杨宇轩——刚体转动瞬心的的求解方法及其应用的研究

刚体转动瞬心的的求解方法及其应用的研究

杨宇轩

南漳县第二中学（湖北襄阳441100 ）

摘要：对刚体平面运动过程的简化作了说明，给出了确定速度瞬心及加速度瞬心位置的方法，并证明了加速度瞬心存在性和唯一性，本文在阐述瞬心问题的同时，通过实例介绍了刚体转动速度瞬心及加速度瞬心的在实际问题中的应用。并通过maple编程对实例进行解析，由于瞬心是刚体平面平行运动中很特殊的点,因此在有些问题中应用对瞬心的动量矩定理能使问题更加简洁,也能增加对其他点的动量矩定理的理解。

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关键字：刚体速度瞬心加速度瞬心平面运动 maple

0引言

任何两个质点之间的距离不因力的作用而发生改变，这种特殊的质点组叫做刚体。做平面运动的刚体薄片的角速度不为零时，在任一时刻，薄片上恒有一点的速度为零，这个点叫转动瞬心[1]。当薄片运动时，转动瞬心也会不断地改变位置，瞬心C在平面O-XY上所描绘的轨迹叫做空间极迹，在A-X'Y'平面上的轨迹叫做本体极迹。在任一瞬时，空间极迹与本体极迹的公共切点C，是该时刻转动瞬心。教科书周衍柏《理论力学》第三版第146页，所述的转动瞬心，也就是刚体转动的速度瞬心，由速度瞬心类推得到，刚体平面运动任一瞬时,加速度为零的点称为加速度瞬心。速度瞬心与加速度瞬心不是同一点，一般不重合。

瞬心的一大特点就是瞬时性。这是因为在空间坐标系中瞬心的位置（坐标）是时刻移动的，在固连在刚体上的坐标系中顺心的位置（坐标）也是时刻变化的。

利用瞬心求解物理基本运动物理量就显得很方便，再利用瞬心法求解物理问题中，找出瞬心位置就显得尤其重要，得到刚体瞬心的位置,很容易确定刚体上其它各点的速度及其角速度。

除了速度瞬心,还有加速度瞬心,在我们所学的理论力学及相关的资料中都很少提及、阐述家速度瞬心,一般原因大致有两点:其一是教学大纲中对加速度瞬心的内容没有任何要求;其二是加速度瞬心一般难以确定。但在某些特殊条件下,加速度瞬心是较容易确定的,确定后容易求出其它点的加速度及角加速度,从而使一些问题得以简化。文中对速度瞬心和加速度瞬心进行了分析,并用实例说明其应用。[2]

教科书中对瞬心的应用一般常见于在运动学中确定瞬心后求其它点的速度、角速度、加速度或角加速度,在动力学中的应用很少提及。但由于瞬心是刚体平面平行运动中很特殊的点,在有些问题中应用对瞬心的动量矩定理能使问题更加简洁,也能增加对其他点的动量矩定理的理解。

1刚体的转动瞬心

1.1转动瞬心的概念

转动瞬心是作平面平行运动的刚休的瞬时转动中心，其速度为零，因此可认为刚体的平面平行运动是一种以转动瞬轴(通过瞬心，且垂直于刚体上任一点的运动平面的直线)为轴的瞬时

定轴转动。由此可知:

1.11转动瞬心只对作平面平行运动的刚体而言，对曲线无意义。

1.12转动瞬心只能反应刚体上任一点的速度，它只反应该点一点的情况，所以它不能反应刚体上该点运动轨迹在某处的弯曲程度。

1.2曲率中心概念

曲率某处的曲率=k ds d α式中，ds 为曲线在该处的孤微分，α

为x 轴正向与曲线切线的夹角，α的正转向为顺时针，k 反应了曲线该处的弯曲程度，k 大，弯曲程度大

1.3转动瞬心的确定

作平面运动的刚体的角速度不为零的时候，在任意的时刻上的横有一点的速度为零，叫做转动瞬心，其相对于xy o -的坐标可令式中的y x v v 等于零而求的，即

ωAy

o c v x x -= ωAx

o c v y y +=

而转动瞬心相对于XY A -的坐标，则可令y x v v 等于零则

ωay

c v x -= ωax

c v y =，如果ω=0，则无转动瞬心，或者说转动瞬心在无穷远。

只要转动瞬心c 为已知，就很难推出薄片此时的转动状况，如果取c 为基点，则c 在此时刻的速度为零，故此时的按照c 转动，我们可以用几何法来求出转动瞬心的位置。过点B A ,做两条直线分别垂直俩个速度，则此时的焦点为转动瞬心。此时转动瞬心在静系中的轨迹为空间轨迹，在动系中的轨迹为本体轨迹。

3转动瞬心联系速度瞬心

平面运动刚体任一瞬时,速度为零的点称为速度瞬心,记作C 。由速度基点法,已知某瞬时刚体的角速度ω基点A 速度a v ，分析c 点：

ac a c r v v ?+=ω

由于速度瞬心的瞬时速度为零,因而刚体的平面运动可看成是连续绕速度瞬心的纯转动,速度瞬心与任一点速度矢量的连线必与此点的速度方向垂直，这样就可以用几何法找出刚体平面运动的速度瞬心已知平面图形上任两点的速度方向，则分别作其速度垂线，相交点即速度瞬心则将二速度矢量的箭头与箭头、箭尾与箭尾相连,交点即速度瞬心。在刚体的平面运动中,除了以上三种速度类型,中我们可以用速度瞬心的特点或速度投影法等来进行分析。(两速度矢量同向且大小相等,但其速度垂线不在一条线上,若是这样的话,相当于其速度瞬心在无穷远,此时刚体实际做的是平动,并不是平面运动。对两速度矢量同向不等大小,且其速度垂线不在一直线上,这种情况也是不可能的。

4刚体对瞬心的转动方程

正确的刚体绕瞬心的转动方程:

()i i F r i dt

d ?∑=+P dt dR ? 式中p=∑mivi,IO′为对瞬心的转动惯量,R 为瞬心的位矢.同时指出了上述错误证明的根源:“刚体转动瞬心的速度为零,是指某时刻刚

体上(或其延展)某点运动速度为零,而不是转动瞬心所在空间位置对时间的变化率为零 因此dR/dt 一般不为零

设在时间dt 内,刚体转过一微小角dθ,所有外力的元功为

δW=LPdθ

其中LP 为所有外力对瞬时轴的矩.按动能定理,得dT=δW 即12d(IP .θ2)=LPdθ

注意到IP=I+ρ2M (ρ为瞬心P 到质心的距离)

对于刚体平面转动问题，我们一般要对平面运动的进行简化。刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。平面运动又能分解为平动和转动，为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．平面运动方程 )(1t f x A = )(2t f y A = )(3t f =?。刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。当选取好适当的点作为基点，刚体平面运动即可简化为随基点的平动和绕基点的转动。刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例。

平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关，瞬心问题的提出，在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称瞬心．瞬心位置随时间改变。每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同。ω =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平动, 瞬时平动与平动不同．

在理解瞬心及用瞬心法求解物理问题时应该注意：瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不一定相同的。不同于刚体平动。

2刚体平面运动加速度瞬心的存在性及唯一性

2.1加速度瞬心的存在性

证明：如图1 刚体以角速度ω、角加速度α做平面运动，若已知点A 的加速度a[A]，设刚体上的B 点是加速度瞬心，B 点到A 点的距离为λ，由刚体的平面运动的加速度基点法可以得到：

2^4^a αωλ+?=BA

有向线段AB与A点加速度aA的夹角θ为：

通过分析：过A点做方向为A点加速度aA顺着α旋转θ角的射线，在射线上量取λ得到的点B就是刚体做平面运动的瞬心。

2.2加速度瞬心的唯一性

证明：如图2 刚体以角速度ω、角加速度α做平面运动，设刚体上的A点是加速度瞬心，设刚体上距离A点到B点的距离为λ的B点也是加速度瞬心，即aB=0；由刚体的平面运动的加速度基点法可以得到：

将带入到中：即λ=0；

这就证明了AB两点重合，刚体平面运动仅有一个加速度瞬心；

图1 图2

由此我们可以得知：加速度瞬心与速度瞬心一样，确定存在并且唯一。

3对瞬心及在特殊条件加速度瞬心的动量矩定理的理解

平面运动刚体任一瞬时,加速度为零的点称为加速度瞬心,例如均质圆盘在平面或斜面上做纯滚动的问题,在这种情况下,对速度瞬心的动量矩定理可表述为:刚体对速度瞬心的动量矩对时间的微商等于作用在刚体上诸外力对速度瞬心的力矩的矢量和,数学表达式为:dJc/dt=M

速度瞬心与加速度瞬心一般不重合。对加速度瞬心,只有在几种特殊情况下才比较好确定,但在这些特殊情况下确定后能使一些问题解决起来得到简化。

在一些特殊情况中，例如均质圆盘在平面或斜面上做纯滚动的问题,对速度

瞬心的动量矩定理可表述为:刚体对速度瞬心的动量矩对时间的微商等于作用在刚体上诸外力对速度瞬心的力矩的矢量和,数学表达式为:dJ/dt=M e，其成立条件为刚体平面纯滚动问题。实际上,上述式子在只要当平面运动刚体的质心与速度瞬心的距离保持不变得情况下都是成立的。又由角动量与转动惯量的关系,上式可进一步写成:dJ/dt=I*a=M e (I为刚体相对速度瞬心的转动惯量)，运用对瞬心的角动量定理可以简化计算，在例题四的解析中体现出对瞬心的角动量定理将使问题变得简洁。

3确定速度瞬心与加速度位置的方法

3.1图示法确定速度瞬心

由于速度瞬心的瞬时速度为零,因而刚体的平面运动可看成是连续绕速度瞬心的纯转动,速度瞬心与任一点速度矢量的连线必与此点的速度方向垂直。这样就可以用几何法找出刚体平面运动的速度瞬心。

如图1——图6用途是的方法找出瞬心位置瞬心C*

1已知刚体转动的角速度及刚体上任一点的绝对速度。如图1，瞬心C*

2已知两点的速度，且彼此不平行。如图2，瞬心C*

3已知速度方向垂直于同一条直线的两点的速度。如图3，瞬心C*

4已知刚体做瞬时平动。如图5，瞬心C*

5已知两速度平行且方向相反。如图4，瞬心C*

6已知滚动的轮子，其与地面的接触点。如图6，瞬心C*

3.2图示法确定加速度瞬心

1，已知刚体内两点的加速度（加速度方向不平行）如图1，瞬心C

2，已知刚体转动的角加速度α大小和方向和角速度ω，及刚体上任一点的加速度大小和方向，如图2 瞬心C

3，若已知纯滚动的圆盘的角加速度α的大小及方向，及角速度ω的大小，如图3，瞬心C

图1 图2

图3

4速度瞬心法及对瞬心动量矩定理

刚体的平面平行运动可以分解为刚体随基点的平动及刚体绕基点的转动两部分。若取基点为瞬心，则刚体在该时刻的运动就变成了绕瞬心的转动。由于刚体转动的角速度、角加速度等转动量与基点的选取无关，所以只要求出了瞬心的位置就可以求出刚体上任一点的速度，解：r νω'=?

研究分析AB ，已知A ν 、B ν 的方向，因此可确定出P 点为速度瞬心如图所示

因为ωl v A = ， l AP = 得

ωωω===l l AP v A AB ； 所以：

ωωl BP v AB B 2=?=

刚体平面平行运动中有些问题用瞬心法求解速度更为便利。如下面的例子

例题：设椭圆规尺AB 的端点A 和B 沿直线导槽x O 及y O 滑动如（图4.1）所示，而B 以匀速度c 运动.求椭圆规尺上M 点的速度。

图4.1 图4.1

设θ=∠==OBA b MB a MA ,,。已知椭圆规尺AB 两端点的速度方向，故过A 及B 作两直线分别与A v 及B v 垂直，此两直线相交于C ，故C 为转动瞬心。

B 点速度的量值为c ，由图3知

()ωθ?+==sin b a c v B （ω为AB 的角速度）

θ

ωsin 1b a c +=

根据转动瞬心的定义，知 θωθθω

2222222cot cos sin b a b a c b a v MC M ++=?+=

?=

理论力学教科书中有一些例子可以说明运用瞬心求解，可以使得问题简化

例如求解沿直线轨道作纯滚动的车轮，其半径为R ，轮心的速度为u ，求轮上A 、

B 、

C 、

D 的速度。 图 4.2

222b 0

p a u v d v u

c v u R ======ννν

ω

例题1：椭圆规尺的A 端以v[A]沿x 轴负向运动，AB=l ，求B 端与D 端的速度，以及AB 的角速度。[2]

分析：采用瞬心法，○

1找出速度瞬心C ，由于A 端和B 端被约束在x 轴和y 轴上，速度方向分别沿着x 轴y 轴，过A 与B 两个端点，做垂线，垂线交点即为瞬心C 。○

2设AB 与X 轴的夹角为φ，于是可以根据瞬心法得出：

AB=L;CD=L/2;

AC=AB*sin(φ);

BC=AB*cos(φ);

ω=v （A ）/AC;

v(B)=BC*ω;

v(D)=CD*ω;

只要知道了瞬心的位置及刚体其各个质点饶瞬心的转动角速度，求解刚体上任意一点的速度就很方便。

如果我们采用惯性系中分析方法，例如：

设A 与B 两点的坐标为A （x,0）、B （0，y ）,D(x/2,y/2);(粗体为矢量)

x=cos(φ)L;

y=sin(φ)L;

v[A]=dx/dt;

V[B]=dy/dt;

V[D]=Vx+Vy;

Vx =d(x/2)/dt;

Vy =d(y/2)/dt;

将两种方法作对比，步骤上差不多，但是后一种要用到矢量微分，在理解层面上，前一种更容易理解，计算也较方便快捷。使用瞬心法时，只要知道了瞬心的位置及刚体其各个质点饶瞬心的转动角速度，求解刚体上任意一点的速度，简洁明了，方便快捷。。用maple 软件对该问题进行求解，程序如下：

Restart:

AB:=L:

AC:=ABsin(φ):

BC:=ABcos(φ):

DC:=L/2:

ω:=v[A]/AC:

v[B]:=ω*BC:

v[C]:=ω*AC:

例题2；车轮沿直线滚动，已知车轮的半径为R，中心O的速度为v0,加速度为a0，车轮与地面没有相对滑动，求瞬心C的加速度。

分析：车轮做平面运动，设车轮上与地面借助的动质点为C0，瞬心为车轮与地面的接触点C。

采用瞬心法，利用maple软件对该问题求解，程序如下：

例题3：均匀细杆长为L,质量为m，静止直立于光滑桌面上，当杆受到微小的扰

动而倒下时，求当杆刚好到达桌面时的角速度和地面的约束力；

分析：采用瞬心法和动能定理求解角速度，用刚体平面运动微分方程求解地面的约束力。用maple 软件求解该例题问题。

程序如下：

Restart:

CP:=L/2cos(θ):

J[C]:=1/12*mL^2:

v[C]:=ω*CP:

T:=1/2*m.v[C]^2+1/2*J [C]*ω^2:

T[0]:=0:

W:=(m*g*l)/2*(1-θ):

eq1:=T-T[0]=W:

Solve({eq1},{ω})

ω[0]:=subs(θ=0,ω):

ω[0]:=simplify(ω[0]):

例题4：在例题3中，求解杆在受到微小震动刚要倒下的瞬间的角速度ω

解:杆刚要倒下的瞬时,角速度为零,加速度瞬心在任两点加速度的垂直联线上，设一端为A 一端为B 点，加速度方向水平向左,A 点加速度沿着杆(没有速度,无法向加速度),因此O 点即为此时的加速度瞬心。由对加速度瞬心的动量矩定理有:

[1/12m*L^2+m*(5/4)L^2=mg*L^2sin45

解得:A=3*sqrt(2)/16*(g*L);

从上可看到,用对加速度瞬心的动量矩定理解决此问题很简单,只需列一个方程即可。

例：曲柄OA 以匀角速度ω转动。求当φ=60o时，滑块B 的速度及连杆AB 角速度。 解：由图象可知：P 点即为杆AB 的瞬心,ωab 是杆AB 的转动角速度：

ωωνωωωωωνR R AP R a 332ab BP b 333R ab ab

=?==??=?=?=

用一般的动力学方法解答该题，通常有两种，一种是设A 点的坐标，根据杆OA 与OB 的长度不变的关系，得到用A 来表示B 点的坐标，B 点坐标的一阶导数就是B 点（滑块）的

速度。另一种方法是，运用朗格朗日方程求解，由于问题只有一个自由度，因此一个方程就可以求解，但是这两种方法都涉及到了对时间的求导，因此运用瞬心法求解这种问题就显得简洁一些。

6结论：

（1）采用清晰简洁的图示法介绍了寻找速度瞬心和加速度瞬心的方法

（2）简洁的证明了加速度瞬心存在的确定性及唯一性。

（3）选取了几个简单的例题，通过解析和maple程序阐明了采用瞬心法和对瞬心的动量矩定理在解决有些问题的过程中能得到简化

（4）虽然有例题介绍了利用速度瞬心求解平面运动刚体的动力学问题可以使问题得到简化，但其适用的范围是相对狭窄的，须根据质点系对动点的动量矩定理具体分析;当质点系对速度瞬心的转动惯量为常数时，应用质点系对速度瞬心的动量矩定理求解动力学问题才可能得到简化;一般情况下质点系的对速度瞬心的转动惯量是随运动而变化的，利用速度瞬心求解反而更复杂，所以仍需根据传统的平面运动微分方程求解动力学问题。

（5）刚体的转动瞬心如果确定对于刚体的研究有着非常大的帮助，所以对于刚体转动瞬心的学习要认真注意。

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[21] 大学物理优秀论文评选揭晓[J].大学物理,1996

Research t he method of calculating the instantaneous center rigid body

Author：Y ANG Y uXuan Instructor：WANG ZhiYun

(Hubei University of Science and Arts, XiangYang 441053)

Abstract：Introduces the instantaneous center of the rigid body plane motion speed

and acceleration of the instantaneous center, instantaneous center and determine velocity given acceleration instantaneous center location method, and proves that the existence and uniqueness acceleration instantaneous center, instantaneous center problem in this paper, the paper at the same time, through the example introduces the instantaneous center to solve the rigid body rotation speed and acceleration of the instantaneous center in the application of the practical problems. And through the maple programming to parse instance, because of the instantaneous center is a rigid body in plane parallel motion is very special, so in some problems in the application of moment of momentum theorem to instantaneous center can make the problem more concise, can also increase the understanding of the other point of moment of momentum theorem.

题目刚体转动瞬心的求解方法及其应用

系别物电系

专业物理学

年级2012级

学号2012110132

学生杨宇轩

指导教师汪志云