1f ＝T 得1T ＝f 由 D 解析：选置向正向
时刻从平衡位0，质点100 cm ＝×16 cm 1
4
6＝s ，故质点的总路程16 cm ＝4×4 cm 项正确。
D ，故4 cm ＝x 周期运动到正向最大位移处，即位移1
4
位移运动，经过 对简谐运动表达式的理解
做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式：
x ＝A sin(ωt ＋φ)
(1)x ：表示振动质点相对于平衡位置的位移。 (2)A ：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。
。
f 2π＝2π
T
＝ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω(3) 可见ω、T 、f 相当于一个量，描述的都是振动的快慢。
(4)ωt ＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位
每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ：表示t ＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。
(6)相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为
。
1φ－2φ＝)1φ＋ωt (－)2φ＋ωt (＝φΔ，其相位差2φ和1φ
运动的做简谐B ，物体m ?
????100t ＋π23cos ＝A x 做简谐运动的振动位移为A 物体 ]典例[) (的运动B 、A 。比较m ?
????100t ＋π65cos ＝B x 振动位移为 A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m
B ．周期是标量，A 、B 周期相等为100 s B f 振动的频率B 等于A f 振动的频率A ．
C B
f 振动的频率B 大于A f 振动的频率A ．D [思路点拨]
(1)物体的振幅、角速度可以直接由简谐运动表达式得出。
。
f 2π＝2π
T
＝ω角速度与周期、频率的关系：(2) [解析] 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别是3 m 、5 m ，错误。因为
B ，选项s 2
－6.28×10＝s 2π100
＝2πω＝T 的周期B 、A 错误。周期是标量，A 选项错误。
D 正确，选项C ，选项B f ＝A f ，故B ω＝A ω [答案] C
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中确定三个描述振动快慢
f 2π＝2π
T
＝ω各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。
，则该振子振动的振幅和周期cm ?
????2πt＋π62sin ＝x ．某振子做简谐运动的表达式为1为( )
A ．2 cm 1 s
B ．2 cm 2π s s π
6
1 cm ．C
．以上全错D ＝ω，2 cm ＝A 对照可得：?
????2πt＋π62sin ＝x 与)φ＋ωt sin(A ＝x 由 A 解析：选选项正确。
A ，1 s ＝T ，所以2π
T
＝2π
2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向的最大加速度，
则它的振动方程是( )
m
? ????4πt＋π2sin 3
－8×10＝x ．A m
? ????4πt－π2sin 3
－8×10＝x ．B m
?
????πt＋3π2sin 1
－8×10＝x ．C m
? ????π4
t ＋π2sin 1
－8×10＝x ．D
0＝t ，4π＝2π
T
＝
ω，0.5 s ＝T ，m 3
－8×10＝0.8 cm ＝A 由题意知， A 解析：选选项正确。A ，故m 3
－8×10＝A ＝x 时，0＝t 时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即 ，则质点t π
4
sin
A ＝x 某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为)多选(．3( )
A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同
B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同
C ．第3 s 末与第5 s 末的位移相同
D ．第3 s 末与第5 s 末的速度相同
，则该质点振动图像
8 s ＝T 可求得该质点振动周期为t π
4sin A ＝x 根据 AD 解析：选如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s
末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确。
1．周期为2 s 的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm ，则在此时间内振子经过
平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A ．15次，2 cm
B ．30次，1 cm
C ．15次，1 cm
D ．60次，2 cm 解析：选B 在半分钟内振子完成15次全振动，经过平衡位置的次数为30次，通过
的路程s ＝4A ×15＝60A ＝60 cm ，故振幅A ＝1 cm ，B 项正确。
)
(两时刻，物体的2t 和1t 所示，在1物体做简谐运动，其图像如图2.
图1
A ．相位相同
B ．位移相同
C ．速度相同
D ．加速度相同
解析：选C 由图可知物体做简谐运动的振动方程为x ＝A sin ωt ，其相位为ωt ，故
错；由振动图像
D 、B 时刻位移小于零，2t 时刻位移大于零，1t 错；A 的相位不同，2t 与1t C
时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，2t 、1t 知对。
3．如图2甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T ＝2 s ，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示，关于这个图像，下列哪些说法正
确( )
甲 乙
图2
A ．t ＝1.25 s 时，振子的加速度为正，速度也为正
B ．t ＝1.7 s 时，振子的加速度为负，速度也为负
C ．t ＝1.0 s 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D ．t ＝1.5 s 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
解析：选C 由x -t 图像可知，t ＝1.25 s 时，振子的加速度和速度均沿－x 方向，A
错误；t ＝1.7 s 时，振子的加速度沿＋x 方向，B 错误；t ＝1.0 s 时，振子在最大位移处，加速度为负向最大，速度为零，C 正确；t ＝1.5 s 时，振子在平衡位置，速度最大，
加速度为零，D 错误。
4．(多选)一个弹簧振子的振幅是A ，若在Δt 的时间内物体运动的路程是s ，则下列
关系中可能正确的是(包括一定正确的)( )
A 8＝s ，T 2＝t Δ．A
A 2＝s ，T
2＝t Δ．B A
2＝s ，T
4
＝t Δ．C
A >s ，T
4
＝t Δ．D 解析：选ABD 因每个全振动所通过的路程为4A ，故A 、B 正确，C 错误；又因振幅为
正确。
D ，故A 有可能大于s 时的路程，故T
4
为s 振子的最大位移，而 5．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A ．1∶1 1∶1
B ．1∶1 1∶2
C ．1∶4 1∶4
D ．1∶2 1∶2 解析：选 B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1。振动周
期由振动系统的性质决定，与振幅无关。
6. (多选)如图3所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y ＝0.1sin(2.5πt )m 。t ＝0时刻，一小球从距物块h 高处自由落下；t ＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加
)
(。以下判断正确的是2
10 m/s ＝g 速度的大小
图3
A ．h ＝1.7 m
B ．简谐运动的周期是0.8 s
C ．0.6 s 内物块运动的路程为0.2 m
D ．t ＝0.4 s 时，物块与小球运动方向相反
2π
ω＝
T ，2.5π＝ω知，)m t 0.1sin(2.5π＝y 由物块简谐运动的表达式 AB 解析：选，解2gt 12
＝|y |＋h ，对小球：0.1 m ＝－y 时，0.6 s ＝t 正确；B ，选项s 0.8 ＝s 2π2.5π＝
得h ＝1.7 m ，选项A 正确；物块0.6 s 内路程为0.3 m ，t ＝0.4 s 时，物块经过平衡位置
向下运动，与小球运动方向相同。故选项C 、D 错误。
7．一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为12 cm ，周期为 2 s 。当t ＝0时，位移为 6
cm ，且向x 轴正方向运动，求：
(1)初相位；
(2)t ＝0.5 s 时物体的位置。
，2πT
＝
ω，2 s ＝T ，12 cm ＝A ，)φ＋ωt sin(A ＝x 设简谐运动的表达式为(1)解析：t ＝0时，x ＝6 cm 。
代入上式得，6＝12sin(0＋φ) 。
π5
6或π6＝φ，12＝φsin 解得 因这时物体向x 轴正方向运动， 。
π
6
，即其初相为π6＝φ故应取 (2)由上述结果可得：
，
cm ?
????πt＋π612sin ＝)φ＋ωt sin(A ＝x 。
cm 36＝π cm 4612sin ＝cm ? ??
??π2＋π612sin ＝x 所以 处
cm 3(2)6 π
6
(1)答案： ＝2x ，cm ?
????100πt＋π34sin ＝1x 有两个简谐运动，其表达式分别是)多选(1)(．8)
(，下列说法正确的是cm ?
????100πt＋π65sin A ．它们的振幅相同 B ．它们的周期相同 C ．它们的相位差恒定
D ．它们的振动步调一致
E ．它们的圆频率相同
(2)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。当振子上下振动时，以速率v 水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图4所示的图像，
为纸上印迹的位置坐标。由此图求振动的周期和振幅。
0x 2、0x 、2y 、1y