2013东城区高三一模文科数学试卷及答案

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）

数学 （文科） 2013.4

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。 （1）已知全集{1,2,3,4}U

=，集合{1,2}A =，那么集合U A e为

（A ）{3}

（B ）{3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3}

（2） “1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的

（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件

（3）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC = b ，则向量BC 为

（A ）-a b （B ）a+b （C ）-b a （D ）--a b

（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是5

6

， 则判断框内应填入的条件是 （A ）5?n ≤ （B ）5?n < （C ）5?n > （D ）5?n ≥

（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个

几何体的侧．面积是

（A ）2

（B ）2

（C ）2 （D ）2

（6）已知点(2,1)A ，抛物线2

4y x =的焦点是F ，

若抛物线上存在一点P ，使得PA PF +最小，则P 点的坐标为 （A ）(2,1) （B ）(1,1)

（C ）1

(

,1)2

（D ）1(

,1)4

（7）对于函数)(x f y =

，部分x 与y 的对应关系如下表：

数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为

（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400 （8）已知定义在R 上的函数

()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若

函数

()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为

（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知i 是虚数单位，那么i(1i)+等于 ．

（10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩

的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成

绩的平均数与中位数之差是 ．

（11）不等式组20,0,0x y x y -≤??

≤??+≥?

表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 ，z x y =+的最

大值为 ．

（12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的

倍数的概率为 ． （13）函数

()sin()3

f x x π

=-的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线56x π=对称；

②图象C 关于点4(,0)3π对称；③函数)(x f 在区间5[,]36

ππ

内是增函数，其中正确的结论序号是 ．(写出所有正确结论的序号)

（14）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一

行增加两项，若n n

a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项

等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

且s i n s b A B ．

（Ⅰ）求角B ；

（Ⅱ）若b =ac 的最大值．

（16）（本小题共14分）

如图，已知AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，若

1

2AB AC AD CE ===．

（Ⅰ）求证：//AF 平面BDE ；

（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．

A

B

C

D

E

F

（17）（本小题共13分）

为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中

（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？

（Ⅱ）若245x ≥，245y ≥，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．

（18）（本小题共14分）

已知函数

()ln (1)f x m x m x =+- ()m ∈R ．

（Ⅰ）当2m =时，求曲线()y f x =

在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；

（III ）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆C ：221x y a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2

F ，离心率为2

，

且过点.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点1F ，2F ，且这两条直线互相垂直，求证：11

||||

MN PQ +为定值.

（20）（本小题共13分）

设

A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：12(,,,,,)i n A a a a a = .其中i a

(1,2,,)i n = 称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组

A 中不同下标的“元”

，则称S 为A 的子数组. 定义两个数组12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = 的关系数为1122(,)n n C A B ab a b a b =+++ . （Ⅰ）若11

(,)22

A =-

，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；

（Ⅱ）若(

)333

A =，(0,,,)

B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)

C A S 的最大值.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参考答案（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）1i -+ （10）84 2 （11）2，2

（12）

14

（13）①②③ （14）89

a 第45行的第77列 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为sin cos b A B ，

由正弦定理可得sin sin cos B A A B ，

因为在△ABC 中，sin 0A ≠，

所以tan B 又0B <<π， 所以3

B π

=

. （Ⅱ）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，

因为3

B π

=

，b = 所以2

212a c ac =+-.

因为2

22a

c ac +≥，

所以12ac ≤.

当且仅当a c ==ac 取得最大值12.

（16）（共14分）

证明：（Ⅰ）取BE 的中点G ，连结GF ，GD . 因为F 是BC 的中点，

则GF 为△BCE 的中位线．

所以//GF EC ，1

2

GF CE =． 因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，

所以////GF EC AD ．

又因为1

2

AD CE =，

所以GF AD =．

所以四边形GFAD 为平行四边形． 所以//AF DG ．

因为DG ?平面BDE ，AF ?平面BDE ， 所以//AF 平面BDE ．

（Ⅱ）因为AB AC =，F 为BC 的中点， 所以AF BC ⊥．

因为//EC GF ，EC ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ． 又AF ?平面ABC ， 所以GF AF ⊥． 因为GF BC F = ， 所以AF ⊥平面BCE ． 因为//AF DG ， 所以DG ⊥平面BCE ． 又DG ?平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面BCE ． （17）（共13分）

解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：

2000(380373370377)

x y +=-+++=． 因为80

500202000

?

=， 故在优秀等级的学生中应抽取20份．

（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A ． 因为500x y +=，245x ≥，245y ≥，且x ，y 为正整数， 所以数组(,)x y 的可能取值为：

(245,255，(246,254)，(247,253)，…，(255,245)，共11个．

其中满足x y >的数组(,)x y 的所有可能取值为：

A

B

C

D

E

F

G

(255,245)，(254,246)，(253,247)，(252,248)，(251,249)共5个，即事件A

包含的基本事件数为5． 所以5()11

P A =

． 故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为

511

． （18）（共14分）

解：（Ⅰ）当2m =时，

()2ln f x x x =+．

22

()1x f x x x

+'=+=．

所以(1)3f '=．

又

(1)1f =，

所以曲线()y f x =

在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-，

即320x y --=． （Ⅱ）函数

()f x 的定义域为(0,)+∞，

(1)()1m m x m f x m x x

-+'=

+-=． 当0m ≤时，由0x >知()10m

f x m x '=+-<恒成立，

此时

()f x 在区间(0,)+∞上单调递减．

当m ≥1时，由0x >知()10m

f x m x

'=

+->恒成立， 此时

()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．

当01m <<时，由()0f x '>，得1m x m <

-，由()0f x '<，得1m

x m

>-， 此时()f x 在区间(0,

)1m m -内单调递增，在区间(,)1m m

+∞-内单调递减． （III ）由（Ⅱ）知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

当0m ≤或m ≥1时，

()f x 在区间(0,)+∞上单调，此时函数()f x 无最大值．

当01m <<时，()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1m

m

+∞-内单调递减， 所以当01m <<时函数

()f x 有最大值．

最大值()ln 11m m M f m m m m

==---．

因为0M >，所以有ln 01m m m m ->-，解之得e 1e m >+． 所以m 的取值范围是e

(,1)1e

+． （19）（共13分）

（Ⅰ）解：由已知2

c e a =

=， 所以2222

22

112

b a

c e a a -==-=. 所以2

22a

b =.

所以C ：22

2212x y b b

+=，即22222x y b +=.

因为椭圆C

过点，

得2

4b

=，28a =.

所以椭圆C 的方程为

22

184

x y +=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C 的焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F . 根据题意， 可设直线MN 的方程为(2)y k x =+，

由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为1

(2)y x k

=--. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .

由方程组22(2),184y k x x y =+??

?+=??

消y 得

2222(21)8880k x k x k +++-=. 则 21228,21k x x k -+=+212288

21

k x x k -=+.

所以MN =22

)

21

k k ++.

同理可得PQ =22)

2

k k ++.

所以11

||||MN PQ +2228

==. （20）（共13分）

解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2．

（Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中c b a ,,三个“元”

的对称性，可以只计算(,)()3

C A S a b =

+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=，

得

a b ≤+

当且仅当0c =，且a b =b a +

于是(,))C A S a b +=

．

②当0不是S 中的“元”时，计算(,))C A S a b c =++的最大值， 由于1222=++c b a ，

所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．

3)(3222=++≤c b a ，

当且仅当c b a ==时，等号成立．

即当33=

==c b a 时，c b a ++(,))1C A S a b c ++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1．