不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型

　2000年2月系统工程理论与实践第2期　

不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型

马永开1,唐小我2

(11安徽财贸学院基础部,安徽蚌埠233041;21电子科技大学管理学院,四川成都610054)

摘要:　利用套利定价理论(A PT)改进不允许卖空的M arkow itz的证券组合投资决策模型,导出了

不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型,并研究了该模型的解及其性质Λ

关键词:　证券组合;因素模型;套利定价理论;因素风险;非因素风险

中图分类号:　F830.9 α

M u lti2facto r M odel fo r Po rtfo li o Investm en t D ecisi on under the Conditi on of N o Sho rt Sale

M A Yong2kai1,　TAN G X iao2w o2

(1.A nhu i In stitu te of F inance and T rade,Bengbu,233041;2.U n iversity of E lectron ic Science and T ech2 no logy of Ch ina,Chengdu610054)

Abstract:　In th is paper,w e si m p lify M arkow itz′s model fo r po rtfo li o investm en t un2

der the conditi on of no sho rt sale w ith the help of arb itrage p ricing theo ry(A PT),p re2

sen t a m u ltifacto r model fo r po rtfo li o investm en t decisi on under the conditi on of no

sho rt sale,and study its so lu ti on and its characteristics.

Keywords:　po rtfo li o;facto r model;A PT;facto r risk;non2facto r risk

1　引言

现代资产配置理论(modern po rtfo li o theo ry,简称M PT)所要解决的问题是建立这样一个法则(即证券组合投资决策方法),使得投资者可以依据这一法则将一定量的资本在各种可能的资产形式之间作一分配,建立这个法则应该遵循的原则是:尽可能降低资产组合的非系统风险Λ随着证券交易活动的规范化和证券交易制度的不断完善,现实的证券市场中卖空操作常常受到限制,所以,我们应该更多地研究不允许卖空条件下的证券组合投资决策问题Λ本文以套利定价理论(A PT)为基础,提出了不允许卖空的多因素资产配置模型,与经典的H arry M arkow itz的均值2方差模型相比,该模型具有更强的可控性和实用性Λ

2　套利定价理论(APT)

1964年威廉?夏普(W.Sharpe)在H arry M arkow itz的组合证券理论的基础上提出了著名的资本资产定价模型(CA P M),用资产的预期收益率与Β系数的关联描述收益—风险间的关系,从而大大简化了运算,为组合投资理论应用于实际提供了可行的途径,标志着组合投资理论的成熟Λ

近年来,当代组合投资理论循着“资本资产定价模型”的轨迹向前发展,形成了由斯蒂芬?罗斯(Stephen A.Ro ss)首创的套利定价理论(A rb itrage P ricing T heo ry,简称A PT)Λ这个理论与CA P M所不同的一个显著的观点(也可以说是一个向前的发展)是,它认为证券的实际收益并不只是笼统地受对“市场组合(M arket Po rtfo li o)”变动的敏感性的影响,而是分别受对经济中许多因素变动的敏感性大小的影响,

α收稿日期:1998207217

资助项目:国家杰出青年科学基金(79725002)

即它假定证券i 的收益率是由以下因素模型(facto r model )(1)生成的:

r i =a i +Βi 1I 1+Βi 2I 2+…+ΒiS I S +Εi (1)

式中,I j 是影响证券i 收益率的第j 个指数的值,j =1,2,…,S ;Βij 是证券i 的收益率对第j 个指数的敏感度(beta 值),j =1,2,…,S ;a i 是影响证券i 收益率的所有指数值都为0时证券i 的预期收益水平;Εi 是随机误差项,满足E (Εi )=0,V (Εi )=?2Εi

Ζ同时,公式(1)还满足以下两个条件:

i )Cov (Εi ,Εj )=0,i ≠j (任意两种证券收益率的随机误差项是互不相关的)

ii )Cov (Εi ,I j )=0,j =1,2,…,S (证券i 收益率的随机误差项和任一指数是互不相关的)

根据A PT 的假定条件,两个风险相同的证券或证券组合不可能提供不同的预期收益Λ因为一旦出现与上述相反的情况,套利者就有机可乘,他可以卖空预期收益率低的证券同时买入预期收益率高的证券,从而不花一分钱,不承担任何风险而获取利润Λ而这种情况在均衡条件下是不可能的,所以,证券i 的均衡收益率为:

E (r i )=r f +Βi 1[E (I 1)-r f ]+Βi 2[E (I 2)-r f ]+…+ΒiS [E (I S ]-r f ](2)

式中:E (r i )是证券i 的预期收益率;r f 是无风险证券收益率;Βij 同公式(1);E (I j )-r f 是指数j 的风险代价Ζ

公式(2)就是A PT 模型Ζ它用资产的预期收益率与经济中多个因素的Β系数的关联描述资产的收益—风险之间的关系,给出了均衡条件下资本市场上各种资产的价格风险关系Ζ目前普遍使用的影响证券收益率的五种指数是:利率、景气、通货膨胀、劳动生产率、投资者信心Ζ

3　不允许卖空的多因素证券组合选择决策模型

311　模型的提出

设投资者选择了m 种证券作为投资对象,第i 种证券的因素模型为r i =a i +Βi 1I 1+Βi 2I 2+…+ΒiS I S +Εi ,投资者投向第i 种证券的投资比例系数为x i ,i =1,2,…,m ;这m 种证券构成的证券组合的因素模型为

r p =a p +Βp 1I 1+Βp 2I 2+…+ΒpS I S +Εp (3)

其中r p =∑m i =1x

i r i ,a p =∑m i =1x i a i ,Βp j =∑m i =1x i Βij (j =1,2,…,S ),Εp =∑m

i =1x i Εi .为了下文表达的需要,我们引入下面的记号:X =(x 1,x 2,…,x m )T 为投资比例向量;B =(Βij )m ×S ;r =

(r 1,r 2,…,r m )T ,Λ=E (r ),V 为收益率向量r 的协方差阵;Ε=(Ε1,Ε2,…,Εm )T ,V Ε为随机向量Ε的协方差阵;

e m 为元素全为1的m 维列向量;I =(I 1,I 2,…,I S )T 是影响证券收益率的指数向量Ζ

我们采用证券收益率的均值(预期收益率)作为证券收益大小的度量指标,用证券收益率的方差(反映证券收益的稳定性)作为证券风险的度量指标Ζ

由(2)式知证券组合的期望收益率为:

E (r p )=r f +Βp 1[E (I 1)-r f ]+Βp 2[E (I 2)-r f ]+…+ΒpS [E (I S )-r f ]

(4)

证券组合的风险可表示如下:

Ρ2(r p )=E (r p -E (r p ))2

将(3)式代入得:

Ρ2(r p )=E [Βp 1(I 1-E (I 1))+Βp 2(I 2-E (I 2))+…+ΒpS (I S -E (I S ))+Εp ]

2=E [Βp 1(I 1-E (I 1))+Βp 2(I 2-E (I 2))+…+ΒpS (I S -E (I S ))]2+E (Εp )

2=B T p D S B p +E (Εp )2其中:B p =(Βp 1,Βp 2,…,ΒpS )T 是证券组合的beta 系数向量;D S =(d ij )S ×S 是影响证券收益率的指数向量I 的协方差矩阵,其中的d ij 满足下式:

d ij =cov (I i ,I j ) (i ,j =1,2,…,S )

由上式可看出,证券组合投资的风险由两个部分构成,一部分是由影响证券收益的指数向量I 的变化引起

83系统工程理论与实践2000年2月

的,我们把它称为因素风险(系统风险),记为F 因素;另一部分是由于证券组合投资收益率的随机扰动项引起的,我们把它称为非因素风险(非系统风险),记为F 非因素Ζ即有

Ρ2(r p )=F 因素+F 非因素(5)

式中:F 因素=B T p D s B p ,　F 非因素=E (Εp )2=X T V Ε

X 由于影响证券收益率的指数向量I 的变化是不以投资者的意志转移的,所以从(4)、

(5)两式可看出:投资者只能通过证券组合投资的beta 系数向量B p 来控制证券组合投资的期望收益和因素风险的大小;当投资对象确定后,投资者只能通过证券组合投资比例向量X 控制组合投资的非因素风险的大小Ζ所以,我们提出下面的证券组合投资比例向量选择模型Ζ

模型(A )m in F 非因素=E (Εp )2=X T V Ε

X s .t .　e T m X =1

B T X =B 0

X Ε0

其中,B T X 就是证券组合的beta 系数向量B p ,B 0是提供给投资决策者确定的风险选择向量Ζ

模型(A )就是不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型,它的意义是:在给定证券组合投资的beta 系数向量B p 为B 0和不允许卖空的前提下,使证券组合投资的非因素风险最小Ζ使用模型(A )进行证券组合投资决策的前提是已知各单个证券的因素模型,由它确定的证券组合的价格风险关系也是通过和经济中多个因素的Β系数的关联描述的Ζ

312　与M arkowitz 的均值-方差模型的比较

不允许卖空条件下的M arkow itz 均值2方差模型如下:m in Ρ2(r p )=X T V X

s .t .X T e m =1

X T Λ=m 0

X Ε0(6)

其中m 0是供投资决策者选择的证券组合预期收益率,它的意义是:在不允许卖空和给定证券组合投资预期收益率m 0的条件下,使证券组合投资的风险最小Ζ它的理论依据是:理性的投资行为是在尽量减少风险的条件下寻求最大的期望收益或在给定预期收益的条件下使风险最小Ζ均值2方差模型在理论上是严谨的Ζ

由(1)式可知,V Ε是对角矩阵,模型(A )中需要确定的参数有m (S +1)个,而模型(6)中需要确定的参数有12

(m +1)(m +2)个Ζ通常影响证券收益率的指数只选最有影响的几个,向量I 中的元素个数S 远小于参加组合的证券种数m ,所以模型(A )和M arkow itz 的均值2方差模型相比,模型中需要确定的参数个数要少得多Ζ

模型(A )提供给投资决策者的风险选择参数是一个向量B 0=(Β01,Β02,…,Β0S )T ,其中Β0i 是由投资决策者确定的证券组合的收益率对第i 个指数I i 的敏感因子,它能够反映出投资环境的多变性;而M arkow itz 的均值2方差模型提供给投资者的风险选择参数只有证券组合投资预期收益率m 0一个,而且它的值一经确定就不能随投资环境的变化而变化Ζ所以,和M arkow itz 的均值2方差模型相比,模型(A )中设立的风险选择参数更具科学性Ζ同时,模型(A )将证券组合的投资效果与多个指数建立了联系,所以,模型(A )更具可控性Ζ

313　B 0的设置

投资者使用模型(A )进行证券组合投资决策时,首先应该对各个经济指数进行分析,确定证券组合和各个指数的关联度,即设置B 0Ζ由(3)式可看出,证券组合和各个指数的关联度(即Β系数)是由参加组合的各单个证券的Β系数向量以及投资比例向量决定的,所以B 0的选取必须满足证券组合的内部结构的要求,否则,投资者的愿望就不能实现Ζ因此,投资者必须将自己的意愿和证券组合的内部结构结合起来,才

93第2期不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型

能实现自己的目标Ζ

由于模型(A )是二次规划问题,而且V Ε是正定矩阵,所以只要它的可行解集非空,一定有唯一最优解Ζ因此,投资者选择B 0时,只要使模型(A )的可行解集非空,就能实现自己的目标Ζ下面先研究B 0必须满足的条件Ζ

结论1　模型(A )有解的必要条件是:

1)　rank (A )=rank (A ?)Ζ其中A =e T m

B T ,A ?=e T m 1B T B 0.

2)　B m in ΦB 0ΦB m ax .其中B m ax =(m ax 1Φi Φm Βi 1,m ax 1Φi Φm

Βi 2,…,m ax 1Φi Φm ΒiS )T ,B m in =(m in 1Φi Φm Βi 1,m in 1Φi Φm Βi 2,…,m in 1Φi Φm ΒiS )T

.证明　1)由线性代数理论可知,若rank (A )≠rank (A ?),方程组A X =(1,B T 0)

T 无解,从而模型(A )的可行解集为空,则模型(A )无解Ζ

2)设B 0=(Β01,Β02,…,Β0S )T ,模型(A )有最优解X A =(x A 1,x A 2,…,x A m )T Ζ则由模型(A )的约束条件知

e T m X A =1 B T X A =B 0 X A Ε0

而B 0=B T X =6m i =1x A i Βi 1,6m i =1x A i Βi 2,…,6m i =1x A i ΒiS T 由X A Ε0和X T A e m =1知 m in 1Φi Φm Βij Φ6m i =1x A i Βij Φm ax 1Φi Φm

Βij ,　j =1,2,…,S 即B m in ΦB 0ΦB m ax 证毕Ζ

结论1仅给出了模型(A )有解的必要条件,即使投资者按结论1确定B 0,也不能保证模型(A )有解Ζ那么,投资者选定了B 0以后,怎样判断模型(A )是否有解呢?

结论2　模型(A )有解的充分必要条件是下面的线性规划模型有解,而且最优值为零(即m in J =0)Ζ 模型(L P )m in J =z 1+z 2+…+z S +1

s .t .A X +E S +1Z =(1,B T 0)

T X Ε0

Z =(z 1,z 2,…,z S +1)T Ε0

其中E S +1是S +1阶单位矩阵Ζ

结论2的证明比较简单,此不赘述Ζ根据结论1和结论2可得选取B 0的算法一如下:

①首先对投资环境进行分析,为B 0确定一组备选值;②取B 0的一个备选值,验证结论1和结论2的条件是否能够满足,若结论1和结论2的条件都能满足,则B 0选取成功,否则转下一步;③取B 0的下一个备选值转②,直到备选值取完为止Ζ

上述选取B 0的算法要求在为B 0确定一组备选值中,至少有一个值是可行的,否则,这个方法将失效Ζ为此,我们下面提出另外一种算法Ζ

设投资者已将经济指数按重要性由高到低排列:I 1,I 2,…,I S ;投资者应该优先确定证券组合和他认为比较重要的指数的关联度,即他确定B 0各分量的次序为:Β01,Β02,…,Β0S Ζ根据这个思想和(3)式,可得选取B 0的算法二如下:

第1步　求解下面的两个线性规划模型:

模型(L P1.1)　m in Β01=Β11x 1+Β21x 2+…+ΒS 1x S

s .t .x 1+x 2+…+x S =1

x 1,x 2,…,x S Ε0

模型(L P1.2)　m ax Β01=Β11x 1+Β21x 2+…+ΒS 1x S s .t .

x 1+x 2+…+x S =1

x 1,x 2,…,x S Ε004系统工程理论与实践2000年2月

设模型(L P111)的最优值为m11,模型(L P112)的最优值为m12;接下来,投资者在区间[m11,m12]上根据自己的意愿为Β01选取一个值Ζ

……

第i步　求解下面的两个线性规划模型:

模型(L P i.1)　m in　Β0i=Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x S

s.t.x1+x2+…+x S=1

Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01

Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1) x1,x2,…,x SΕ0

模型(L P i.2)　m ax　Β0i=Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x S

s.t.x1+x2+…+x S=1

Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01

Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1) x1,x2,…,x SΕ0

设模型(L P i.1)的最优值为m i1,模型(L P i.2)的最优值为m i2;接下来,投资者在区间[m i1,m i2]上根据自己的意愿为Β0i选取一个值Ζ

第i+1步　求解下面的两个线性规划模型:

模型(L P(i+1).1)　m in　Β0(i+1)=Β1(i+1)x1+Β2(i+1)x2+…+ΒS(i+1)x S

s.t.x1+x2+…+x S=1

Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01

Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1)Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x S=Β0i

x1,x2,…,x SΕ0

模型(L P(i+1).2)　m ax　Β0(i+1)=Β1(i+1)x1+Β2(i+1)x2+…+ΒS(i+1)x S

s.t.x1+x2+…+x S=1

Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01

Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1)Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x S=Β0i

x1,x2,…,x SΕ0

设模型(L P(i+1).1)的最优值为m(i+1)1,模型(L P(i+1).2)的最优值为m(i+1)2;接下来,投资者在区间[m(i+1)1,m(i+1)2]上根据自己的意愿为Β0(i+1)选取一个值Ζ

……

第S步　求解下面的两个线性规划模型:

模型(L P S.1)　m in　Β0S=Β1S x1+Β2S x2+…+ΒS S x S

s.t.x1+x2+…+x S=1

Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01

Β1(S-1)x1+Β2(S-1)x2+…+ΒS(S-1)x S=Β0(S-1)

x1,x2,…,x SΕ0

14

第2期不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型

模型(L P S.2)　m ax　Β0S=Β1S x1+Β2S x2+…+ΒS S x S

s.t.x1+x2+…+x S=1

Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01

Β1(S-1)x1+Β2(S-1)x2+…+ΒS(S-1)x S=Β0(S-1) x1,x2,…,x SΕ0

设模型(L P S.1)的最优值为m S1,模型(L P S.2)的最优值为m S2;接下来,投资者在区间[m S1,m S2]上根据自己的意愿为Β0S选取一个值Ζ

结论3　算法二一定能成功地选择B0Ζ

证明　算法二的每一算法步骤能否实现,完全取决于其对应的两个线性规划模型是否有最优解,而算法二中的每个线性规划模型的可行解集都是有界凸集,所以,只要其可行解集非空它们就一定有最优解Ζ下面,我们用归纳法证明结论3Ζ

1)模型(L P1.1)和模型(L P1.2)的可行解集由下面的约束条件确定

x1+x2+…+x S=1

x1,x2,…,x SΕ0

显然,模型(L P1.1)和模型(L P112)的可行解集是非空的,从而它们一定有最优解Ζ所以,算法二中的第一步一定能够成功地确定Β01Ζ

2)设算法二的第i步能成功地确定Β0iΖ此时,模型(L P i.1)和模型(L P i.2)一定有最优解,设模型(L P i.1)的最优解为X i1,最优值为m i1;设模型(L P i.2)的最优解为X i2,最优值为m i2.由于投资者是在区间[m i1,m i2]上选择Β0i的,所以,必存在k i1,k i2Ε0,使Β0i=k i1m i1+k i2m i2且k i1+k i2=1Ζ构造X i+1=k i1X i1+k i2 X i2,容易验证X i+1是模型(L P(i+1).1)和模型L P(i+1).2)的可行解,即模型(L P(i+1).1)和模型(L P(i+1).2)的可行解集非空,从而算法二的第i+1步也能成功地确定Β0(i+1)Ζ

由数学归纳法原理可知,B0的每一分量都能成功地确定,即结论3成立Ζ

在我们提出的设置B0的两种算法中,算法一先考虑投资者的意愿,然后才考虑证券组合结构,所以不能保证一定成功;算法二优先考虑证券组合结构,然后再考虑投资者的意愿,所以它能保证一定成功Ζ从算法二的算法过程来看,在B0的各分量中,排在前面的分量的选择自由度要比排在后面的分量大,这就是为什么优先设置证券组合和重要的指数的关联度的原因Ζ

投资者使用模型(A)作为证券组合投资决策模型的目的是尽可能地降低证券组合的非因素风险,显然,模型(A)分散非因素风险的效果和B0的取值有关;那么,B0取何值时,模型A分散非因素风险的效果最佳?

结论4　当B0=B T V-1Εe m

e T m V-1Εe m 时,模型(A)分散非因素风险的效果最佳Ζ

证明　从模型(A)中去掉证券组合beta系数向量B p=B0的约束,可得下面的模型(A1): 模型(A1)m in　F非因素=E(Εp)2=X T VΕX

s.t.e T m X=1 XΕ0

显然,模型(A1)分散非因素风险的效果最佳Ζ

考虑下面的优化问题:

m in F非因素=E(Εp)2=X T VΕX

s.t.e T m X=1

对它使用L agrange乘数法可得该优化问题的最优解为:X o=V -1Εe m

e T m V-1Εe m .

由于VΕ是正定对角矩阵,所以X0Ε0,则X0也是模型(A1)的最优解Ζ即当证券组合投资比例向量为X0时,证券组合的非因素风险最小Ζ此时,证券组合的beta系数向量B p为:

24系统工程理论与实践2000年2月

B p =

B T V -1Εe m

e T m V -1Εe m 故结论4成立Ζ

314　模型(A )的求解

投资者设置好B 0以后,接下来就要求解模型(A )Ζ由于模型(A )是二次规划问题,所以它可以化为线性规划问题求之;也可以使用计算机软件直接求解Ζ

4　计算举例

设某证券组合有五种证券组成,并且证券收益的因素模型由两种指数构成,每种证券的两个Beta 值及其收益率的随机误差项的方差如表1所示Ζ表1

第1个指标的敏感系数Βi 1第2个指标的敏感系数Βi 2

随机误差项的方差?2Εi 证券1

0.31.30.216证券2

0.70.80.265证券3

0.90.50.176证券4

1.20.70.125证券50.51.00.146

使用模型(A )可得该证券组合的不允许卖空的投资决策模型如下:

m in F 非因素=0.216x 21+0.265x 22+0.176x 23+0.125x 24+0.146x 25

s .t .　x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1

0.3x 1+0.7x 2+0.93+1.2x 4+0.5x 5=Β011.3x 1+0.8x 2+0.5x 3+0.7x 4+x 5=Β02

x 1,x 2,x 3,x 4,x 5Ε0

使用算法二得到Β01的取值范围为[0.3,1.2],我们给Β01选取了几个值以及相应的Β02的取值范围如表2所示Ζ

表2　

Β01的取值

0.40.60.81.0Β02的允许选择范围[1.15,1.21][0.87,1.03][0.625,0.86][0.5,0.678] 我们给B 0设置了几组值,则其相应的模型(A )的最优解和最优值如表3所示Ζ表3　

B 0的设置值最优解

最优值(0.4,1.2)T (0.73,0.00,0.00,0.07,0.20)T

0.122(0.6,0.9)T (0.22,0.17,0.26,0.01,0.34)T

0.047(0.8,0.7)T (0.01,0.18,0.46,0.11,0.24)T

0.056(1.0,0.6)T

(0.00,0.08,0.54,0.38,0.00)T 0.071 利用结论4可求得使模型(A )分散非系统风险的效果最佳的B 0值为(0.766,0.84)T ,其相应的模型(A )的最优解和最优值分别为:(0.16,0.13,0.20,0.28,0.23)T 和0.034Ζ参考文献:

[1]　陈共1证券学1北京:中国人民大学出版社,19941

[2]　贝多广1证券经济理论1上海:上海人民出版社,19951

[3]　程希骏1现代投资理论分析1合肥:安徽教育出版社,19931

34第2期不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型