高考数学二轮复习之专练二中档小题(六)
中档小题(六)
1．命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的充分而不必要条件．命题q ：函数y ＝|x －1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )
A ．“p 或q ”为假
B ．“p 且q ”为真
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真 2．(2013·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )
A ．0.2，0.2
B ．0.2，0.8
C ．0.8，0.2
D ．0.8，0.8
3．(2013·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x (π4≤x ≤π
2
)的最大
值为( )
A ．2
B ．3
C ．2＋ 3
D ．2－ 3
4．下列函数既是奇函数又在区间[－1，1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1|
C ．f (x )＝ln 2－x
2＋x
D ．f (x )＝12
(a x ＋a －
x )
5．(2013·东北三校联合模拟考试)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝1
4
处函数
f (x )与
g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )
A.14
B.12 C ．1 D ．4
6．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )
7．(2013·高考重庆卷)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.????233，2
B.????233，2
C.????233，＋∞
D.???
?233，＋∞ 8．(2013·高考天津卷)设函数f (x )＝e x
＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )
A ．g (a )<0 B ．f (b )<0 C ．0 D ．f (b ) 9．(2013·荆州市高中毕业班质量检查)已知y ＝f (x )是定义域为(1 2 ，＋∞)的可导函数，f (1) ＝f (3)＝1，f (x )的导数为f ′(x )，且x ∈(1 2 ，2)时，f ′(x )<0；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则不等式 组?????－2≤x －2y ≤12 f （2x ＋y ）≤1 所表示的平面区域的面积等于( ) A.15 B.3 5 C.12 D ．1 10．(2013· 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a . 若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^ C.b ^a ′ D.b ^ 12．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2 16 ＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 13．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝1，则AB 的长为________． 14．(2013·山西省上学期诊断考试)已知a 、b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过(0， 1)点，则1a ＋1 b 的最小值是________． 备选题 1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0，1)之间的距离的最大值为( ) A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－1 2．(2013·福建省质量检查)设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件： (1)?x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)?x ，y ，z ∈S 或x ≠y ，则xz ≠yz ，现给出如下论断： ①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝z . 其中正确论断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 4．(2013·高考广东卷)给定区域D ：???? ?x ＋4y ≥4， x ＋y ≤4，x ≥0， 令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ， (x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的 直线． 答案： 1．【解析】选D.当a ＝1，b ＝－1时，得命题p 假，由|x －1|－2≥0，得x ≥3或x ≤－1，知命题q 真． 2．【解析】选C.由程序框图可知：当a ＝－1.2时， ∵a <0，∴a ＝－1.2＋1＝－0.2，a <0， a ＝－0.2＋1＝0.8，a >0.∵0.8<1，输出a ＝0.8. 当a ＝1.2时，∵a ≥1，∴a ＝1.2－1＝0.2. ∵0.2<1，输出a ＝0.2. 3．【解析】选B.依题意，f (x )＝1－cos 2(π 4 ＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin(2x －π 3)≤1，此时f (x )的最大值是3. 4．【解析】选C.由奇函数和偶函数的定义可知，f (x )＝sin x 是奇函数，f (x )＝－|x ＋1|非 奇非偶，f (x )＝ln 2－x 2＋x 是奇函数，f (x )＝12(a x ＋a － x )是偶函数，故排除B ，D.由正弦函数的图象 可知，f (x )＝sin x 在区间[－1，1]上单调递增，排除A. 5．【解析】选A.由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12(14)－12＝a 1 4 ， 可得a ＝14，经检验，a ＝1 4 满足题意． 6．【解析】选C.点P 是单位圆上的动点，设∠AOP ＝α，则α＝l ，当α＝π 2 时，弦AP 的长度d ＝2>1，由选项的图可知，故选C. 7．【解析】选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 30°且小于等于60°，即tan 30° ＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43 3 8．【解析】选A.∵f ′(x )＝e x ＋1>0，∴f (x )是增函数．∵g (x )的定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x )＝1 x ＋2x >0，∴g (x )是(0，＋∞)上的增函数．∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0， ∴00，∴10，g (a )<0. 9．【解析】选D.依题意可知f (x )在(1 2 ，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，f (2x ＋ y )≤1，而f (1)＝f (3)＝1，则1≤2x ＋y ≤3，从而(x ，y )满足?????－2≤x －2y ≤12 1≤2x ＋y ≤3 ，不等式组所表 示的平面区域是一个矩形，从而其面积S ＝1. 10．【解析】选C.由(1，0)，(2，2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1 ＝2， a ′＝0－2×1＝－2. 求 b ^，a ^ 时， ∑i ＝1 6 x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58， x ＝3.5，y ＝13 6 ， ∑i ＝1 6 x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， ∴b ^ ＝58－6×3.5× 13 691－6×3.52 ＝57， a ^＝136－5 7×3.5＝136－52＝－13， ∴b ^ >a ′. 11．【解析】由所给的几何体的三视图可知，该几何体为长方体上挖去一个圆柱体的一 半，这样由所给的数据可知所求几何体体积为2×4×3－1 2×π×12×3＝24－3π2 . 【答案】24－3π 2 12．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线 的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44. 【答案】44 13．【解析】 由已知得AC →＝AD →＋AB →，BE →＝AD →－12 AB →， ∴AC →·BE →＝AD →2－12AB →·AD →＋AB →·AD →－12AB →2 ＝1＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝1＋12 |AB →|·|AD →|cos 60°－12|AB →|2＝1，∴|AB →|＝12 . 【答案】1 2 14．【解析】依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(2a ＋b )＝3＋(b a ＋2a b )≥3＋ 2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，因此1a ＋1b 的最 小值为3＋2 2. 【答案】3＋2 2 备选题 1．【解析】选A.直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝ 12a 2＋b 2＝2 2，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋（b －1）2 ＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2 ，∴当 b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2| 2 ＝2＋1. 2．【解析】选C.取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断． 3．【解析】由题意1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则1≤a 2≤q ≤a 2＋1≤q 2≤a 2＋2≤q 3，所以1≤a 2≤q 3－2，即q 3－2≥1，解得q ≥33，所以q 的最小值是3 3. 【答案】3 3 4．【解析】画出平面区域D (图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0，1)，取得最大值时的最优整数解为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线． 【答案】6