数学概念研究的主要内容及其评析

一、数学概念的内涵1.数学概念的分类

对概念进行分类，是心理学家的一种追求，因为这是问题研究的一个起点。

给数学概念分类的目的在于：①从理论上解析数学概念结构，从而为数学概念学习理论奠定基础；②在教学设计中，便于根据不同类型概念制定相应的教学策略（喻平等，2003）。

概念分类有不同的标准，从已有研究来看，对概念分类主要采用以下几种方式：从数学概念的特殊性入手分类，突出刻画数学概念的特征；从逻辑学角度进行分类，在一般概念分类的基础上对数学概念进行划分；依据学习心理理论对概念进行分类，以揭示不同概念学习的心理特征。从教育心理学的角度看，对概念进行分类的目的都是为概念教学服务的，围绕“如何教”的概念分类是人们追求的目标。

（1）原始概念、入度大的概念、多重广义抽象概念。

有学者依据概念之间的关系，把数学概念分为原始概念、入度大的概念、多重广义抽象概念。徐利治先生认为，数学概念间的关系有三种形式：①弱抽象。即从原型A中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构B，使A成为B的特例。②强抽象。即在原结构A中添某一特征，通过抽象获得比原结构更丰富的结构B，使B成为A的特例。③广义抽象。若定义概念B时用到了概念A，就称B比A抽象。如果将一组相关概念A1，Az，…，A。对应于平面上的几个点a，a，…，aa，有抽象关系的概念在其对应的两点之间连结一条有向线，那么a，a，…，aa连同这些有向线便组成了一个有向图。如果A：

记出度为d+（A），入度为T（A）。基于这样的认识，把一条链的起点概念称为原始概念。原始概念表现为教材中的公理或不做严格定义的初始概念等。这些概念一类是以实物为原形，对实体的抽象；另一类则是以包摄程度最高的概念作为原始概念。而入度大的概念就是厂（A）较大的概念，表明定义A时用到了另外若干个概念。此外，对于概念A，若工（A）≥2，且定义A所用概念与A之间均为广义抽象关系，则称A为多重广义抽象关系（喻平，1995）。从严格意义上说，这不是对概念的分类，只是刻画了一些特殊概念的特征。它的教学意义在于，教师进行教学设计时可以重点考虑对这三类概念的教学处理，或作为教学的重点，或作为教学的难点。

（2）合取概念、析取概念、关系概念。

有学者依据概念由不同属性构造的三种方式（联合属性、单一属性、关系属性），分别对应地把数学概念分为合取概念、析取概念、关系概念。所谓联合属性，即几种属性联合在一起对概念来下定义。这样所定义的概念称为合取概念；所谓单一属性，即在许多事物的各种属性中，找出一种（或几种）共同属性来对概念下定义，这样所定义的概念称为析取概念；所谓关系属性，即以事物的相对关系作为对概念下定义的依据。这样所定义的概念称为关系概念（曹才翰等，1999）。显然，这种划分建立在逻辑学基础之上，以概念本身的结构来进行分类。

这种方法同样适合于对其他学科的概念进行分类，因而没有体现数学概念的特矫性。

（3）陈述性概念与运算性概念。

在对概念结构的认识方面，认知心理学家提出一种理论——特征表说，所谓特征表说即认为概念或概念的表征是由两个因素构成的：一是定义性特征，即一类个体具有的共同的有关属性；二是定义性特征之间的关系，即整合这些特征的规则。这两个因素有机地结合在一起，组成一个特征表。有学者根据这一理论和知识的广义分类观，对数学概念进行分类。

一个数学概念可以表述为C=R（n，xe，......xn），其中，x，e， (x)

为n个定义性特征（或上一级概念），R为整合这些特征的规则。如果R及x，xe，……x。没有数学的运算意义，那么称这类概念为陈述性概念，否则称为运算性概念。例如，对于平行四边形概念，如果（AB/∥CD）A（AD//BC），那么称四边形ABCD为平行四边形。这里是两个定义性特征的合取，不存在运算性特征，所以平行四边形概念是陈述性概念。对于运算性概念，依据运算方式的不同又可分为程序性概念和构造性概念两种类型。程序性概念是指该概念的定义中给出了判断概念本质属性的运算程序，如“偶数”、“最大公因式”概念等。构造性概念指在判断一个概念时，需要构造出一个满足某种属性的对象后再实施运算的概念，如“有界数列”的概念。于是，得到关于数学概念的一种分类（喻平等，2003）：【陈述性概念

数学概名，f程序性概念

运算性概\构造性概念

将数学概念分为陈述性概念和运算性概念，比较好地刻画了数学概念的特征。相对说来，陈述性概念有“静”的一面，而运算性概念有“动”的一面。陈述性概念的理解主要应明确定义性特征和整合定义性特征的规则，运算性概念的理解则要掌握运算的意义和运算的程序。

（4）叙实式概念、推理式概念、变化式概念和借鉴式概念。

有论者认为数学概念理解是对数学概念内涵和外延的全面性把握。根据不同特点的数学概念所对应的理解过程和方式可将数学概念分为叙实式数学概念、推理式数学概念、变化式数学概念和借鉴式数学概念等4种类型。

所谓叙实式数学概念，一般指的是那些原始概念、不定义的概念，或者是那些很难用严格定义确切描述内涵或外延的概念。这类概念包括平面、直线等原始概念，包括算法、法则等不定义概念，还包括数、代数式等外延定义概念等。所谓推理式数学概念，是指能够对概念与相关概念的逻辑关系本质进行描述的数学概念。此类概念的特点可归纳为：前有因，后有果，同层有联系。“前有因”指的是它是在一些基本概念的基础上产生的；“后有果”指的是它还能推出或定义出一些概念；“同层有联系”指的是与它所并列于同一个逻辑层次上的其他概念有着一定的逻辑相关性。所谓变化式数学概念，包括以原始概念为基础定义的，包括那些借助于一定的字母与符号等，经过严格的逻辑提炼而形成的抽象表述的数学概念。所谓借鉴式数学概念，包括由其他学科引申或借鉴出来的概念，包括有直接非数学学科背景的概念，还包括在其他学科有典型应用的概念，例如，导数、梯度和数学归纳法等概念（王秀明等，2005）。

2.数学概念的特点

数学概念具有抽象性和具体性的双重特点。因为数学概念代表了一类对象的本质属性，因此它是抽象的，没有实际的物质存在。但另一方面，尽管概念作为一种抽象，物质世界中没有实际的存在，但是从数学教学和学习来看，学生可以获得概念，概念一旦被学生所掌握，对学生来说就是“实在”的东西了。这是概念具体性的一面（曹才翰等，1989）。具体地，①数学概念是反映一类事物在数

量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除一类对象的具体物质内容以后的抽象，反映的是一类对象在数与形方面的内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。②数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号使数学的表述形式比别的学科更加简明、清晰、准确。③数学概念是具体性与抽象性的辩证统一。④数学概念具有很强的系统性。数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。值得指出的是，数学概念的特点不能与个体所掌握的数学概念的特点相混淆，个体所掌握的数学概念是与他本人的数学认知结构水平相适应的，即同一个数学概念，由于认知结构水平的不同，存在着不同水平的理解（曹才翰等，1999）。

由于数学研究的对象是脱离了客观事物的具体物质内容而独立存在的数量关系和空间形式，因而与其他科学的概念相比，数学概念具有如下几个鲜明的特征：①数学概念反映了客观事物在空间形式与数量关系方面的本质特征。②数学概念的普遍性。数学概念代表的是一类客观事物，而不是个别事物，所以数学概念在一定范围内具有普遍意义。③数学概念的形式化。数学概念往往用反映其本质属性的特定的数学符号来表示，从而达到了形式化。④数学概念的简明化。数学概念是人类对客观事物的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，数学概念的这个特征使学生在较短的时间内掌握数学概念成为可能。⑤数学概念的辩证化。数学概念是个别与一般、具体与抽象的辩证统一。⑥数学概念的系统性。数学概念具有很强的系统性，同一数学分支的诸多概念可以用公理化方法组织成一个逻辑系统，因而公理化体系是这种系统化的集中反映（李玉琪，1994）。

中学数学概念属于数学科学中的概念范畴，因此，一般说来，中学数学概念具有数学概念的一般特征。但考虑到中学生知识水平及认识方面原因，中学数学概念经过教学法加工以后，带有另外一些特征。其一，确定性。中学数学中的概念一般是以词语形式表达的。有的给以明确的定义（如有理数、角），有些则只给通俗的描述或说明（如直线）。考虑到中学生的知识水平与认识能力等因素，中学数学中出现的数学概念，其定义往往不是数学科学中的严格定义，因此有些概念的表述并不严谨。尽管如此，中学数学中的每个概念在数学科学中都有其确定的内涵，并且在每套教材中，数学概念的定义都是完全确定的。其二，主要指数学概念外延上的层次性。需要指出，有些概念间的层次是外显的，如实数是有理数和无理数的上位概念，而有些概念之间的层次性是内隐的，如函数是数、代数式、数列等许多数学概念的上位概念，并且是内隐的，学生需要在教师指导下反复对其领悟方能体会到。数学概念之间的层次性，使得一些数学概念具有数学思想、方法的性质。如在中学数学中，函数、集合等概念反映了许多数学概念的本质特征，而用以区分一些对象不同于另一对象的特征性质舍弃愈多，概念的概括性愈强。因此，“函数”、“集合”等概念是相当概括的上位知识，是中学数学中重要的数学思想、方法。其三，发展性。在数学教学中，要充分考虑到学生认知、理解力等方面的原因，所以，数学教材对个别概念的处理不是绝对严密的。因此，关于概念教学千万不要过分教条，过分绝对化。教师要通过继续教育等手段，提高自己业务水平，加深对概念本质的认识，但在实际教学中，教师虽然应该立足于较高观点，但要以“大纲”为准则，考虑学生的认知水平，在高观点下进行适合学生水平的数学概念教学。其四，理想性。在中学数学中，理想概念比比皆是。这是因为从理论上说，数学科学是以数学模型为研究对象的，但数学模型是从大量具体存在中抽象概括成的理想存在。数学概念是一类数学模型，也具

有理想性特征。同时，为了建立数学体系，常常要在实在的研究对象中，引入“理想”的元素，这也是理想化的一种方法。理想化的概念虽然产生于思维想象，但它们服从于数学理论的建立与研究，它们和整个数学一起，为揭示现实数量关系和形式起着重要作用（朱水根等，1998）。

还有学者用抽象关系来考察数学概念体系，认为数学概念有三个特征：①抽象性。抽象性有两层含义，一是指数学概念对客观实体在形和量上的抽象；二是指数学概念体系中诸概念在自身体系中的抽象，即在先前概念的基础上，抽象出可以不依赖于原形实体的新概念，有很多概念是经过多次抽象获得的，即所谓多级抽象概念。②逻辑性。无论是弱抽象、强抽象还是广义抽象，具有抽象关系的两概念之间必存在某种关系，这种关系即为逻辑关系。③整体性。各概念不是孤立，而是彼此联系，互为逻辑关系的，概念组成一个系统，它是一个由连结两概念的若干有向线及概念本身组成的整体，从而形成概念体系（喻平，1995）。

从这些研究可以看出，对数学概念特征的描述主要是从两个方面展开的：一是对单一的概念进行描述，突出自身的特征；二是从概念之间的关系进行描述，由概念间的联系去刻画数学概念的特征。认为数学概念具有抽象性、层次性、系统性等特点是多数学者的共识。