平行四边形经典练习题(3套)附带详细解答过程
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练习1
一、选择题(3′×10=30′)
1.下列性质中,平行四边形具有而非平行四边形不具有的是().
A.内角和为360° B.外角和为360° C.不确定性 D.对角相等2. ABCD中,∠A=55°,则∠B、∠C的度数分别是().
A.135°,55° B.55°,135° C.125°,55° D.55°,125°
3.下列正确结论的个数是().
①平行四边形内角和为360°;②平行四边形对角线相等;
③平行四边形对角线互相平分;④平行四边形邻角互补.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.平行四边形中一边的长为10cm,那么它的两条对角线的长度可能是().
A.4cm和6cm B.20cm和30cm C.6cm和8cm D.8cm和12cm 5.在 ABCD中,AB+BC=11cm,∠B=30°,S ABCD=15cm2,则AB与BC的值可能是(). A.5cm和6cm B.4cm和7cm C.3cm和8cm D.2cm和9cm
6.在下列定理中,没有逆定理的是().
A.有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
B.直角三角形两个锐角互余;
C.全等三角形对应角相等;
D.角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
7.下列说法中正确的是().
A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题是真命题 D.假命题的逆命题是假命题
8.一个三角形三个内角之比为1:2:1,其相对应三边之比为().
A.1:2:1 B.1 1 C.1:4:1 D.12:1:2
9.一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有()个.
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图所示,在△ABC中,M是BC的中点,AN平分∠BAC,BN
⊥AN.若AB=?14,?AC=19,则MN的长为().
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
二、填空题(3′×10=30′)
11.用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形,短边与长边的
比为3:4,短边的比为________,长边的比为________.
12.已知平行四边形的周长为20cm,一条对角线把它分成两个三角形,?周长都是18cm,则这条对角线长是_________cm.
13.在 ABCD中,AB的垂直平分线EF经过点D,在AB上的垂足为E,?若 ABCD?的周长为38cm,△ABD的周长比 ABCD的周长少10cm,则 ABCD的一组邻边长分别为______.14.在 ABCD中,E是BC边上一点,且AB=BE,又AE的延长线交DC的延长线于点F.若
∠F=65°,则
ABCD 的各内角度数分别为_________.
15.平行四边形两邻边的长分别为20cm ,16cm ,两条长边的距离是8cm ,?则两条短边的距
离是_____cm . 16.如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______,?那么这两个命题是
互为逆命题.
17.命题“两直线平行,同旁内角互补”的逆命题是_________.
18.在直角三角形中,已知两边的长分别是4和3,则第三边的长是________.
19.直角三角形两直角边的长分别为8和10,则斜边上的高为________,斜边被高分成两
部分的长分别是__________. 20.△ABC 的两边分别为5,12,另一边c 为奇数,且a+b+?c?是3?的倍数,?则c?应为________,
此三角形为________三角形.
三、解答题(6′×10=60′)
21.如右图所示,在
ABCD 中,BF ⊥AD 于F ,BE ⊥CD 于E ,若∠A=60°,AF=3cm ,CE=2cm ,求
ABCD 的周长.
22.如图所示,在
ABCD 中,E 、F 是对角线BD 上的两点,且BE=DF.
求证:(1)AE=CF ;(2)AE ∥CF .
23.如图所示,
ABCD 的周长是
AB 的长是
DE ⊥AB 于E ,DF ⊥CB 交
CB?的延长线于点F ,DE 的长是3,求(1)∠C 的大小;(2)DF 的长.
F
C
D
A
E
B
24.如图所示, ABCD中,AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、?∠CDA的平分线,AQ与BN交于P,CN与DQ交于M,在不添加其它条件的情况下,试写出一个由上述条件推出的结论,并给出证明过程(要求:?推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件).
25.已知△ABC的三边分别为a,b,c,a=n2-16,b=8n,c=n2+16(n>4).
求证:∠C=90°.
26.如图所示,在△ABC中,AC=8,BC=6,在△ABE中,DE⊥AB于D,DE=12,S△ABE=60,?求∠C的度数.
27.已知三角形三条中位线的比为3:5:6,三角形的周长是112cm,?求三条中位线的长.28.如图所示,已知AB=CD,AN=ND,BM=CM,求证:∠1=∠2.
29.如图所示,△ABC的顶点A在直线MN上,△ABC绕点A旋转,BE⊥MN于E,?CD?⊥MN 于D,F为BC中点,当MN经过△ABC的内部时,求证:(1)FE=FD;(2)当△ABC继续旋转,?使MN不经过△ABC内部时,其他条件不变,上述结论是否成立呢?
30.如图所示,E 是
ABCD 的边AB 延长线上一点,DE 交BC 于F ,求证:S
△ABF
=S △EFC .
答案:
一、1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C
二、11.3cm 4cm 12.8 13.9cm 和10cm 14.50°,130°,50°,130° ? ? 15.10 16.结论 题设 17.同旁内角互补,两直线平行 18.5
.13 直角 三、21.
ABCD 的周长为20cm 22.略
23.(1)∠C=45° (2)
DF=
2
24.略 25.?略 26.∠C=90° 27.三条中位线的长为:12cm ;20cm ;24cm 28.提示:连结BD ,取BD?的中点G ,连结MG ,NG 29.(1)略 (2)结论仍成立.提示:过F 作FG ⊥MN 于G 30.略
练习2
一、填空题(每空2分,共28分) 1.已知在
中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .
2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明
(只需填写一种方法)
3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .
那么图中共有 个等腰直角三角形. 4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入
下列相应的空格上.
(1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (第3题)
A
B C
D O
(2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成.
5.矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .
6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为 和 .
7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为 cm .
8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .
第10题) 9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平行四边形 的面积为 2cm .
10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上) 二、选择题(每题3分,共24分)
11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和,那么这个多边形是( )
A 、三角形
B 、四边形
C 、五边形
D 、六边形
12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14. 四边形ABCD 中,AD//BC ,那么 的值可能是( ) A 、3:5:6:4 B 、3:4:5:6 C 、4:5:6:3 D 、6:5:3:4
15.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ?的面积 ( )
A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定
(第15题) (第16题) (第17题) 16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
17.如图,在ABC ?中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,
A B C D E
F A B C a b A B C
D
O l
那么四边形AFDE 的周长是 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20
18.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:
(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;
(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;
(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是( )
A.(1)(2)
B.(1)(3)(4)
C.(2)(3)
D.(2)(3)(4) 三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分)
19.如图,
中,DB=CD ,
70=∠C ,
AE ⊥BD
于E .
试求DAE ∠的度数.
(第19题)
20.如图中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG , 100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.
(第20题)
21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;
(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .
A
B C
D E
A
B
C
D F
E
G
(图①) (图②) (图③) (图④) (第21题)
22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.
(第22题)
答案
1.
60.
2.平行四边形;有一组邻边相等.
3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ????????
4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形. 7.3. 8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边
进行平移后可得到一个边长为1m 的正方 形,所以它的周长为4m .
8题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C.
15.C. 提示:因为ABC ?的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ?的面积不变.
16.A. 提示:由于()
BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=
∠=∠∠∠ 902
1
,所以通过折叠后得到的是由 . 17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C.
19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,所以
,DBC D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠-=∠?⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角.
20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB -AF=DC -CG,即GD=BF,
又 DG ∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ;
(2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得
DGE
GBF ∠=∠,所以 100=∠=∠DGE AFD . A B
C
D
21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.
22.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些 平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.
练习3
1、把正方形ABCD 绕着点A ,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ,边FG 与BC 交于
点H (如图).试问线段HG 与线段HB 相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG .(1)求证:AE =CG ;(2)观察图形,猜想AE 与CG 之间的位置关系,并证明你的猜想.
A B C
D
E F
G
H D
C A
B
G
H F E
3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠,使点C 与A 重合,点D 落到D ′ 处,折痕为EF .
(1)求证:△ABE ≌△AD ′F ;(2)连接CF ,判断四边形AECF 是什么特殊四边形?证明你
的结论.
挑战自我:
1、 (2010年眉山市).如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠
ABC 的度数为( )
A .90°
B .60°
C .45°
D .30°
2、(2010福建龙岩中考)下列图形中,单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是( )
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形 3.(2010年北京顺义)若一个正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数是( )
A .9
B .8
C .6
D .4
4、(2010年福建福州中考)如图4,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,若AC=14,BD=8,AB=10,则△OAB 的周长为 。
5、(2010年宁德市)如图,在□ABCD 中,AE =EB ,AF =2,则FC 等于_____.
6题
6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为
7、 (2010年福建晋江)如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当....的关系作为条件,推出四边形是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)关系:①∥,②,③,④.
F
E
D
C B A ABC
D AD BC CD AB =C A ∠=∠?=∠+∠180C B A B C D
E
F D ′
A
B
C
D
第5题图
F
A E B
C
D
已知:在四边形中, , ;求证:四边形是平行四边形.
8、(2010年宁波市)如图1,有一张菱形纸片ABCD ,8=AC ,6=BD 。
(1)请沿着AC 剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四
边形,在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开, 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。 (2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)
周长为__________ 周长为__________
9、(2007天津市)在梯形ABCD 中,AD//BC ,对角线AC ⊥BD ,且cm AC 5=,BD=12c m ,求梯形中位线的长。
10、(2007·山东)如图,在周长为20cm 的□ABCD 中,AB ≠AD ,AC 、BD 相交于点O ,OE ⊥BD 交AD 于E ,则△ABE 的周长为( ) (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
10题
11、(2006·山东)如图,在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,∠EAF =45o
,且AE+AF
=ABCD 的周长是 .
直击中考:
1. (2011安徽)如图,D 是△ABC 内一点,BD ⊥CD ,AD =6,BD =4,CD =3,E 、F 、G 、H 分
ABCD ABCD
A
C C
C C (图2) (图1) (图3) (图4) A
B
C
O
E
11题
别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点,则四边形EFGH 的周长是( )【答案】D A .7 B .9 C .10 D .11
2. (2011山东威海)在□ABCD 中,点E 为AD 的中点,连接BE ,交AC 于点F ,则AF :CF =( ) A .1:2 B .1:3 C .2:3 D .2:5 【答案】A
3. (2011四川重庆)下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成,其中,第①个图形一共有1个平行四边形,第②个图形一共有5个平行四边形,第③个图形一共有11个平行四边形,……,则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C
……
图① 图② 图③ 图④ A .55 B .42 C .41 D .29
4. (2011宁波市)一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( )【答案】C A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
5. (2011广东汕头)正八边形的每个内角为( )【答案】B
A .120°
B .135°
C .140°
D .144°
6、(2011山东德州)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n 个图形的周长是( )【答案】C
(A )2n
(B )4n
(C )1
2
n + (D )2
2
n +
7. (2011山东泰安)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的值为( )【答案】B
A.17
B.17
C.18
D.19 8. (2011山东泰安)如图,点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点,沿CE 折叠后,点B 恰好与点O 重合,若BC =3,则折痕CE 的长为( )【答案】A A.2 3 B. 33
2 C.
3 D.6
9. (2011四川重庆)如图,正方形ABCD 中,AB =6,点E 在边CD 上,且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ,延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .下列结论:①△ABG ≌△AFG ;②BG =GC ;③AG ∥CF ;④S △FGC =3.其中正确结论的个数是( ) 【答案】C A .1 B .2 C .3 D
.4
图1
图2
图3
……
… A 1
A
A 2 A 3 B
B 1 B 2
B 3
C 2 C 1 C 3
D 2 D 1 D 3
10. (2011浙江省嘉兴)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH (不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2,四边形ABCD 面积是11cm 2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( )【答案】A (A )48cm
(B )36cm (C )24cm
(D )18cm
11. ( 2011重庆江津)如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( ) 【答案】C ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长
4b a +; ④四边形A n B n C n D n 的面积是12
+n ab
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①②③④
12. (2011湖北武汉市)如图,在菱形ABCD 中,AB =BD ,点E ,F 分别在AB ,AD 上,且
AE =DF .连接BF 与DE 相交于点G ,连接CG 与BD 相交于点H .下列结论:( ) 【答案】D
①△AED ≌△DFB ; ②S 四边形 BCDG =
4
3
CG 2;③若AF =2DF ,则BG =6GF .其中正确的结论 A .只有①②. B .只有①③.C .只有②③. D .①②③.
第12题图
(第10题)
F
A
B
C
D
H E
G
①
②
③
④
⑤
13. (2011山东烟台)如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O 1、O 2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 . 【答案】2
14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折,并沿图3中过矩形顶点的斜线(虚线)剪开,那剪下的①这部分展开,平铺在桌面上,若平铺的这个图形是正六边形,则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
2
15. (2011甘肃兰州)如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为 。【答案】
1
1
4
n
……
16、(2009年宜宾)如图,菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、,以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1,然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2,……,如此下去,得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 b a 、的代数式表示为 .【答案】
ab 20102
1)(.
17、(2009 黑龙江大兴安岭)如图,边长为1的菱形ABCD 中,?=∠60DAB .连结对角线AC ,以AC 为边作第二个菱形11D ACC ,使 ?=∠601AC D ;连结1AC ,再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ,使 ?=∠6012AC D ;……,按此规律所作的第n 个菱形的边长为 .【答案】
()
1
3-n
18.(2011山东日照,16,4分)正方形ABCD 的边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,且始终保持AM ⊥MN .当BM = 时,四边形ABCN 的面积最大. 【答案】2;
第20题图
3
D 1
19、(2011四川宜宾)如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,E 、F 在AC 上,G 、H 在BD 上,AF=CE ,BH=DG . 求证:GF ∥HE .
【答案】证明:∵平行四边形ABCD 中,OA=OC ,
由已知:AF=CE AF -OA=CE -OC ∴OF=OE 同理得:OG=OH ∴四边形EGFH 是平行四边形 ∴GF ∥HE 20、(2011四川成都10分) 如图,已知线段AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点K ,E 是线段AD 上一动点. (1)若BK =
52KC ,求AB
CD 的值; (2)连接BE ,若BE 平分∠ABC ,则当AE =
1
2
AD 时,猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE =1
n
AD (2 n ),而其余条件不变
时,线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.
H
A
C
B
D
O
E G
F
【答案】解:(1)∵AB ∥CD ,BK =
52KC ,∴AB CD =BK CK =5
2
.
(2)如图所示,分别过C 、D 作BE ∥CF ∥DG 分别交于AB 的延长线于F 、G 三点,
∵BE ∥DG ,点E 是AD 的点,∴AB=BG ;∵CD ∥FG ,CD ∥AG ,∴四边形CDGF 是平行四边形,∴CD=FG ;
∵∠ABE =∠EBC ,BE ∥CF ,∴∠EBC =∠BCF ,∠ABE =∠BFC ,∴BC =B F , ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC ,∴AB=BC+CD . 当AE =
1
n
AD (2>n )时,(1-n )AB=BC+CD . 21、(2011贵州安顺10分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于E ,F 在DE 上,且AF =CE =AE . ⑴说明四边形ACEF 是平行四边形;
⑵当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形,并说明理由.
【答案】(1)证明:由题意知∠FDC =∠DCA = 90°.∴EF ∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC ≌△EAF ,∴EF = CA ,∴四边形ACEF 是平行四边形 . (2)当∠B =30°时,四边形ACEF 是菱形 . 理由是:∵∠B =30°,∠ACB =90°,∴AC =AB 2
1
,∵DE 垂直平分BC ,∴ BE =CE 又∵AE =CE ,∴CE =
AB 2
1
,∴AC =CE ,∴四边形ACEF 是菱形. 22、(2011山东滨州10分)如图,在△ABC 中,点O 是AC 边上(端点除外)的一个动点,过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ,连接AE 、AF 。那么当点O 运动到何下时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论。
G
第25题图
【答案】当点O 运动到AC 的中点(或OA=OC )时, 四边形AECF 是矩形………………2分
证明:∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2,………………3分 又∵MN ∥BC, ∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,∴EO=CO. ………………5分 同理,FO=CO ………………6分 ∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF 是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF 是矩形………………10分 23、(2011湖北襄阳10分)如图9,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ,B 重合),连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ,PE 交边BC 于点F ,连接BE ,DF .
(1)求证:∠ADP =∠EPB ; (2)求∠CBE 的度数; (3)当
AB
AP
的值等于多少时,△PFD ∽△BFP ?并说明理由.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形
∴∠A =∠PBC =90°,AB =AD ,∴∠ADP +∠APD =90° ···················· 1分 ∵∠DPE =90° ∴∠APD +∠EPB =90° ∴∠ADP =∠EPB . ···················································································· 2分 (2)过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ,则∠EGP =∠A =90° ········· 3分
P
F
E
D
C
B
A
图9
(第24题图)
F E N
M O C
B
A
又∵∠ADP =∠EPB ,PD =PE ,∴△PAD ≌△EGP ∴EG =AP ,AD =AB =PG ,∴AP =EG =BG ············································· 4分 ∴∠CBE =∠EBG =45°. ········································································· 5分 (3)方法一:
当
2
1
=AB AP 时,△PFE ∽△BFP . ·
································································ 6分 ∵∠ADP =∠FPB ,∠A =∠PBF ,∴△ADP ∽△BPF ································ 7分 设AD =AB =a ,则AP =PB =a 21,∴BF =BP ·a AD AP 4
1
= ·
···················· 8分 ∴a AP AD PD 2522=+=,a BF PB PF 4
522=+= ∴
5
5
==PF BF PD PB ···················································································· 9分 又∵∠DPF =∠PBF =90°,∴△ADP ∽△BFP ········································ 10分 方法二:
假设△ADP ∽△BFP ,则
PF
BF
PD PB =
. ······················································· 6分 ∵∠ADP =∠FPB ,∠A =∠PBF ,∴△ADP ∽△BPF ······························ 7分 ∴BF
AP
PF PD =
, ······················································································· 8分 ∴
BF
AP
BF PB =
, ······················································································· 9分 ∴PB =AP , ∴当
2
1
=AB AP 时,△PFE ∽△BFP. 10分 24. (2011湖南永州10分)探究问题: ⑴方法感悟:如图①,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别为DC ,BC 边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF ,求证DE+BF=EF .
感悟解题方法,并完成下列填空:
将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ,此时AB 与AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,
因此,点G ,B ,F 在同一条直线上.
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°. ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°. 即∠GAF=∠_________. 又AG=AE ,AF=AF
G
P
F
E D
C
B
A
平行四边形典型例题精编版
平行四边形典型例题 1 如图,□ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,则图中全等三角形有() A .2 对 B .3对 C .4 对 D .5对 17如图,□ABCD中,∠ B、∠ C的平分线交于点O ,BO 和CD 的延长线交于求证:BO=OE. 例3】如图,在ABCD中,AE⊥ BC于E ,AF⊥DC 于F ,∠ ADC=60°,BE=2,CF=1, 求△ DEC 的面积. 解】在中,,、 在Rt △ABE 中,, 在△ 中,
例 4】已知:如图, D 是等腰△ ABC 的底边 BC 上一点, DE//AC , DF//AB 求证: DE+DF=A .B , ,从而可以利用平行四边形的定义和性质,等腰 三角 形的判定和性质来证. 解】∵ , ∴四边形 是平行四边形. ∴. ∵ ,∴ . ∵ ,∴ 说明:证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是: 分为两段,证明这两段分别等于另两条线段. 于 ,求证: 分析】 分析】由于 把三条线段中较长的线段 例 5】如图, 已知: 中, 相交于 点, 于 ,
解】因为四边形是平行四边形,所以,又因为、交于点, 所以. 又因为, 所以 从而例6】已知:如图,AB//DC ,AC、BD交于O,且 AC=BD。 求证:OD=OC. 证明:过B 作交DC延长线于E,则 于是△≌△ ∵ ,, E
∵, ∴∴ 说明:本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线 段 时用不上,为此通过作平行线,由“夹在两条平行线间的平行线B BE ,得到等腰△ BDE ,使问题得解. 例 7】如图, □ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E 、F , 例 8】如图所示, □ABCD 中,各内角的平分线分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H , 证明:四边形 EFGH 是矩形。 例 9】如图所示,已知矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ,过顶点 C ,作 BD 的垂线与∠ BAD 的平分线相交于点 E ,交 BD 于 G ,证明: AC=CE 。 求证:四边形 AFCE 是菱形. 解:略。 置交错而 A 由 AC 平移到 E
人教版平行四边形整章测试题含答案
人教版平行四边形整章测试题含答案 一、选择题 1. 已知平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线α的取值范围为() <α<16 <α<26 <α<20 D.以上答案都不正确 2. 已知ABCD是平行四边形,下列结论中,不一定正确的是() ﹦CD ﹦BD C.当AC⊥BD时,它是菱形 D.当∠ABC﹦90°时,它是矩形 3. 菱形的周长等于高的8倍,则此菱形较大内角是() °°°° 4. 矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3㎝和5㎝,则矩形的周长为() ㎝㎝或16㎝㎝ D.以上都不对 5. 在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是() (A)1:2:3:4 (B) 3:4:4:3 (C) 3:3:4:4 (D) 3:4:3:4 6. 小明用两根同样长的竹棒做对角线,制作四边形的风筝,则该风筝的形状一定是() (A)矩形(B)正方形(C)等腰梯形(D)无法确定 7. 如图1,宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成,其中一个小长方形的面积为() (A) 400 cm2(B) 500 cm2 (C) 600 cm2(D) 4000 cm2 8. 将一矩形纸片对折后再对折,如图(1)、(2),然后沿图(3)中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形一定是() (A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)正方形 9. 如图,某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的,现在园地上建一个花园(即每个图中的阴影部分),使花坛面积是园地面积的一半,以下图中的设计不合要求的是() 10. 如图,矩形ABCD的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是() (A)7.5 (B) 6 (C) 10 (D) 5 二、填空题 11. 如图,把边长为AD=12cm,AB=8cm的矩形沿着AE为折痕对折使点D落在BC上点F处,则DE= cm。
平行四边形单元测试题(含答案)
平行四边形单元测试题 班别姓名学号分数 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:2,则∠D=()(A)36°(B)108°(C)72°(D)60° 2.如果等边三角形的边长为3,那么连结各边中点所成的三角形的周长为(). (A)9 (B)6 (C)3 (D)9 2 3.平行四边形的两条对角线分别为6和10,则其中一条边x的取值范围为().(A)4 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M 沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒. (1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示); (2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值; (3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由. 【答案】(1)P点坐标为(x,3﹣x). (2)S的最大值为,此时x=2. (3)x=,或x=,或x=. 【解析】 试题分析:(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求; ②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标. (2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式. (3)本题要分类讨论: ①当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值; ②当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值. ③当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN 的长,联立CN的表达式即可求出x的值. 试题解析:(1)过点P作PQ⊥BC于点Q, 有题意可得:PQ∥AB, 平行四边形 一、 基础知识平行四边形 二、1、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半。 2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、例题 例1、如图1,平行四边形ABCD 中,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E 、F. 求证:∠BAE =∠DCF. 例2、如图2,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE ⊥AC 于E ,CF ⊥BD 于F. 求证:BE = CF. 例3、已知:如图3,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC ,点E 、F 分别在AB 、CD 上,且BE = 2EA , CF = 2FD. 求证:∠BEC =∠CFB. (图1) B O A B C D E F (图2) 例4、如图6,E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点,且AE = CF. (1 △ ABE ≌△CDF ; (2)若 、N 分别是BE 、DF 的中点,连结MF 、EN ,试判断四边形MFNE 是怎样的四 边形,并证明你的结论. 例5、如图7 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ,BC 分别相交于点E ,F.,求证:四边形AFCE 是菱形. 例6、如图8,四边形ABCD 是平行四边形,O 是它的中心,E 、F 是对角线AC 上的点. (1)如果 ,则△DEC ≌△BFA (请你填上一个能使结论成立的一个条件); (2)证明你的结论. 例7、如图9,已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC ,对角线AC 和BD 相交于点O ,E 是BC 边上一个动点(点E 不与B 、C 两点重合),EF ∥BD 交AC 于点F ,EG ∥AC 交BD 于点C. (1)求证:四边形EFOG 的周长等于2OB ; (2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明. 例8、有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分),试设计两种方案(平分方案画在备用图13(1)、(2)上),并给予合理的解释. A D B C E F (图6) M N 备用图(1) 备用图(2) B C B 2020-2021 中考数学平行四边形-经典压轴题及答案 、平行四边形 运动. 2)如图2,当b>2a时,点M 在运动的过程中,是否存在∠BMC=9°0 ,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由; 3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.答案】(1)见解析; 2)存在,理由见解析; 3)不成立.理由如下见解析 解析】试题分析:(1)由b=2a,点M 是AD 的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD 是矩形,即可求得∠AMB=∠ DMC=4°5 ,则可求得∠BMC=9°0 ;(2)由∠BMC=9°0,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣ bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△> 0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意; (3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0 的根的情况,即可求得答案. 试题解析:(1)∵b=2a,点M 是AD 的中点,∴AB=AM=MD=DC=a, 又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠ AMB=∠ DMC=45 °,∴∠ BMC=90 °. (2)存在,理由:若∠BMC=9°0 ,则∠ AMB+∠ DMC=9°0 ,又∵ ∠AMB+∠ABM=9°0 ,∴∠ ABM=∠ DMC,又∵ ∠A=∠D=90°,∴△ ABM∽△DMC,AM AB ∴CD DM , x 设AM=x ,则 a a bx 1.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M 从点 A 出发沿边AD向点D 1)如图1,当b=2a,点M 运动到边AD 的中点时,请证明 ∠BMC=9°0 ; 挑战自我: 1、 (2010年眉山市).如图,每个小正方形的边长为1,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ ABC 的度数为( ) A .90° B .60° C .45° D .30° 2、(2010福建龙岩中考)下列图形中,单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是( ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3.(2010年北京顺义)若一个正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数是( ) A .9 B .8 C .6 D .4 4、(2010年福建福州中考)如图4,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,若AC=14,BD=8,AB=10,则△OAB 的周长为 。 5、(2010年宁德市)如图,在□ABCD 中,AE =EB ,AF =2,则FC 等于_____. 6题 6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为 7、 (2010年福建晋江)如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当....的关系作为条件,推出四边形是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)关系:①∥,②,③,④. 已知:在四边形中, , ;求证:四边形是平行四边形. 8、(2010年宁波市)如图1,有一张菱形纸片ABCD ,8=AC ,6=BD 。 (1)请沿着AC 剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四 边形,在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开, F E D C B A ABCD AD BC CD AB =C A ∠=∠?=∠+∠180C B ABCD ABCD D A B C A B C D 第5题图 F A E B C D 第十八章平行四边形单元测试题 第一卷选择题 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.在平行四边形ABCD中,∠B=60°,那么下列各式中,不能成立的是() A.∠D=60° B.∠A=120° C.∠C+∠D=180° D.∠C+∠A=180° 2.矩形,菱形,正方形都具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直3.如图,?ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC的长为() A. 6cm B. 12cm C. 4cm D. 8cm 第3题第4题第5题第7题 4.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,则m的取值范围是() A.10<m<12 B.2<m<22 C. 1<m<11 D.5<m<6 5.如图,如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,那么图中的全等三角形共有()A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 6.已知菱形的边长为6cm,一个内角为60°,则菱形较短的对角线长是() A. 6cm B.cm C. 3cm D.cm 7.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,则∠CDF 为() A.80°B.70°C.65°D.60° 8.菱形的周长为20cm,两邻角的比为1:2,则较长的对角线长为() A. 4.5cm B. 4cm C. 5cm D. 4cm 9.矩形的四个内角平分线围成的四边形() A.一定是正方形 B.是矩形 C.菱形 D.只能是平行四边形 10.在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点D 重合,折痕为EF,则△DEF的周长为() A. 9.5 B.10.5 C. 11 D. 15.5 第二卷非选择题 二、填空题(每小题3分,共24分) 11.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的面积是cm2. 12.菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,则菱形的边长为cm,面积为cm2. 13.如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AB和CD于点E、F,BD=6,AC=4,则图中阴影部分的面积和为. 14.如图:菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是. 平行四边形练习题 一、填空题 1、如图,□ABCD 中,∠A =120°,则∠1= ° 2、□ABCD 中,∠A 比∠B 大20°,则∠C 的度数为_____ 4、在ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点0,点E 在边AD 上,且AE :DE=1:3,连结BE ,BE 与AC 相交于点M,若AC=6 ,则M0的 长 是 . 6、□ABCD 中, AB :BC=1:2,周长为24cm, 则AB=_____cm, AD=_____cm 7、巳知□ABCD ,周长为36,相邻两边的差为4,则相邻两边的长分别为_________ 8、平行四边形两个邻角的平分线互相______,两个对角的平分线互相______(填“平行”或“垂直”) 9、□ABCD 中,∠A=150°,AB=15cm ,则AD 与BC 间的距离为______cm 二、选择题 13、在下列命题中,正确的是( ) A .一组对边平行的四边形是平行四边形 B .有一个角是直角的四边形是矩形 C .有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形 14、平行四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,则图中共有( )对形状大小相同的三角形。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 15、平行四边形ABCD 中,∠A=50°,则∠D=( ) A. 40° B. 50° C. 130° D. 不能确定 16、 用两个形状大小相同的三角形按不同的方式拼成的平行四边形有( )个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17、平行四边形ABCD 中,∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是( ) A .1:2:3:4 B. 3:4:4:3 C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4 18、下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( ) A. 一组对边相等 B. 对角线互相平分 C. 一组对角相等 D. 对角线互相垂直 19、如图,在□ABCD 中,点E 为AB 的中点,点F 为AD 上一点,EF 交AC 于点G ,AF =4cm ,DF =8cm ,AG =5cm ,则AC 的长为( ) A .7.5cm B .15cm C .12.5cm D .25cm 21、如图,在平行四边形ABCD 中,BD =4cm ,将平行四边形ABCD 绕其对称中心O 旋转90°,则点D 经过的路径长为( ) (A)4πcm (B)3πcm (C)2πcm (D) πcm 22、已知□ABCD 的周长为32,AB =4,则BC 等于【 】 A .4 B .12 C .24 D .28 三、简答题 23、如图,已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点,且BE =DF . 求第四题图 第19题第21题图 平行四边形典型例题 【例1】如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则图中全等三角形有() A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分,可得全等三角形有:△ABD和△CDE, △ADC和△CBA ,△AOD 和△BOC 、△AOB 和△COD . 【答案】C 【例2】如图,□ABCD中,∠B、∠C的平分线交于点O ,BO 和CD 的延长线交于E ,求证:BO=OE . 【分析】证线段相等,可证线段所在三角形全等.可证△COE ≌△COB .已知OC 为公共边,∠OCE=∠OCB,又易证∠E=∠EBC.问题得证. 【证明】在□ABCD中,∵AB//CD, ∴, 又∵(角平分线定义). ∴, 又∵, ∴△≌△ ∴. 说明:证线段相等通常有两种方法:(1)在同一三角形中证三角形等腰;(2)不在同一三角形则证两三角形全等.本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论. 【例3】如图,在ABCD中,AE⊥BC于E ,AF⊥DC 于F ,∠ADC=60°,BE=2,CF=1,求△DEC 的面积. 【解】在中,,、. 在Rt △ABE 中,,. ∴,. ∴. 在△中,. ∴. 故. 【例4】已知:如图,D 是等腰△ABC 的底边BC 上一点,DE//AC ,DF//AB .求证:DE+DF=AB. 【分析】由于,,从而可以利用平行四边形的定义和性质,等腰三角形的判定和性质来证. 【解】∵, ∴四边形是平行四边形. ∴. ∵,∴. ∵,∴. ∴. ∴. 说明:证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是:把三条线段中较长的线段分为两段,证明这两段分别等于另两条线段. 【例5】如图,已知:中,、相交于点,于, 于,求证:. 【分析】 【解】因为四边形是平行四边形, 所以,. 又因为、交于点, 所以. 又因为,, 所以. 班别姓名学号分数 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:2,则∠D=()(A)36°(B)108°(C)72°(D)60° 2.如果等边三角形的边长为3,那么连结各边中点所成的三角形的周长为(). (A)9 (B)6 (C)3 (D)9 2 3.平行四边形的两条对角线分别为6和10,则其中一条边x的取值范围为().(A)4 平行四边形的性质练习题 1、平行四边形得周长为 50cm,两邻边之差为 5cm,求各边长。 2.平行四边形 ABCD 勺周长为40cm,两邻边AB AC 之比为2: 3,则AB= 3.四边形ABCD 是平行四边形,/ BAC=90 ,AB=3,AC=4,求AD 的长。 在 U ABCD 中, AB=10cm AB 边上的高 DH=4cm BC=6cm 求BC 边上的高 DF 的长. 4.平行四边形 ABCD 中,/ A-/ B=20° , / A= /B = /C = /D = 5、四边形 ABCD 是平行四边形,AB=6cm,BC=8cm / B=70° ,则 AD= ,CD= / D= 6.平行四边形 ABCD 的周长为50,其中AB=15,/ ABC=60,则平行四边形面积 7.在平行四边形 ABCD 中,/ BAC=34 , / ACB=26,则/ DAC= 8.如图,在平行四边形 ABCD 中, CEL AD,CF 丄BA 交BA 的延长线于F , / FBC=30 ,CE=3cm,CF=5cm 则平行四边形 ABCD 的周长= D 9、平行四边形得周长为 50cm 两邻边之差为 5cm,则长边是 ,短边是 10、平行四边形 ABCD 中,/ A+/ C=200° .贝^:/ A= ,/ B= 11、如图,在 口ABCD 中,DEI AB, E 是垂足,如果/ C=40°,求/ A 与/ ADE 的度数。 D B 12、如图,在 A E 口 ABCD 中,已知对角线 AC 和BD 相交于点 O △ BOQ 的周长为24 , BC=1Q 求对角线 AC 与BD 的和是多少? ,BC= 13.如图所示, 14、如图,口ABCD 的周长为60 cm, △ AOB 的周长比^ BOC 大 8 cm,求AB BC 的长。 平行四边形的判定练习题 1. 如图,已知以厶 ABC 的三边为边在 BC 的同侧作等边△ ABD △ BCE △ ACF 请回答下列问题: (1) 四边形ADEF 是什么四边形?写出理由。 (2) 当厶ABC 满足什么条件时,四边形 ADEF 是菱形? (3) 当厶ABC 满足什么条件时,以 A 、D E 、F 为顶点的四边形不存在? 2. ( 2009临沂)数学课上,张老师出示了问题:如图 1,四边形ABCD 是正方形,点 E 是边BC 的中点. AEF 90°,且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线CF 于点F ,求证:AE=EF. 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取 AB 的中点 M 连接 ME 贝U AM =EC 易证 △ AME ECF ,所以 AE EF . 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1 )小颖提出:如图2,如果把“点 E 是边BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上 (除B , C 外)的任意一点”,其它条件 不变,那么结论“ AE =EF'仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图 3,点E 是BC 的延长线上(除 C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“ AE=EF'仍然成 立?你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由. 图2 图3 图1 3. (2009年铁岭市)△ ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ ADE是以AD 为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB AC于点F、G,连接BE . (1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时. ①求证:△ AEB ADC ; ②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由; (2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立? (3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由. 4. (2009年日照 市) 已知正方形ABCD中, E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF G为DF中点, 连接EG CG (1)求证:EGCG (2)将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图②所示,取DF中点G连接EG CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观 察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 图 第24题图①第24题图② A D 第24题图③ 第十八章平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时平行四边形的边、角特征 知识点梳理 1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形ABCD记作□ABCD。 2、平行四边形的对边相等,对角相等,邻角互补。 3、两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条直线之间的距离。知识点训练 1.(3分)如图,两对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一,重合的部分构成一个四边形,这个四边形是________. 2.(3分)如图,在□ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,那么图中共有平行四边形( ) A.6个B.7个C.8个D.9个 3.(3分)在□ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,则□ABCD的周长为cm. 4.(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形,使其相邻两边的长度比为3∶2,则较长的边的长度为cm. 5.(4分)在□ABCD中,若∠A∶∠B=1∶5,则∠D=;若∠A+∠C=140°,则∠D=. 6.(4分)(2014·)如图,在□ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则□ABCD的周长是. 7.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为( ) A.53°B.37°C.47°D.123° 8.(8分)(2013·)如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF. 求证:AE=CF. 9.(4分)如图,点E,F分别是□ABCD中AD,AB边上的任意一点,若△EBC的面积为10 cm2,则△DCF的面积为。 10.(4分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,记△ABO的面积为S1,△COD的面积为S2,则S1,S2的大小关系是( ) A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.无法比较 11.在□ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( ) A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.2∶2∶1∶1 D.2∶1∶2∶1 12.如图,将平行四边形ABCD折叠,使顶点D恰落在AB边上的点M处,折痕为AN,那么对于结论:①MN∥BC;②MN=AM,下列说确的是( ) A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错② 13.如图,在□ABCD中,BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为E,F,CE=2,DF=1,∠EBF =60°,则□ABCD的周长为__. 平行四边形测试题 一.选择题(每题5分,共30分) 1. 已知四边形ABCD ,以下有四个条件. (1)AB CD AB CD =∥, (2)AB AD AB BC ==, (3)A B C D ∠=∠∠=∠, (4)AB CD AD BC ∥,∥ 能判四边形ABCD 是平行四边形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 如图3,E F 、 对角线AC 上两点, 且 AE CF =,连结DE 、BF ,则图中共有全等 三角形的对数是( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 中,:::A B C D ∠∠∠∠的值可以是( ) A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 C.1:2:1:2 D.1:1:2:2 4. 如图,在ABC △中,6AB AC D ==,是BC 上的点,DE AB ∥ 交AC 于点F ,DE AC ∥交AB 于E ,那么四边形AFDE 的周长为( ) A.6 B.12 C.18 D.24 5. 如果平行四边形的两条对角线长分别是8和12,那么它的边长不能是( ) A.10 B.8 C.7 D.6 6. 若平行四边形ABCD 的对角线cm cm AC a BD b ==,2b a -+0=,则下列哪个长度能作为平行四边形的一条边的长度( ) A.1 B.5 C.7 D.3.5 二.填空题(每题5分,共30分) 7. 用两个全等的三角形最多.. 能拼成 个不同的平行四边形. 8. 四边形ABCD 中,已知AB CD =,则可再添加一个条件 可判定四边形 ABCD 为平行四边形. 9. E F G H 、、、分别为ABCD 四边的中点,则四边形EFGH 为 . ABCD 中,:4:3AB BC = ,周长是28cm ,则AD = ,CD = . ABCD 中,AB BC CD 、、的长度分别为2134x x x ++, ,, 则的周长是 . 图1 A B BC 一、知识点讲解: 1.平行四边形的性质: 四边形ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等; ()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;( 2.平行四边形的判定: . 3. 矩形的性质: 因为四边形ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1)对角线相等()四个角都是直角(有通性)具有平行四边形的所( (4)是轴对称图形,它有两条对称轴. 4矩形的判定: (1)有一个角是直角的平行四边形; (2)有三个角是直角的四边形; (3)对角线相等的平行四边形; (4)对角线相等且互相平分的四边形. ?四边形ABCD 是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。 5. 菱形的性质: 因为ABCD 是菱形??? ? ??.321角)对角线垂直且平分对()四个边都相等; (有通性;)具有平行四边形的所( 6. 菱形的判定: ?? ? ?? +边形)对角线垂直的平行四()四个边都相等(一组邻边等)平行四边形(321?四边形ABCD 是菱形. 菱形中有一个角等于60°时,较短对角线等于边长; 菱形中,若较短对角线等于边长,则有等边三角形; 菱形中,两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形,每个直角三角形的斜边是菱形的边,两直角边分别是两对角线的一半。 菱形的面积等于两对角线长积的一半。 A B D O C A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O C D A B A B C D O 7.正方形的性质: 四边形ABCD 是正方形??? ? ??.321分对角)对角线相等垂直且平(角都是直角; )四个边都相等,四个(有通性;)具有平行四边形的所( 8. 正方形的判定: ???? ? ? ? ?? ++++++对角线互相垂直矩形)(一组邻边等 矩形)(对角线相等)菱形(一个直角)菱形(一个直角一组邻边等)平行四边形(54321?四边形ABCD 是正方形. 9. 1.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三 遍的一半。 2.由矩形的性质得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1:如图1,平行四边形ABCD 中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E 、F. 求证:∠BAE =∠DCF. 例2如图2,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE⊥AC 于E ,CF⊥BD 于F. 求证:BE = CF. 例3.已知:如图,在△ABC 中,中线BE ,CD 交于点O ,F ,G 分别是OB ,OC 的中点.求证:四边形DFGE 是平行四边形. 例4如图7 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ,BC 分别相交于点E ,F. 求证:四边形AFCE 是菱形. (图1) O A B C D E F (图2) B 第六章平行四边形测试题姓名班级 一、细心选一选:),则AC的长为(1、平行四边形ABCD的周长是28cm,△ABC的周长为22cm D.8cm C.4cm A.6cm B.12cm ) ( 2、菱形具有而矩形不具有的性质是 D.四角相等.四边相等C.对角线互相平分A.对角相等B F,点E,BD相交于点,O3、如图,在ABCD中,对角线A C上的两点,当点E,F满足下列条件时,四边形是对角线ACDEBF 不一定是平行四边形() A.AE=CF B.DE=BF C.∠ADE=∠CBF D. ∠AED=∠CFB F A D D C OFE O AB E 第3题图 B C 题图)8()4、两条对角线互相垂直的四边形是( (A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)以上都不对 5、能够判定一个四边形是矩形的条件是()。 (A)对角线互相平分且相等(B)对角线互相垂直平分 (C)对角线相等且互相垂直(D)对角线互相垂直 6、顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是() (A)菱形(B)矩形(C)正方形(D)等腰梯形 7.如图,ABCD、AEFC都是矩形,而且点B在EF上,这两个矩形的面积分别是S ,S ,21则S ,S的关系是()21A. S>S B. S<S C. S=S D. 3S=2S 211221128、如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列 S?S))(OEAO3;⊥)(BFAE1结论:()=;2AEBF()=;4 (中正确的有AOB?DEOF四边形.1个2个 D. B. 3个 C. A. 4个 )9、下列命题中,真命题是(B.对角线互相垂直的四边形是菱形A.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形.对角线互相垂直平分的四边形是正方形D,交DBC于点,BC的垂直平分线EF交10、如图,在△ABC中,∠ACB=90°为正方形BECFBF,添加一个条件,仍不能证明四边形于点E,且BE=AB)的是(A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 11.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于() A.50°B.60°C.70°D.80° 12.在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(﹣2,4)、(﹣5,2),点M在x轴上,点N在y 轴上.如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,那么符合条件的点M有()个.A1个.B. 2个 C. 3个 D.4个 二、精心填一填:(6×3=18分) 13.如图,菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm,则菱形ABCD 平行四边形章节练习题 1. 平行四边形ABCD 中,∠B=4∠A,则∠C=【 】A .18°B.36° C .72° D .144° 2.如图,在平行四边形ABCD 中,AD=5,AB=3,AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ,则线段BE ,EC 的长度分别为【 】 A .2和3 B .3和2 C .4 和1 D .1和4 3.如图,在平行四边形ABCD 中,过点C 的直线CE⊥AB,垂足为E ,若∠EAD=53°,则∠BCE 的度数为【 】A .53° B .37° C .47° D .123° 4.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=3cm ,BC=5cm ,对角线AC ,BD 相交于点O ,则OA 的取值范围是【 】A .2cm <OA <5cm B .2cm <OA <8cm C .1cm <OA < 4cm D . 3cm <OA <8cm 5.如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,且AB≠AD,过O 作OE⊥BD 交BC 于点E .若△CDE 的周长为10,则平行四边形ABCD 的周长为 . 6. ABCD 中,已知点A (﹣1,0),B (2,0),D (0,1).则点 C 的坐标为 . 7、在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O , 如果AC=14,BD=8,AB=x ,那么x 的取值范围是 . 8.如图所示,平行四边形ABCD 的周长是18 cm ,对角线AC 、BD 相交于点O, 若△AOD 与△AOB 的周长差是5 cm ,则边AB 的长是_____ cm 9.如图2,在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误.. 的是( ) A .∠1=∠2 B .∠BAD =∠BCD C .AB =CD D . AC ⊥BD 10.如图,在ABCD 中,AD=2AB ,CE 平分∠BCD 交AD 边于点E , 且AE=3,则AB 的长为( ).(A)4 (B)3 (C) 5 2 (D)2 1 2 A B C 图2 2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案 一、平行四边形 1.操作:如图,边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上,将△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F. 探究:(1)如图1,当点P在线段BC上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE的度数;②若点E 恰为线段DF的中点时,请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?并求出此时∠AFD 的度数. 归纳:(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数是否会发生变化?试证明你的结论; 猜想:(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数是否会发生变化?试在图中画出图形,并直接写出结论. 【答案】(1)①45°;②BC的中点,45°;(2)不会发生变化,证明参见解析;(3)不会发生变化,作图参见解析. 【解析】 试题分析:(1)当点P在线段BC上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求出∠DAE度数,在三角形AFD中,利用内角和定理求出所求角度数即可;②由E为DF中点,得到P为BC中点,如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等,利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1,得到P为BC中点,进而求出所求角度数即可;(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求出∠1+∠2的度数,即为∠FAG 度数,即可求出∠F度数;(3)作出相应图形,如图2所示,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数不会发生变化,理由为:作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设 ∠DAG=∠EAG=α,根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可. 试题解析:(1)①当点P在线段BC上时,∵∠EAP=∠BAP=30°,∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=30°,∴∠ADE=∠AED=(180°﹣30°)÷2=75°,在△AFD中,∠FAD=30°+30°=60°,∠ADF=75°,∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°;②点E为DF 的中点时,P也为BC的中点,理由如下: 初三数学 经典例题(附带详细答案) 1.如图,E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点,BE DF ∥, 求证:AF CE =. 【答案】证明:平行四边形ABCD 中,AD BC ∥,AD BC =, ACB CAD ∴∠=∠. 又BE DF ∥, BEC DFA ∴∠=∠, BEC DFA ∴△≌△, ∴CE AF = 2.如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B=∠D ,, 求四边形ABCD 的周长. 【答案】 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====,ABCD 183262=?+?=A D C B D C A B E F 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长 解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.(在四边形ABCD 中,∠D =60°,∠B 比∠A 大20°,∠C 是∠A 的2倍, 求∠A ,∠B ,∠C 的大小. 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A =∠(度),则20+=∠x B ,x C 2=∠. 根据四边形内角和定理得,360602)20(=++++x x x . 解得,70=x . AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=,ABC △CDA △36AB CD BC AD ====,ABCD 183262=?+?=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====,ABCD 183262=?+?=A D C B A D C B中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及答案解析
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