全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习
一、知识网络
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?对应角相等
性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用
边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理 （一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
《
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；
(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
.
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找
全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
{
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
）
①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
（三）经典例题
例1. 已知：如图所示，AB=AC，，求证：.
例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。
例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。
】
例4. 如图所示，，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且
求证：BD=CE。
【
例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180。
求证：AE=AD+BE
分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出ADC≌AFC，问题就可以得到解决。
证明（一）：
在AE上截取AF=AD，连结FC。
在AFC和ADC中
()()
()
AF AD AC AC =∠=∠=????
???已作已知公共边12 !
∴AFC ≌ADC （边角边）
∴∠AFC=∠D （全等三角形对应角相等） ∵∠B+∠D=180（已知）
∴∠B=∠EFC （等角的补角相等）
在CEB 和CEF 中
()()()∠=∠∠=∠=?=?????
??B E F C C E B C E F C E C E 已证已知公共边90 —
∴CEB ≌CEF （角角边）
∴BE=EF
∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE （等量代换） 证明（二）： 在线段EA 上截EF=BE ，连结FC （如右图）。 小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。 （四） 全等三角形复习练习题
.
一、选择题
1．如图，给出下列四组条件：
①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）
3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出
APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD =
B ．A
C A
D = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠
.
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．58° ！
1题图 2题图 (
4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )
(A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF
5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )
A ．10cm
B ．8cm
C ．6cm
D ．9cm
6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处
`
>
4题图 5题图
7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 ]
么最省事的方法是（ ）A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①②③去 8．如图，在Rt ABC △中，
90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知
10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）
A ．
30 B ．
40 C ．
50 D ．
60 9．如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40°
10．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）
C
A
D
P B
图（四）
E
D
C
B
A
④
①{
③
6题图
￥
A ．A
B 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB 1题图
C ．AB 与C
D 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB
》
}
8题图 10题图
11．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于
1
2
CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，
由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ）A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS
12.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D 到AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定
,
13．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP
14.如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠
11题图 12题图 ？
二、填空题
1.如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）_______________．
2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________
3.如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．
4.如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。
A
D
C
E
B 8题
A B C
D
7题图
A
B
C
D
A B # D 14题图
C
A
B
B ' A '
13题图 B A ：
O P
A B
^
1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 有 个 ．
[
[
6.已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.
7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
8.如图所示，AB = AD ，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE ，则需要添加的条件是________.
、
第1个第2个
第3个
$
E
B
D
O
{
B
D
E
D
）
C
B
A
A
B C
D E
Q
P
O
B
E
D C A
6题图 7 题图 8 题图
三、解答题 1.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE.
$
2.如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．
\
3.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .
…
~
4.如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
|
O
C
E
B
D
A
E D
A A '
@
5.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．
（1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．
—
、
6.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠． 求证：（1）ABC ADC △≌△；（2）BO DO =．
/
7．如图，在ABC △和ABD △中，现给出如下三个论断：①AD BC =；②C D ∠=∠； ]
B C
A D
M
C
B
A
-
1 2
4
③12∠=∠
．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． （1）写出所有的真命题（写成“
?
???
”形式，用序号表示）
： ．
（2）请选择一个真命题加以证明．
你选择的真命题是：?
???
．
证明：
/
8.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．
、
<
9．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线
于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．
求证：BD =2CE ．
<
2
1
Ａ
Ｃ
Ｄ
:
Ｂ
F E D
A
10.如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．
。
11．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．
|
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角
形．（直接写出结果，不要求证明）：
！
12．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．
（1）求证：MB =MD ，ME =MF
（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
O
E
D C
B
A |
D C
A
郜
E
@
13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF
求证：（1）DF∥CE （2）DE=CF A
D F
E
14.如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系试证明你的结论15.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．
16.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．
B
E
17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90o，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE．
１8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗证明你的结论。
19．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交
于点O．试说明AE+CD=AC．．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC
的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．
20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.
求证：AF=AD+CF。
１４．已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,AE 是过点A 的一条直线，且BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E,(1)当直线AE 处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE 处于如图②的位置时，则BD,DE,CE 的关系如何请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE 之间的关系。
A F
C
E
D B
C
E
A
D
B C