模块六2.探究活动 重温代数学
重温代数学
如果没有一些数学知识，那么就是对最简单的自然现象也很难理解什么，而
要对自然的奥秘做更深入的探索，就必须同时地发展数学
J.W.A.Y oung
数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分。人类的进步是与科
学思想极为一致的。数学和物理的研究是智慧进一步的一个可靠的记录。
F.Cajori
§1. 初等数学回顾
1. 主要内容。这里对初等数学作一简要回顾。孔子说：“温故而知新”。柏拉
图说：“天下本无新事”。这是告诉我们，要从旧中找出新，从新中辩出旧。只有如此我们才能学得深、理解得透。
初等数学的主要内容计有：算术，代数，几何，三角和解析几何。它们提供
了最基本的数学知识和最基本的思维模式.
这些内容清楚地表明，数学是空间形式和数量关系的学科。那么，形与数的
本质是什么？
形：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养逻辑推理能力，培养洞察力。数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力。
在学习数学的时候要注意数、形结合。已故著名数学家华罗庚对此非常重视。他曾写了一首词：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少知觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
切莫忘，几何代数统一体，
永远联系，切莫分离。
数与形相结合，既有助于加深理解，也有助于记忆。
在初等数学中，算术与代数以研究数量关系为主，几何与三角以研究空间形
式为主。解析几何是数与形结合的典范。几何学教给我们逻辑推理的能力，代数学教给我们数学演算的能力。在整个初等数学中代数占有更加重要的作用。
2. 中学代数的主要内容。中学代数主要完成了那些成果呢？
1）．从数值运算过渡到符号运算。算术的特点是数值运算，代数的特点是符
号运算。中学代数实现了从数值运算到符号运算的过渡，沿着抽象思维的道路走上了数学的更高级的阶段。但是，在中学代数中，符号代表的仍然是数。2）．二元、三元一次线性方程组的解。三元一次线性方程组的一般形式是
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1 1 1
a x
b y
c z d
a x
b y
c z d
a x
b y
c z d
+ + =
+ + =
+ + =
为了求解线性方程组，我们采用逐次消去一些未知量的方法以简化方程组，这就是实施了下面的变换：
1）互换两个方程的位置；
2）把某一方程两边同乘一常数；
3）某一方程加上另一方程的常数倍。
这些变换称为初等变换。这样，在代数里第一次出现了变换的概念。一个简单而重要的事实是，线性方程组经过一系列初等变换,变成一个新的方程组，新的方2 程组与原方程组同解,即，在初等变换下，方程组的解保持不变，或者说，解是初等变换下的不变量。由此，代数方程组给两个重要的概念：变换与不变量。
由线性方程组的理论自然地引出了2、3 阶矩阵和2、3 阶行列式的概念，这
些知识为将来学习线性代数做了准备。
3．求解一元二次方程。一元二次方程的一般形式是
2
ax + bx + c = 。
设方程的根是 1 2
x , x ，我们有如下的重要结果：
求根公式。
a
b b ac
x
2
4
2
1,2
?± ?
= 。
公式指出,借助系数的代数运算——四则运算与开方运算可以表示方程根。
一个自然的问题是,这种公式可以推广到任意高次方程吗?或者，任意高次方
程的根通过系数的代数运算得到吗？答案是,这种公式限于 5 次以下的方程。
韦达定理——根与系数的关系：
a
b
x1
+ x2
= ? ，
a
c
x1
x2
= 。
公式指出,可以用方程的根来表达方程式的系数。
这种表示法可以推广吗？即，对任意高次方程，都有相应的公式吗？答案是，
对任意n 次方程都有相应的公式成立。这种表示具有重大意义，为进一步研究方程的可解性提供了基础。
4．指数与对数。中学代数中引入了两个新的函数：指数函数和对数函数。
指数函数：x
y = a (a > 0, a ≠1,?∞< x < ∞) 。
对数函数，y x a
= log （a > 0, a ≠1,0 < x < ∞）。
指数函数与对数函数互为反函数。
5．数学归纳法。初等代数中引入了数学归纳法，这是整个代数学中最基本
的方法之一，因为代数中的许多定理是通过归纳手段得到的。下面的例子都是用数学归纳法证明：
例1。自然数的求和公式：
2
( 1)
1 2 3
+
+ + + + =
n n
n 。
例2．自然数平方的求和公式：
( 1)(2 1)
6
1
1 2 3
2 2 2 2
+ + + + n = n n + n + 。
这些公式都是对任意n 成立的，而用数学归纳法却可以通过“有限”来解决“无限”的问题。
6. 数系的结构。中学代数提供了：
最基本的运算：四则运算；乘方与开方运算；指数与对数运算。
最基本的运算法则：结合律，分配律，交换律。
加法的法则。
1）加法结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；3
2）加法交换律：a + b = b + a ；
3）存在数0，对一切实数a ，有0 + a = a ；
4）对一切实数a ，存在实数b ，使b + a = 0。
乘法的法则。
1）法结合律：a(bc) = (ab)c；
2）法交换律：ab = ba
a) 存在数1，对一切实数a ，有1?a = a；
b) 对一切非零实数a ，存在实数b ，使ab = 1。
3）加法与乘法的分配律：对容易实数a, b, c 有
a(b + c) = ab + ac。
用抽象的语言说，全体实数构成一个集合，这个集合内有加法和乘法两种运
算，这两种运算遵循上述九条法则。中学代数就是以它为基础展开的。认识到这一点对学习代数中较深入的知识是至关重要的。因为近世代数的主要内容是集合, 以及集合上的代数运算,并且在同构下进行考察.
小结。初等代数为学生将来学习更高级的数学做了很好的准备。它完成了四
项任务：
1）实现了从数值运算到符号运算的过渡；
2）开启了变换的思想，暗示了不变量的存在；
3）引入了数学归纳法，给出了通过“有限”来解决“无限”问题的一种方
法。
4）给出了研究数系结构的实例，为进一步研究代数结构做了准备。
§2。代数学简史
什么是代数？它的基本问题是什么？要回答这些问题，需要进行历史的考
察。代数学是数学中的一个历史悠久的重要分支，它的研究对象、方法和中心问
题都经历了重大的变化。代数学的发展分为三个不同的时期。在三个不同的时期
内，人们将三个很不相同的东西理解为代数学。
1. 代数学的诞生。
第一个时期要追溯到公元9 世纪。阿拉伯数学家穆罕默德. 阿里. 花拉子米
最重要的著作《代数学》是代数学的开始。英文”algebra”一词就来自此书。而
中文“代数”一词则是清朝著名数学家李善兰（1811——1882）首创的译名，并
一直沿用到今天。花拉子米的著作对代数思想和符号的建立有重要影响.
二次方程巴比伦人已经会解了。三次方程和四次方程的解法要困难得多，直
到十六世纪初，才由意大利数学家所解决。三次方程和四次方程的解出具有重大
意义：
1)。文艺复兴时代的数学第一次超过了古代的成就。这就鼓舞了后面的数学
家用根式解五次以上的代数方程。
2)．解三次方程引出了复数。
15 世纪结束时,开始使用现代符号，到17 世纪中叶已经基本完备。它标志着
代数学”史前时期”的结束.从这个时期起，数学家把代数看成是字母计算，关于
字母构成的公式的变换以及代数方程等的科学。
在这一时期，除了解方程以外，许多其他课题也引起他们的兴趣。例如，各4
种代数式的运算和因式分解，二项式的展开公式，构造各种有用的恒等式，各种
级数的求和，特别是前n 个自然数的方幂和等等，都进入代数学的研究范围。
这时期的另一个重要成就是对数的创始，它的创始者是苏格兰英国的纳皮尔
（John Napier 1550——1617）。
2．代数方程式论。18 和19 世纪,代数学处理的主要问题是一元n 次方程的求
根问题.人们试图遵循三、四次方程求解方法的思路去寻求五次以上方程的解法，
但都遭到失败，以致在17，18 世纪期间代数学处于沉寂的状况。这个时期的一
个重要成果是吉拉尔（Albert Girard 1590——1633）于1629 年提出的代数基本
定理，但他没有给出证明。证明是200 年后高斯给出的。
一元高次方程是一个较难的课题。在这个课题屡遭挫折的同时，数学家们在
较容易的多元线性方程组的研究中取得了进展。苏格兰数学家麦克劳林
（Maclaurin Colin 1698——1746）和日本数学家关孝和（1642——1708）分别提
出了行列式的概念。瑞士数学家克莱姆（Cramer Gabriel 1704——1752）在1750
年研究如何由一条代数曲线上已知点的坐标来确定该曲线方程的系数时，给出了
n 元联立线性方程组的公式，即克莱姆法则。这样，线性代数就诞生了。
阿贝尔的发现。1824 年，天才的挪威数学家阿贝尔（Abel Niels Henrik 1802
——1829）证明了：如果方程
1
+ 1
+ + =
?
n
n n
x a x a
的次数n ≥5，并且系数a a an
, , , 1 2 看成是字母，那么任何一个由这些系数组成
的根式不可能是方程的根。
原来一切伟大的数学家三个世纪以来用根号去解五次或更高次数的方程所
以不能成功，其原因是这个问题根本没有解。
然而这并不是问题的全部，代数方程的理论的最美妙之处仍然留在前面。问
题在于有多少种特殊形式的方程能用根式求解，而这些方程又恰恰有多方面的应用。例如，二项方程x a
p
= 就可用根式求解。于是，用根号解方程的问题在新的
基础上提出来了：找出方程能用根号解出的充分与必要的条件。
伽罗瓦理论。这个问题是由天才的法国数学家埃. 伽罗瓦（E.Galois 1811——1832）解决的。他在21 岁时与人决斗而死。决斗前夜，他写了绝笔信，整理了他的数学手稿，概述了他得到的主要成果。
他的最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程
的问题：
给出了方程能用根号解出的充分与必要的条件。
而且由此发展了一整套关于群和域的理论。为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。3．代数系统。19 世纪早期发生在代数学的革命是，远离计算，朝着数学基
础结构的识别和使用的方向发展。从根本上说，任何一个数学体系都是一种逻辑结构，对这些结构进行研究才是理解数学体系本身的最直接的方法。因此，代数学的核心研究对象不应当是代数方程，而应当是各类代数系统。这些研究为代数学在19 世纪末向近代发展转移开辟了道路,而近代发展阶段是对以前各孤立的代数学概念在共同的公理基础上进行提炼.这样,第三个关于代数是什么的观念是，
代数的目的是研究各种代数系统，这就是公理化的抽象的代数。重要之点仅仅是，在所考虑的系统里运算满足什么样的公理。有趣的是，这样的代数系统无论就数5 学本身或它的应用都具有巨大的意义。
4. 代数沿着两条轨道前进。计算机诞生后，人类的计算能力大大提高，过去
无法实现的计算，现在都变得轻而易举了。这对工业和技术尤其重要。从而，使当代代数学沿着两条轨道前进。一条是走向更高层的抽象理论。另一条是走向更具体的计算方法。
§3。符号代数的发展.
微积分诞生前的两个重大事件是，符号代数的发展和解析几何的诞生。
在学习代数时我们会觉得与几何学不同，代数是一门高度符号化的学科。在
代数中充满了各种符号。例如，加号，减号，乘号，除号，等号，以及表示未知
量的x, y, z ，表示已知量的a, b, c ，等等。但是，很少人知道，这些符号表示法仅仅有四百多年的历史，实际上大多数符号的出现还不到四百年。
事实上，代数符号化的过程经历了三个阶段：文字阶段，简写阶段和符号阶
段。
符号阶段。16 世纪引进符号体系的压力来自迅速发展的科学对数学家提出
的要求。引进符号体系是代数学的一个根本性的进步。事实上，由于采用了这一步，才使代数成为一门科学。
我们在这里把部分数学符号和表示法使用的情况列成一个表以供参考：
运算与关系符号使用者时间
方根R Fibonacci(意大利) 1202
加，减p,m L.Paciolli(意大利) 1494
加，减+,- J.Widman(德国) 1489
减~ W.Oughtred(英国) 1631
等于= R.Recorde(英) 1557
等于~ VIeta(法) 1591
等于∝Descartes(法) 1637
乘×W.Oughtred 1631
乘·W.Oughtred 1631
比例: : W.Oughtred 1631
除÷J.H.Rahn(瑞士) 1659
大于，小于>,< T．Harriot（英）16 世纪
根号 C.Rudolff(奥地利) 16 世纪
根号n
A.Girard(荷兰) 16 世纪
乘幂n
a
N.Chuquer(法) 1484
指数 3
a
aaa T．Harriot（英）16 世纪
指数 3
a
a3 P.Herigone(法) 1634
指数x
a
x
a
Descartes(法) 16376
已知数
未知数
a,b,c,…
x,y,z,…
Descartes(法) 1637
虚数单位?1
i Euler 1777
圆周率πEuler 1737
积分符号∫Leibniz(德国) 1675
微分符号dx Leibniz 1675
韦达（1540—1603）是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他不仅用字
母表示未知量和未知量的乘幂，而且用来表示一般的系数。他严格区分了已知量与未知量，他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。
韦达规定了算术和代数的分界。他说，代数是施行于事物的类或形式的运算
方法，而算术是同数打交道的。这样代数就成为研究一般形式和方程的学问。
韦达通过使用字母来表示不同类型的对象，这实际上是发现了一种新的语
言，这种语言能够用于表示所有类型的逻辑关系。尤其是，他找到了一种能够用于研究点、线、面、体和其他几何对象之间关系的语言，这对解析几何与微积分的诞生是必要的前奏。
笛卡儿改进了韦达的方法，他在1637 年用字母表中的字母a,b,c 等表示已知量，用字母表中的字母x, y, z 等表示未知量，这就是我们目前仍然采用的惯例。莱布尼茨的名字在符号史上是必须提到的。他对各种记法进行了长期研究，
试用过一些符号，征求过别人的意见，然后选取他认为最好的符号。他清楚地认识到，好的符号可以大大地节省脑力劳动。微积分中使用的符号是莱布尼茨引进的。
欧拉对数学的符号化也做出了重大贡献。他采用 f (x)作为函数的符号，用e
表示自然对数的底，用∑作为级数中的求和号。
符号化的主要优点是什么呢？
首先，它节省并帮助数学家进行思维，大大地促进了数学的发展。事实上，
数学符号诞生后，数学发展的速度空前加快了。
其次，符号是交流和传播数学思想的媒介。这就使得数学很快深入到其他科
学领域。而且，仅仅依靠符号的使用，而无需复杂工具和昂贵仪器，数学就能得到广泛的发展，这是其他领域做不到的。
第三，引进符号，在一般意义下处理参数，就能使我们把注意力集中到一般
解法，而不是具体的解本身，集中到考虑不同问题之间的联系，强调的重点从特殊过渡到一般。这个转变，对于促进微积分所特有的算法的产生，是一个必不可少的因素。
数学语言与通常的语言有重大的区别，它把自然语言扩充，深化，而变为紧
凑、简明的符号语言。这种语言是国际性的,它的功能超过了普通语言，具有表达与计算两种功能。物理学家赫兹说：“我们无法避开一种感觉，即这些数学公式自有其独立的存在，自有其本身的智慧；它们比我们还要聪明，甚至比发明它们的人还要聪明；我们从它们得到的实比原来装进去的多。”
数学语言具有单义性、准确性和演算性。
俄罗斯教材《代数引论》的启迪
俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿） 庄瓦金 （漳州师范学院，福建，363000） 二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有 A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。 一《引论》的特色 稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。 1 继承性 [1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，同年当选为苏联科学院通讯院士，1977－1980任莫斯科大学数学系主任，1991年起为莫斯科大学学术委员会成员，他的《引论》理所当然地继承了А.Г.库洛什等老一辈代数学家的代数教材，这还从[3~5]的补充文献也得到进一步证实。 在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与N.Jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。 值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估计第一卷也是2001年出版，也就是说：这三卷本是在著者去世之后出版的。记得Φ.Ρ.甘特马赫尔的《矩阵论》俄文第二版也是在著者去世后出版的。看来，这里说的继承性是莫斯科学派集体继承性，这是多么伟大的继承性，它体现了俄罗斯数学家的优良品格。 2 整体性 《引论》的特色不仅在于教材的系统性，更在于教材的整体性。首先是代数科学的整体性，中国的高等代数与抽象代数两门课程，在[3~5]中则整合为一，使整个代数教材的水平提高了一个层次，让学生尽早接触抽象代数思想，推进了学生对代数结构的理解。这显然对于学生的整个数学学习大有好处。其次是数学课程的整体性，《引论》第一卷的前言一开头就写到：“人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中。而教科书《代数学引论》自出版后的22年来可以看作是这种统一处理的初步考试。”因此，《引论》突出了代数与几何的统一；同时也注意了与分析的联系，特别是注意到了线性代数的两大后继课程：计算数学与泛函分析，这不仅在教材中有交代，而且在基本术语上相一致，如“线性变换”称为“线性算子”。再次是数学语言的整体性，在[1]中，著者就注
代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案(可编辑修改word版)
第一章代数基本概念 1.如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明: 对任意 a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群 G 为交换群. 2.如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1] 对任意 a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2] 对任意 a,bG, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知 G 为交换群. 3.设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由 ab=ac 推出 a=c; 1
(3)由 ac=bc 推出 a=b; 证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1] 设 G={a1,a2,…,a n},k 是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有 再由乘法的封闭性可知a k a i a k a j<1> a i a k a j a k<2> G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n} <3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k} <4> 由<1>和<3>知对任意 a t G, 存在 a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意 a t G, 存在 a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法 2] 为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元(单位元)，并且证明G 内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,a n}. (Ⅰ) 证明 G 内存在幺元. <1> 存在 a t G，使得 a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明 a1a t= a t a1; 因为 2
高中牛津英语模块6-unit1-Reading
Stand up for your health ! People have always enjoyed laughing ,and there has always been humour .One favourite type of comedy is called is a kind of comedy that is done on a stage by a comedian talking straight to audience members .A stand-up comedian may tease an audience member,or might decide to tell different jokes depending upon how the audience reacted to his or her previous jokes . Types of stand-up There are a variety of different styles of stand-up comedians tell jokes about the way people behave or about daily example,they may talk about how people act when they queue they may ask why it only rains when you forget your umbrella. Other comedians rely on visual humour may be inspired by example,one comedian uses a huge hammer to break watermelons while he makes jokes about what he is comedian points to a video tennis game and says , ‘I’ve been playing tennis every day for a month. I don’t understand why I am not losing weight!’Yet other comedians may trip over chairs,walk into doors, and fall down on stage in order to make people kind of absurd humour is not very funny if you are only listening and not watching the comedian’s last kind of comedian does impressions-he or she will act or speak like a
牛津高中英语模块六Unit 3 Welcome的教学设计
牛津高中英语模块六Unit 3 Welcome的教学设计 教材：牛津高中英语(模块六)高二上学期 文档内容：教学设计—教案 单元：Unit 3 Understanding each other 板块：Welcome to the unit 作者：肖英（沅江三中） 教材分析 本节课主要内容是通过看图说话帮助学生理解中外文化差异。 学情分析 学生对汉语语言文化有一定的了解，而对外国文化的理解还有待提高 本课的设计意图：本节课是以说和读为主的单元热身课，用一课时的时间来激活学生与单元话题（文化差异）有关的已有知识以便导入课文教学。运用图画以及与图画有关的提示语，激发学生对话题的兴趣，引导学生运用已有知识进行相关话题的讨论。由于课本上的信息量不大，学生对各国的文化差异并不是很了解，所以通过阅读短文来增加信息量，为下一步的学习做好充分的热身准备，从而调动学习的积极性。同时要注重德育教育，引导学生学会尊重文化差异。 Teaching aims Help the students learn how to talk about cultural differences and customs. Teaching important and difficult points Enable the students to talk about cultural differences and understand the use of examples. Teaching methods Discussion, reading and cooperative learning. Teaching aids A computer and a projector Teaching procedure and ways Step 1 Greetings and lead-in Greet the class as usual。 Get the students to show different ways of greeting they know. And then discuss some other ways of greeting and the ways of greeting. Finally, get the students tell some other customs that are different in different parts of the world. As we all know, different countries have different cultures and customs. Look at the Quiz on the screen please, let’s know
代数学引论第一章答案
1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,b错误！未找到引用源。G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b错误！未找到引用源。G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,b错误！未找到引用源。G, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群. 3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由ab=ac推出b=c; (3)由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a 1,a 2 ,…,a n },k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i错误！未找到引用源。j(I,j=1,2,…,n),有 a k a i 错误！未找到引用源。a k a j ------------<1> a i a k 错误！未找到引用源。a j a k ------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a 1,a 2 ,…,a n }={a k a 1 , a k a 2 ,…, a k a n }------------<3> G={a 1,a 2 ,…,a n }={a 1 a k , a 2 a k ,…, a n a k }------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t 错误！未找到引用源。G, 存在a m 错误！未找到引用源。G,使得 a k a m =a t . 由<2>和<4>知对任意a t 错误！未找到引用源。G, 存在a s 错误！未找到引用源。G,使得 a s a k =a t . 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.
代数学引论(丁石孙)_第一章答案
代数学基础学习笔记
第一章 代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明:
对任意 a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到 ba=ab,
由此可见群 G 为交换群.
2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1]
对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2]
对任意 a,b G, a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知 G 为交换群.
3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 b=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]
设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有 akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2>
再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3>
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模块六unit1 reading
牛津高中英语教学设计 —— M6 U1 Reading: Stand-up for your health 教材版本、章节、学科、年级：《牛津高中英语》模块六高二上学期第一单元的 阅读Stand-up for your health 一、教学目标 知识目标 了解文中单口喜剧和主人公Billy Crystal的有关信息。 能力目标 培养学生联系上下文的语境来猜测词义；把握文章内容结构和整体框架的能力。 人文目标 引导学生意识到Laughter 的重要性，并以此为基点拓展对健康话题的认识，帮助学生以 良好的心态和积极的方式去学习和生活。 （教学目标）： 1. Grasp the main topics of the three sections---types of stand-up, a famous comedian and the fact that laughter is good for your health. 2. Learning English by talking about their own opinions when it comes to the topic “Laughter is the best medicine”. 3. Gain some knowledge about stand-up comedy and reinforce their reading comprehension. 4. Improve reading ability---how to guess the meanings of new words. 二、教学内容及重点难点： 本设计选取的是牛津高中英语模块六第一单元的阅读课文，它具有如下特点： 第一：就体裁而言，本文是说明性文章，介绍的是西方流行的单口喜剧和著名单口喜剧演员Billy Crystal 。因此，教学过程中应引导学生获取与主题相关 的基本信息。 第二：就内容而言，单口喜剧来源于西方，不同于中国的相声，小品或滑稽戏，同学对此比较陌生，所以教学内容的重点之一就放在单口喜剧的分类和识别 上。另外; 通过对Billy Crystal的身份，能力和流行度的归纳来帮助学生加强 对主人公的认识。本文第三板块的主旨是Laughter is good for your health， 采用讨论的方法拓展了同学对主题的理解并深化了主题。 第三：就结构而言，本文段落清晰。因此，教学过程中应该引导学生体会和理解这种结构来运用到写作和演讲的实践中。 Important points（重点）： 1 Understand the structure of the whole passage. 2 Understand the definition of stand-up as well as its type 3 Get to know Billy Crystal 4 How to guess the meaning of unknown or unfamiliar words Difficult points（难点）: 1.To develop the students’ reading skills. 2.To make sure that everyone understand the article well 3.To help the students guess the meaning of the words correctly 4.To practice laughter is the best medicine in our daily life
牛津英语模块6Unit_3
模块六Unit Three Understanding each other 一. 根据首字母或汉语提示完成句子 1. It is estimated that about 11.500 athletes from all over the world will p________ in the 2008 Beijing Olympic Games. 2. When you come to a new country, special attention should be paid to cultural d____ 3. The British people love to decorate Christmas trees and hang up evergreen branches on Christmas Day while Chinese people tend to have a large banquet in c________ of Spring Festival. 4. When planting flowers, try to choose n____ species. They will be easier to survive. 5. Dr. Smith is from Australia. It’s no wonder he speaks with a strong Australian a_________. 6. The two major parts in a research project include gathering data and a _____ data. 7. The cold is u___________. Yesterday it was 29℃,but today the temperature drops to only 10℃. 8. He had some difficulty a______________ himself to the new conditions on his first visit to London last fall. 9. If you want any f____________ explanation, you’d better ask the manager. 10. Mary decided to explore in the forest on her own. Yet her parents were both c___________ for her safety. 11. It can be quite ________________(令人尴尬的)to take a stranger for your friend and say hello to him or her while he or she makes no response. 12. Many cars________（属于）to local people were destroyed in the storm last month. 13. In England, it isn’t the Queen reigns but elected representatives of the people that _____________(统治)the country. 14. As____________（少数）voted in favor of the new law, it wasn’t passed at last. 15. When the bomb exploded, the spot was in a terrible mess, so nobody could give the report a full____________（叙述）of it. 二. 根据课文完成短文 People can often experience ____1_____differences. For example, the Americans are ____2____talking about Thanksgiving Day and the huge turkey they eat. They get quite excited whenever it ____3____to this topic. However, some British people don’t even know what Thanksgiving is held in ____4____of .It is OK for the British to open the presents as soon as they receive them. But it is____5____ to do so in the East. Even though there are ____6____between wedding traditions in the west, there are also differences between different Western countries. In the UK, the guests are ____7____to give presents to the newly-weds, but in Italy, the newly-weds are supposed to give their guests presents. Besides, in many countries, people point ____8____their first finger. But people from Brunei use their thumb____9____. Foreigners have to ____10____themselves to that, or it will be quite rude. So, it is a good way to learn about cultural differences to understand more about each other.
牛津高中英语模块六第一单元的教学设计
牛津高中英语模块六第一单元的教学设计 Laughter is good for you Reading: Stand up for your health Made by Zhang Chunkai Period 2 Background information Students’ number: 58 Duration: 45mins Teaching aids PPT, projector, textbook, whiteboard marker Teaching objectives 1.Students will be able to grasp and use new words and expressions. 2.Students will be able to write a story using the words learned. Teaching contents 1.Students will be able to understand and use “tease, toy with, make fun of, make up, behave, one such, have affection for, live, follow in one’s footsteps, have effect on, prove, react to, whatever the reason”. 2.Students will be able to write a story using the words learned. Teaching methods Students-based Teaching procedures Step one: Check the homework ☆Task one: check the homework in page 4 ( ) tease A connected with the practical use of machines ( ) behave B an official organization that encourages and develops art, literature, science, etc. ( ) visual C make a loud cry when you are in pain, angry, excited, etc. ( ) academy D doing things in certain way ( ) technical E make somebody laugh or smile ( ) howl F of or connected with seeing or sight ( ) amuse G laugh at and make jokes about someone in a friendly way. (keys: G, D, F, B, A, C, E) 【设计意图】通过检查学生作业使学生立即进入上课状态。同时为下面讲解知识点做好铺
代数学引论(聂灵沼-丁石孙版)第一章习题答案
代数学引论(聂灵沼-丁石孙版)第一章习题答案
第一章代数基本概念 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
再由乘法的封闭性可知 G={a 1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}. (Ⅰ) 证明G内存在幺元. <1> 存在a t G，使得a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明a1a t= a t a1; 因为 a1(a t a1)a t=(a1a t) (a1a t)=(a1)2 a1(a1a t)a t=(a1a1)a t=a1(a1a t)= (a1)2, 故此 a1(a t a1)a t= a1(a1a t)a t. 由条件(1),(2)可得到 a1a t= a t a1. <3> 证明a t就是G的幺元; 对任意a k G, a1(a t a k) =(a1a t)a k=a1a k 由条件(2)可知 a t a k=a k.
(完整版)代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案
第一章代数基本概念 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群. 3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由ab=ac推出a=c; (3)由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有 a k a i a k a j------------<1> a i a k a j a k------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}.
牛津译林版高中英语选修模块六 Module6 Unit3 Reading教案-新版
Module6 Unit3 Reading教案 Objectives: 1.To help Ss get a general idea about the text. 2. To make Ss become familiar with the detailed information about the text. 3. To help Ss master Reading Strategy. Teaching important points: 1.How to make the students understand the passage better. 2.How to help the students finish all the exercises. 3.How to help the students develop their creative, comprehensive and consolidating abilities. Teaching aids: multimedia and blackboard Interaction Patterns: Teachers -class, individuals, pairs Procedures for teaching: Step 1: Lead-in Many people like chatting on line, especially you students. You must have many e-pals. What do you think of online chat? Do you think it is really a good way to know more things and make more friends? Have you ever experienced any funny things or awkward situations when chatting with your cyber friends? Now, we will read an Internet chat room conversation. Surely you will know all about these after you read it. Sometimes online chat does benefit us a lot. Step 2: Fast reading for general ideas Go through the passage as quickly as possible and try to find answers to the three questions in part A on Page34. Just focus on and identify the information needed to answer these questions. Step 3: Detailed reading for important information. 1. Let’s read the passage again and complete Parts C1 and C2 on page 36.
代数学引论近世代数第一章答案-精品文档
第一章代数基本概念 习题解答与提示(P54) 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,b G, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群.
3. 设G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac 推出a=c; (3) 由ac=bc 推出a=b; 证明G 在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a 1,a 2,…,a n },k 是1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有 a k a i a k a j ------------<1> a i a k a j a k ------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a 1,a 2,…,a n }={a k a 1, a k a 2,…, a k a n }------------<3> G={a 1,a 2,…,a n }={a 1a k , a 2a k ,…, a n a k }------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m =a t . 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k =a t . 由下一题的结论可知G 在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明G 内存在幺元(单位元)，并且证明G 内每一个元素都可逆即可.
代数学引论答案(第一章)
1.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. 2.证明:群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射. 证明:(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射. 由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为, 并且群G为一个交换群,可得.因此有. 综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射. (Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群. 若映射是一同构映射,则对任意有, 另一方面，由逆元的性质可知. 因此对任意有, 即映射是一同构映射,则群G为一个交换群. 3.设n为一个正整数, nZ为正整数加法群Z的一个子群，证明nZ与Z同构. 证明: 我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构. 4.证明:在S 4 中，子集合B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}是子群，证明B与U4不同构. 证明:可记a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下： 由该表格可以知道B中的元素对置换的乘法封闭，并且B的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此B为S 4 的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群. 假设B与U 4同构,并设f为B到U 4 的同构映射, 则存在B中一元x使得f(x)=i(i为虚数单位),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1 另一方面, f(x2)=f(e)=1(注意x2=e),产生矛盾.所以假设不成立, 即B与U 4 不同构. [讨论] B与U 4 都是4元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.
牛津高中英语模块六Unit 1-4语言点
牛津高中英语模块六语言点 Unit 1 Laughter is good for you 一、Reading 1. stand up for sth: 支持，维护…… We should strive to stand up for our right. 2. stage: n. 舞台，阶段，时期 be on the stage: 在舞台上；当演员，登台表演 go on the stage: 上舞台，当演员 on stage: 在舞台上 at a early stage: 在早期 ① One minute on the stage and ten years of practice off the stage. ② She wanted to go on the stage from an early age. 他从小就相当演员。 ③ We watched them from afar, and admired them only on screen and on stage. 我们远远的注视他们，只能通过荧屏或舞台钦慕他们的风采。 ④ The babies develop quickly at an early stage. 3. variety: n. (1) 变化，多样性[U] a life lacking variety. (2) 种类，各种各样 a variety of sth: 各种各样的 varieties of sth: ① He left for a variety of reasons. ②In the green grocers’ there are varieties of greens. 菜市场里有各种各样的蔬菜。 ③ The varieties of goods in this supermarket are rich. 4. behave well / badly: 行为表现好∕坏 behave oneself: 行为表现好 ① He behaves badly all the time. ② Children, please behave yourself. 5. tease sb / make fun of sb: 取笑，嘲弄 Don’t take what he said seriously, she is just teasing you. 别拿他的话当真，他只是在取笑你。 6. trip over sth: 被……绊倒 trip sth (up): 绊倒…… ① She tripped over a cat and fell down. ② He tried to trip me but in vain. 7. get one’s start: 挣得第一桶金 howl with laughter: 哈哈大笑 He got his start in the business and howled with laughter. 8. have affection for sth: 喜爱，钟爱 He has great affection for his work. 9. later on: 后来，过些时候 10. such: adj. 那样的，这样的，如此的 such与数词或不定代词any，some，all，no等连用时放在它们之后；与不定冠词连用时，放在不定代词之前。例如： ① There is no such thing as a free lunch. ② You gave me such a flight. 11. live: adj. & adv. 现场直播的∕地