(完整版)弹性力学期末考试练习

1、弹性力学的基本假设是什么？

弹性力学的基本假设是：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。

2、简述什么是弹性力学？弹性力学与材料力学的主要区别？

弹性力学又称为弹性理论，事固体力学的一个分支，其中研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变何位移。 弹性力学与材料力学的区别：从研究对象看；材料力学主要研究杆件，在拉压、剪、弯、扭转等作用下的应力、形变何位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，出杆件外，还研究平面体、空间体、平板和壳体等。从研究方法看；弹性力学的研究方法是；在弹性体区域内必须严格地考虑静力学、几何学和物理学；而材料力学中虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严密。

3、如图所示悬臂梁，试写出其边界条件。

解：（1）x a =，1,0

0,0

x y l m f f ==???==??

由

()()()()x s xy s x

y s xy s y

l m f m l f στστ+=+=得()()0,0x xy s s στ==

（2）,y h =-0,10,x y l m f f q

==-???

==??

()()()

()0(1)0

(1)0x xy s s y xy s

s

q

στστ?+?-=?-+?=则()(),0y xy s s q στ=-=

（3）,y h =+0,10,0

x y l m f f ==+???

==??

()()()

()0(1)0

(1)00

x xy s s y xy s

s

στστ?+?+=?++?=得()()0,0y xy s s στ==

（4）0,x =0

0s s

u v =??=?

4、已知下列位移，试求在坐标为（2，6，8）的P 点的应变状态

()32103012-?+=x u ，3

1016-?=zy v ，()321046-?-=xy z w

解：根据

??

? ????+??==??=??+??==??=???? ????+??==??=z u x w z

w z v y w y v x v y u x u zx zx z yz yz y xy xy x 2121,

)(2121,

2121,

εγεεγεεγε 得到

-3

48

01201284410124496ij ε-????=?????-??

5、图示平面薄板，弹性模量E=200GPa ，泊松比v=0.3，求各应变分量

(

)[

]()[](

)[

]

????

?

????

+-=+-=+-=y

x z z x z y y z y x x v E v E v E σσσεσσσεσσσε111

????

?????==

=

G G G zx zx yz yz xy xy τγτγτγ 得到

100MPa

50MPa

4

1075.5-?=x ε,

4104-?-=y ε， 41075.0-?-=z ε，

0===yz xz xy γγγ

6、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场，试分别判断它们是否为可能的应力场（不计体力）。（10分）

22433

1,,2

4

x y xy

x y y xy σστ=-=-=

解：（1）将上式代入平衡微分方程：

00xy

x x yx y y

f x y f x

y τστσ???++=????

?

???++=????得22

333300xy xy y y ?-+=??-=?

?满足。 （2）将上式代入相容方程：

22431()2

4

x y x y y σσ+=-+

22222

22()3330x y y x y x y σσ????++=---≠ ?????

∴ 上式不是一组可能的应力场。

7、图示薄板，在y 方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A 处无应力存在。（15分）

解：

在 AC 、AB 边界上无面力作用。即0x y f f == AB 边界：111cos ,sin l m αα==

由应力边界条件公式，有()()()()x s xy s x

y s xy s y l m f m l f στστ+=+=

1111cos sin 0sin cos 0

x xy y xy ασατασατ+=+= （1）

AC 边界：

2222

cos sin l m αα==-

代入应力边界条件公式，有

2222cos sin 0sin cos 0

x xy y xy ασατασατ-=-+= （2）

∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界，∴满足式（1）和（2），解得

0x y xy σστ===

∴ A 点处无应力作用

8、 已知某点的应力状态，求主应力和最大切应力

, , , x y z a a a σσσ==-=0, 0, xy yz zx a τττ===-。

解： 321230I I I σσσ-+-=

1x y z I a σσσ=++=

222

222222

2x y y z z x xy yz zx

I a a a a a

σσσσσστττ=++--- =--+-=-

222333

20

x y z xy yz zx x yz y zx z xy

I a a σσστττστστστ=+--- =-+=

32220a a σσσ--=

(2)()0a a σσσ-+=

1232, 0, a a σσσ===- 13

max 32

2

a σστ-=

=

9． 设悬臂梁右端受向下的大小为P 的荷载作用，如取挠度曲线为

23w ax bx =+，试用最小势能原理求a 、b 的值。

解：由

23w ax bx =+

得 223dw ax bx dx =+，2

2

26d w a bx dx =+

2

2

2012l d w U EJ dx dx ??

= ????()2

1262

l

EJ

a bx dx =+?

()

22321

412122EJ la l ab l b =++

()

()2

3

2

3

x l

x l

W Pw

P ax bx

P al bl

====+=+

U W ∏=-=

()()2232231

412122EJ la l ab l b P al bl ++-+ 由最小势能原理得0δ∏=，即()0U W δ-=得

()()22

2334606120la l b EJ Pl a l a l b EJ Pl b δδδδ∏?=+-=???

∏?=+-=??

?2

2

3

2346612Pl la l b EJ Pl l a l b EJ ?+=????+=

??

解之得：

26Pl a EJ P b EJ ?=???

?=-??

10、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2

223xy

C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程

?????

?

?=??+??=??+??00x y

y x

xy y yx

x τστσ 得

??

?=--=--+-0

230

33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即

()()()??

?=+=+--0230

3332

22231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得

???

??=+=+=-0

23030332

231C C C Q C C 由此解得，61Q C =

，32Q C -=，2

3Q

C = 11、证明应力函数2by =?能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =?代入相容方程

024422444=??+???+??y

y x x ?

?? 可知，所给应力函数2by =?能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

b y

x 222=??=?

σ，022=??=x y ?σ，02=???-=y x xy ?τ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下

左右四个边上的面力分别为：

上边，2h

y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；

下边，2h

y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2

===h y y y f σ；

左边，2l

x -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2=-=-=l x xy y f τ；

右边，2l

x =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2

===l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2by =?能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

12、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互

不挤压，即设0=x σ。由此可知

022??=y

x ?

σ

将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式

())()(,21x f y x f y x +=?

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

0)()(4

24414=+dx x f d dx x f d y 这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足

它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即

0)(414dx x f d ， 0)

(4

24=dx

x f d 这两个方程要求

I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=?

对应应力分量为

022??=y

x ?

σ

gy E Dx B Ax y x

y ρ?

σ-+++=??=26)26(22

C Bx Ax y

x xy ---=???-=2322?τ

以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有

0)(0==-=C x xy τ

右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有

q Bb Ab b x xy =--==23)(2τ

上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

0)(00

==?dx y b

xy

τ

将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有

0)23(2

30230

2=--=--=--?

Bb Ab Bx Ax dx Bx Ax b b

而00)(00

=?=?dx y b xy τ自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

0)(00

==?

dx y b

y σ，

0)(00

==?xdx y b

y

σ

将y σ的表达式代入，则有

02323)26(2

02

=+=+=+?Eb Db Ex Dx

dx E Dx b b

022)26(2

30

230

=+=+=+?

Eb Db Ex Dx xdx E Dx b b

由此可得

2

b q A -

=，b q

B =

，0=C ，0=D ，0=E 应力分量为

0=x σ, gy b x b y q y ρσ-??? ??-=312, ??

?

??-=23b x b x q xy τ

虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，

在稍远离y =0处这一结果应是适用的。