2015年中考数学一模试卷(12月份)

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．计算（﹣）﹣1=（）

A．﹣B．C．﹣2 D．2

2．下列各数中，为不等式组的解的是（）

A．﹣1 B．2 C．0 D．4

3．下列图形是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y=﹣x上B．直线y=x上C．双曲线y=D．抛物线y=x2上

5．如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）

A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．三户一样长

6．在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则cosA=（）

A．2 B．C．D．

7．如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b的值为（）A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16

8．某工厂现在平均每天比原计划多生产30台机器，现在生产500台机器所需时间与圆计划生产350台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，下面所列方程正确的是（）

A．B．C．D．

9．如图，等边△ABC的边长是2，内心O是直角坐标系的原点，点B在y轴上．若反比例

函数y=（x＞0），则k的值是（）

A．B．C．D．

10．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∠APB=50°，C是⊙O上一点，则∠ACB 的度数为（）

A．50° B．55° C．60° D．65°

11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．

A．6 B．7 C．8 D．9

12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣3，0），（x1，0），且2＜x1＜3，与y轴的负半轴交于点（0，﹣3）的上方．下列结论：①a＞b＞0；②6a+c＜0；③9a+c＞0；

④3a＜b+1．其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．分解因式：a3b﹣2a2b2+ab3=．

14．在一个不透明的袋子中，有3个白球和1个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率

为．

15．已知2a+2b+ab=，且a+b+3ab=，那么a+b+ab的值．

16．如图，从点A（0，2）出发的一束光，经x轴反射，过点B（3，4），则入射点C的坐标是．

17．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC=

m2．

18．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（y+1，﹣x+1）叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2，点A2的影子点为A3，点A3的影子点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点A n均在y轴的右侧，则a，b应满足的条件是．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．

20．某中学拟组织学生开展唱红歌比赛活动．团委对初四一班会唱红歌的学生人数进行了统计（A：会唱1首；B会唱2首；C：会唱3首；D：会唱4首以上），并绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）在条形统计图中，将会唱4首以上的部分补充完整．

（2）求该班会唱1首的学生人数占全班人数的百分比．

（3）在扇形统计图中，计算会唱3首的部分所对应的圆心角的度数．

（4）若该校初四共有350人，请你估计会唱3首红歌的学生约有多少人？

21．某工厂一种产品2013年的产量是300万件，计划2015年的产量达到363万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．

（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；

（2）2014年这种产品产量应达到多少万件？

22．如图，山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

23．（10分）（2015?乳山市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求证：BD2=AB?CE．

24．（12分）（2015?乳山市一模）如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD 的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．（1）求证：PA=PE；

（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；

（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE

的比值．

25．（12分）（2015?乳山市一模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，

已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．

（1）求B，C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．

2015年山东省威海市乳山市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．计算（﹣）﹣1=（）

A．﹣B．C．﹣2 D．2

考点：负整数指数幂．

分析：根据负指数的意义：负指数具有倒数的意义，计算即可．

解答：解：．

故选C．

点评：本题主要考查的是负指数的意义：负指数具有倒数的意义，即（a≠0，n 为正整数）．

2．下列各数中，为不等式组的解的是（）

A．﹣1 B．2 C．0 D．4

考点：解一元一次不等式组．

分析：首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．

解答：解：，

由①得：x＜4，

由②得：x＞，

不等式组的解集为：＜x＜4，

故选：B．

点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法以及不等式组的解，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

3．下列图形是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

考点：中心对称图形．

分析：根据中心对称图形的概念求解即可．

解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选B．

点评：此题考查了中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形概念，属于基础题．

4．在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y=﹣x上B．直线y=x上C．双曲线y=D．抛物线y=x2上

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．

分析：分别根据一次函数、反比例函数及二次函数图象上点的坐标特点进行分析即可．解答：解：A、若此点坐标是（0，0）时，在直线y=﹣x上，故本选项错误；

B、若此点坐标是（0，0）时，在直线y=x上，故本选项错误；

C、因为双曲线y=上的点必须符合xy=1，故x、y同号与已知矛盾，故本选项正确；

D、若此点坐标是（0，0）时，在抛物线y=x2上，故本选项错误．

故选C．

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

5．如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）

A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．三户一样长

考点：生活中的平移现象．

专题：探究型．

分析：可理解为将最左边一组电线向右平移所得，由平移的性质即可得出结论．

解答：解：∵a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，

∴将a向右平移即可得到b、c，

∵图形的平移不改变图形的大小，

∴三户一样长．

故选D．

点评：本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．

6．在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则cosA=（）

A．2 B．C．D．

考点：锐角三角函数的定义．

分析：根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角三角函数的定义，可得答案．

解答：解：设BC=x，AC=2x，

由勾股定理得AB=x，

cosA===．

故选：B．

点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

7．如果a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b的值为（）A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16

考点：根与系数的关系．

专题：计算题．

分析：先根据根与系数的关系得到ab=﹣4，再把原式表示得到原式=a2?ab﹣2a?ab，利用整体代入的方法可化简得到原式=﹣4a2+8a，接着根据一元二次方程解的定义得到a2=2a+4，然后再次利用整体代入的方法计算即可．

解答：解：根据题意，ab=﹣4，

所以原式=a2?ab﹣2a?ab

=﹣4a2﹣2a?（﹣4）

=﹣4a2+8a，

∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的根，

∴a2﹣2a﹣4=0，即a2=2a+4，

∴原式=﹣4（2a+4）+8a

=﹣8a﹣16+8a

=﹣16．

故选C．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的定义．

A．B．C．D．

考点：由实际问题抽象出分式方程．

分析：设原计划平均每天生产x台机器，则实际每天生产（x+30）台机器，根据现在生产500台机器所需时间与圆计划生产350台机器所需时间相同，列方程即可．

解答：解：设原计划平均每天生产x台机器，则实际每天生产（x+30）台机器，

由题意得，=．

故选A．

点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

9．如图，等边△ABC的边长是2，内心O是直角坐标系的原点，点B在y轴上．若反比例

函数y=（x＞0），则k的值是（）

A．B．C．D．

考点：三角形的内切圆与内心；反比例函数图象上点的坐标特征．

专题：计算题．

分析：AC与y轴交于D，如图，连结OC，根据三角形内心性质得BD平分∠ABC，OC 平分∠ACB，再根据等边三角形的性质得BD⊥AC，AD=CD=AC=1，∠OCD=×60°=30°，接着在Rt△ODC中利用三角函数可计算出OD=，则C（1，），然后根据反比例函数

图象上点的坐标特征求k的值．

解答：解：AC与y轴交于D，如图，连结OC，

∵点O△ABC的内心，

∴BD平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∵△ABC为等边三角形，

∴BD⊥AC，AD=CD=AC=1，∠OCD=×60°=30°，

在Rt△ODC中，∵tan∠OCD=，

∴OD=1×tan30°=，

∴C（1，），

∵点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴k=1×=．

故选A．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．

10．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∠APB=50°，C是⊙O上一点，则∠ACB 的度数为（）

A．50° B．55° C．60° D．65°

考点：切线的性质．

分析：要求∠ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．

解答：解：连接OA，OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠AOB=360°﹣（90°+90°+50°）=130°，

∴∠ACB=∠AOB=65°．

故选D．

点评：本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出

∠AOB的度数和得出∠ACB=∠AOB．

11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．

A．6 B．7 C．8 D．9

考点：多边形内角与外角．

专题：应用题；压轴题．

分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．

解答：解：五边形的内角和为（5﹣2）?180°=540°，

所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，

如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，

360°÷36°=10，

∵已经有3个五边形，

∴10﹣3=7，

即完成这一圆环还需7个五边形．

故选B．

点评：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．

④3a＜b+1．其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：①首先根据二次函数的图象开口向上，可得a＞0；然后根据二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于点（﹣3，0），（x1，0），且2＜x1＜3，可得﹣＜﹣＜0，所以a＞b＞

0，据此判断即可．

②首先根据x=﹣3时，y=0，可得9a﹣3b+c=0，所以（6a+c）+（3a﹣3b）=0；然后根据a ＞b＞0，可得3a﹣3b＞0，所以6a+c＜0，据此判断即可．

③首先根据x=﹣3时，y=0，可得9a﹣3b+c=0；然后根据x=3时，y＞0，可得9a+3b+c＞0，据此推得9a+c＞0即可．

④首先根据x=﹣3时，y=0，可得9a﹣3b+c=0，则3a﹣b=﹣，进而得出答案．

解答：解：∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0；

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣3，0），（x1，0），且2＜x1＜3，

∴﹣＜﹣＜0，

∴a＞b＞0，

∴结论①正确；

∵x=﹣3时，y=0，

∴9a﹣3b+c=0，

∴（6a+c）+（3a﹣3b）=0；

又∵a＞b＞0，

∴3a﹣3b＞0，

∴6a+c＜0，

∴结论②正确；

∵x=﹣3时，y=0，

∴9a﹣3b+c=0；

∵x=3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，

∴（9a﹣3b+c）+（9a+3b+c）＞0，

∴9a+c＞0，

∴结论③正确；

当x=﹣3时，y=0，可得9a﹣3b+c=0，

则3a﹣b=﹣，

∵﹣3＜c＜0，

∴﹣＜1，

∴3a＜b+1，故④正确．

故选：D．

点评：此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a

与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．分解因式：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a﹣b）2．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

专题：因式分解．

分析：先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．

解答：解：a3b﹣2a2b2+ab3

=ab（a2﹣2ab+b2）

=ab（a﹣b）2．

故填：ab（a﹣b）2．

点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

14．在一个不透明的袋子中，有3个白球和1个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随

机摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为．

考点：列表法与树状图法．

分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸出白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答：解：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次都摸出白球的有9种情况，

∴两次都摸出白球的概率是：．

故答案为：．

点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15．已知2a+2b+ab=，且a+b+3ab=，那么a+b+ab的值．

考点：解二元一次方程组．

分析：把第二个方程左右同乘2得：2a+2b+6ab=﹣1，与第一个方程联立可解得ab的值，代入其一方程即可得a+b的值，即可得a+b+ab的值．

解答：解：∵已知2a+2b+ab=①，a+b+3ab=②，

∴②×2得：2a+2b+6ab=﹣1③，

则③﹣①得：5ab=﹣1﹣，解得ab=﹣，

把ab的值代入②式得：a+b=﹣+1=，

∴a+b+ab=﹣=．

故答案填：．

点评：本题考查了解二元一次方程，此题注意运用整体思想解题可简化运算．

16．如图，从点A（0，2）出发的一束光，经x轴反射，过点B（3，4），则入射点C的坐标是（1，0）．

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．

专题：跨学科．

分析：过B点作x轴的垂线与x轴相交于点D，由已知条件可以得到△OAC∽△DBC，从而得到OC和OA，CD，BD的数量关系，求出OC的长，进而求出C的坐标．

解答：解：过B点作X轴的垂线与X轴相交于点D，则BD⊥CD，

∵A点经过点C反射后经过B点，

∴∠OCA=∠DCB，

∴△OAC∽△DBC，

∴=，

∵A的坐标为（0，2），点B的坐标为（3，4），

∴OA=2，CD=OD﹣OC=3﹣OC，BD=4，

∴=，

∴OC=1，

∴点C（1，0），

故答案为：（1，0）．

点评：本题考查镜面反射的原理与性质、三角形相似的判定和性质，构造相似三角形是解决本题关键．

17．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC=4m2．

考点：等腰三角形的判定与性质；三角形的面积．

分析：延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，

S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．

解答：解：如图，延长BD交AC于点E，

∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，

∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（ASA），

∴BD=DE，

∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，

∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，

∴S△ADC═S△ABC=×8=4（m2），

故答案为：4．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，

S△BDC=S△CDE是解题的关键．

考点：规律型：点的坐标．

专题：新定义．

分析：根据“影子点”的定义依次求出A2，A3，A4，A5，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，然后根据y轴的右侧点的横坐标大于0列出不等式组求解即可．

解答：解：∵点A1的坐标为（a，b），

∴A2（b+1，﹣a+1），A3（﹣a+2，﹣b），A4（﹣b+1，a﹣1），A5（a，b），

…，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∵对于任意的正整数n，点A n均在y轴的右侧，

∴，，

解得0＜a＜2，﹣1＜b＜1．

故答案为：0＜a＜2且﹣1＜b＜1．

点评：本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“影子点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式

的符号．

考点：分式的化简求值；解一元一次不等式组．

分析：做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分化简为；再分别求出一元一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次不等式组的解集，依此分别确定x+1＜0，x+2＞0，从而求解．解答：解：

=，

不等式组，

解不等式①，得x＜﹣1．

解不等式②，得x＞﹣2．

∴不等式组的解集是﹣2＜x＜﹣1．

∴当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，x+2＞0，

∴，即该代数式的符号为负号．

点评：考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，本题的关键是得到化简后的分式中分子和分母的符号．注意分式的化简求值中，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．

（1）在条形统计图中，将会唱4首以上的部分补充完整．

（2）求该班会唱1首的学生人数占全班人数的百分比．

（3）在扇形统计图中，计算会唱3首的部分所对应的圆心角的度数．

（4）若该校初四共有350人，请你估计会唱3首红歌的学生约有多少人？

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析：（1）先求出全班总人数，再求出会唱4首以上的人数，补充条形统计图即可，（2）利用会唱1首的学生人数占全班人数的百分比=求解即可，

（3）利用会唱3首的部分所对应的圆心角的度数=360°×对应的百分比求解即可，

（4）利用会唱3首红歌的学生=总人数×会唱3首红歌的学生百分比求解即可．

解答：解：（1）全班总人数为18÷30%=60（人），

会唱4首以上的人数为：60﹣6﹣18﹣24=12（人），

补充条形统计图为：

（2）该班会唱1首的学生人数占全班人数的百分比为：×100%=10%；

（3）会唱3首的部分所对应的圆心角的度数为：×360°=144°；

（4）会唱3首红歌的学生约有：350×=140（人）．

点评：本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能正确的从统计图中获取信息．

21．某工厂一种产品2013年的产量是300万件，计划2015年的产量达到363万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．

（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；

（2）2014年这种产品产量应达到多少万件？

考点：一元二次方程的应用．

专题：增长率问题．

分析：（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是300（1+x），第二年的产量是300（1+x）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量．

（2）2014年的产量是300（1+x）．

解答：解：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则

300（1+x）2=363，

解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去），

答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．

（2）2014年这种产品的产量为：300×（1+0.1）=330（万件）．

答：2014年这种产品的产量应达到330万件．

点评：考查了一元二次方程的应用，本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析：首先作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，得出四边形BGEF为矩形，进而求出CF，EF，DE的长，进而得出答案．

解答：解：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，

∵CE⊥AE，

∴四边形BGEF为矩形，

∴BG=EF，BF=GE，

在Rt△ADE中，

∵tan∠ADE=，

∴DE=AE?tan∠ADE=15，

∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10，

∴BG=5，AG=5，

∴EF=BG=5，BF=AG+AE=5+15，

∵∠CBF=45°

∴CF=BF=5+15，

∴CD=CF+EF﹣DE=20﹣10≈20﹣10×1.732=2.68≈2.7（m），

答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知熟练掌握锐角三角函数关系得出CF 的长是解题关键．

23．（10分）（2015?乳山市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求证：BD2=AB?CE．

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出=，从而求得

BD?CD=AB?CE，由BD=AD，即可求得BD2=AB?CE．

解答：（1）证明：连接OD，如图，

∵AB为⊙0的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙0的切线；

（2）证明：∵∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，

∴△DEC∽△ADB，

∴=，

∴BD?CD=AB?CE，

∵BD=AD，

∴BD2=AB?CE．

点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．