非线性方程组的数值解法
第7章非线性方程组的数值解法
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x
数值分析 第7章 非线性方程的数值解法..ppt;ppt
7.1 方程求根与二分法
7.1.1 引言 单变量非线性方程的一般形式 （1.1） f ( x) 0 其中 x R , f ( x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数 如果函数 f (x) 是多项式函数，即
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
xk
可得一个近似根的序列 x0 , x1 , x2 , xk ,,
2
9
且
x* xk (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1 , x * xk , k ln(b a ) ln 1
ln 2
（1.3）
(4) 要使
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
建立迭代公式 各步迭代的结果如下表
表7 3 k xk k xk
x1 2.375, x2 12.39.
xk 1 3 xk 1 (k 0,1,2,).
发散
如果仅取6位数字，
结果x7 与 x8 完全相同， 说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 0 1 .5 5 1.32476 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 1 1.35721 6 1.32473 x7 即为所求的根. 始点有关。
（1.2）
其中 a0 0, ai (i 0,1,, n) 为实数，则称方程(1.1)为 n 次代数方程.
超越函数 不能表示为多项式的函数
如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2 高次代数方程 超越方程
3
如果实数 x *满足 f ( x*) 0，则称 x * 是方程(1.1)的 根，或称 x *是 f (x)的零点. 若 f (x)可分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x),
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
1 4 0
非线性方程组的数值解法
x10=0; x20=0; k=0; while 1 k=k+1; x1k=(1+x20-0.1*exp(x10))/4; x2k=(x10-x10^2/8)/4; %雅克比迭代法 %x2k=(x1k-x1k^2/8)/4; %高斯-赛德尔迭代法 err1=abs(x1k-x10); err2=abs(x2k-x20); err=max(err1,err2); if err<=0.00000000005 break; end x10=x1k; x20=x2k; end
0.0000055305 0.0000001511 0.0000000041 0.0000000001
非线性方程组的数值解法
牛顿迭代法：根据求解非线性方程的牛顿迭代法，如果已经 k k T ，则 ,, xn 给出方程组 Fx 0 的一个近似根 xk x1k , x2 可把函数 Fx 的分量 fi x, i 1,2,, n 在 x k 处按多元函数泰 勒公式展开，取其线性部分做近似，得
(0.2325668498,0.0564514831) (0.2325670008,0.0564515487) (0.2325670050,0.0564515196) (0.2325670051,0.0564515197) (0.2325670051,0.0564515197)
0.0002023950
所以有
1 x φx 1 2 x1
0
T
取初值 x 代公式收敛。
T 0 x 0 , 0 附近 φx 1，所以迭 0,0 ，在
1 1 x 1 e 40 x2 2 1 1 x1 x2 4 16
第7章 非线性方程的数值解法
设 0为给定精 度要求，试确定分半次 数k 使
x* xk
ba 2k
由 于2k ， 两 边 取 对 数 ， 即 得
ba
k ln(b a) ln
ln 2
数值分析
18/47
§例1： 5.用2 二二分分法 求 法x3 4x2 10 0在[1,2]内 的 根 ，
要 求 绝 对 误 差 不 超 过1 102。 2
第七章 非线性方程的数值解法
数值分析
本章内容
§7.1 方程求根与二分法 §7.2 不动点迭代及其收敛性 §7.4 牛顿法 §7.5 弦截法
数值分析
2/47
本章要求
1. 掌握二分法基本原理，掌握二分法的算法 流程;
2. 掌握理解单点迭代的基本思想，掌握迭代 的收敛条件；
3. 掌握Newton迭代的建立及几何意义，了解 Newton迭代的收敛性；
27/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
不动点迭代的几个重要问题： 1、迭代格式的构造； 2、初值的选取； 3、敛散性的判断；☆ 4、收敛速度的判断。
数值分析
28/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
三.压缩映射原理（整体收敛性）
考虑方程x g( x), g( x) C[a, b], 若
则f (x)=0在[a, b]内必有一根。
二. 过程
将区间对分，判别f (x)的符号，逐步缩小有根区 间。
数值分析
14/47
§7.1.2 二分法
三. 方法
取xmid=0.5*(a+b)
若f(xmid) < (预先给定的精度)，则xmid即为根。
否则，若f (a)*f (xmid)<0，则取a1=a，b1=xmid 若f (a)*f (xmid)>0，则取a1=xmid，b1=b 此时有根区间缩小为[a1, b1]，区间长度为 b1-a1=0.5*(b-a)
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。
非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。
因此，非线性方程组的数值解法非常重要。
非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。
最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。
牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。
拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。
非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。
不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。
此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。
总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。
Ch7 非线性方程与方程组的数值解法(2)
4 / 19
几何意义 Aitken 加速：
y y = g(x)
一般地有：
( x K 1 x K )2 ˆ xK xK xK 2 xK 1 xK 2
y=x
15 / 19
例 再求x 3 x 1 0在1.5附近的根x * .
解：依次用牛顿法 0 1.5，x0 0.6，简化牛顿法 0 0.6， x x 牛顿下山法 1，折半， 1 / 32，计算结果如下：
k 0 1 2 3 4 xk 1.5 1.34783 1.32520 1.32472 xk 0.6 17.9 发散 xk 0.6 1.140625 1.36181 1.32628 1.32472 f(xk) -1.384 -0.656643 0.1866 0.00667 0.0000086
x0 , x1 g ( x0 ), x 2 g ( x1 ), ˆ x 0 , x3 g ( x 2 ), ˆ x1 , x 4 g ( x3 ), ......
P(x1, x2) P(x0, x1)
ˆ x K 比x K 收敛得略快。
Steffensen 加速：
x x1 x* x2 x0
2 / 19
2 x1
2 x1x * x * x2 x0 x2 x * x0 x * x * ,
2 2
x1 x * x0 x * x2 x * x1 x *
2 2 2 x2 x0 x1 x2 x0 2 x0 x1 x0 x2 x0 x1 x* x0 x2 2 x1 x0 x2 2 x1 x0
非线性方程组数值解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
非线性方程与方程组数值解法
2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
数值分析第七章 非线性方程与方程组的数值解法0607)
一、二分法
3. 二分法的一个例题
例2 求x3 x 1 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到
小数点后2位.
k ak
bk
xk
f(xk)符号
0 1.0
1.5
1.25
−
1 1.25
1.375
+
2
1.375 1.3125
−
3 1.3125
1.3438
+
4
1.3438 1.3281
+
5
1.3281 1.3203
续，并且
(x*) (x*) ( p1) (x*) 0， ( p) (x*) 0,
只要相邻两次 计算结果的偏
|
xk
x* |
Lk 1 L
|
x1
x0
|
.
(2.5)
差足够小即可
保证近似值xk 具有足够精度
|
xk
x* |
1 1 L
|
xk 1
xk
|
.
(2.6)
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 局部收敛性
- 定义1 设(x)有不动点x*，若对任意x0∈{ x*
的某个邻域R}，迭代公式(2.2)产生的序列 {xk}∈R，且收敛到x*，则称迭代法(2.2)局部 收敛.
2). 存在正数L<1，使对任意x,y∈[a, b]都有
| (x) ( y) | L | x y |;
则(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*.
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 全局收敛的充分条件
- 定理2 设(x) 满足定理1中两条件，则对任意
x0∈[a, b]，迭代法收敛，并有误差估计式
非线性方程的数值解法
非线性方程的数值解法《计算方法》期末论文论文题目非线性方程的数值解法学院专业班级姓名学号指导教师日期目录摘要第1 章绪论1.1 问题的提出和研究目的和意义1.2 国内外相关研究综述1.3 论文的结构与研究方法第2 章非线性方程的数值解法2.1 二分法2.2 迭代法2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶2.4 牛顿迭代法2.5 牛顿法的改进2.6 插值摘要数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。
在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。
在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。
例如 在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。
本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。
第1 章绪论可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。
拉格朗日插值多项式的算法 step1.输入 插值节点控制数n 插值点序列 i i x , yi=0,1,…,n 要计算的函数点x。
step2. FOR i =0,1,…,n i 制拉格朗日基函数序列问题的提出和研究目的和意义非线性方程的问题在工程实践中有很多用途 研究其数值解法是当前一个研究方向。
目前已有相当一部分算法在广泛使用于工程实践中。
非线性方程组和无约束最优化的数值解法 一直是数值优化领域中热门的研究课题。
本文对传统的方法进行改进和提出新的算法 该算法不仅有重要的论价值，而且有很高的实用价值。
例如在天体力学中，有如下Kepler 开普勒方程 x-t- sin x=0,0< <1,其中t 表示时间 x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数。
也就是说，对每个时刻i t 上述方程有唯一解i x ，运动轨道位置。
国内外相关研究综述随着科学技术的高速发展和计算机的广泛应用 求解形如F(x)=0 的非线性方程组问题越来越多的被提出来了 其中F 是的连续可微函数。
数值分析 李庆扬 第7章 非线性方程与方程组的数值解法
x x3 1
时，在区间
1,2
有：
x 3 x 2 1
不满足定理的条件，无法保证迭代收敛。
a , b
上）
（2） 存在正常数 L 1 ，使对任意
x , y a , b 都有
x y L x y
（迭代函数的增量小于自变量的增量） 则
14
x 在 a , b
上存在唯一的不动点 x 。
2017年1月4日
*
《数值分析》 黄龙主讲
证明：先证不动点存在性。 若
x , y a , b 有
x y x y L x y , a , b
因此，可将上述定理 1 和定理 2 中的条件（2）改为：
x L 1
21
2017年1月4日
《数值分析》 黄龙主讲
例如：
（2） 存在正常数 L 1 ，使对任意
x y L x y
则对任意 由
x0 a , b ：
xk 1 xk 得到的迭代序列 xk
收敛到
x 的不动点 x*
，并有误差估计
k L x k x* x1 x0 1 L
17
2017年1月4日
*
最终取值： x
误差：取有根区间
ak , bk 的中点 （
ak bk xk 作为近似根，则： 2 b ak b a x* x k k k 1 2 2
特点：算法简单，可保证收敛，但收敛太慢。用于求近似解。
8
2017年1月4日
《数值分析》 黄龙主讲
P214例2 求方程 f x x 3 x 1 0 在区间 1.0 ,1.5 内的一个实根， 要求准确到小数点后的第二位。
非线性方程组数值解法
1
f (x )
1
(k )
( k 1)
x
(k )
f ( x )
f (x )
(k )
称上述公式为Newton迭代格式。 Newton迭代方法在实际迭代时，转化为求方程组的解
f ( x )( x
(k )
( k 1)
x ) f (x )
(k ) (k ) (k )
Broyden秩1方法的迭代公式变为：
x x ( A ) f ( x ) , k 0 , 1 , 2 ( 0) 1 1 ( 0) ( A ) f ( x )
( k 1) (k ) ( k ) 1 (k)
Broyden秩1算法 ( 0) n 选取初值 x R
(1)
x
( 0)
x
( 0)
0.8 0.88
计算结果如下
要求 精度 0.001 迭代 次数 2
方程组的近似解
(1.0000 1.0000)
0.0001
3
(1.0000 1. 0000)
Broyden秩1方法（拟Newton方法中的一种）
利用多元函数的Taylor展开公式得
(A ) (k ) ( k ) 1 (k ) x (A ) f (x )
( k ) 1
满足给定的精度要求，迭代终止。
Broyden秩1算法 ( 0) n 选取初值 x R
计算
( A ) (f ( x ))
( 0)
( 0) 1
1
x x (A ) f (x )
(1) ( 0) ( 0)
A y ( k 1) T ( k 1) (y ) y
西南交大 数值分析 非线性方程组的五种解法
目录摘要 (2)1 绪论 (3)2 五种解法 (3)2.1 二分法 (3)2.1.1 二分法简介 (3)2.1.2二分法的MATLAB程序 (3)2.2 不动点迭代法（简单迭代法） (4)2.2.1 不动点迭代法简介 (4)2.2.2 不动点迭代法的MATLAB程序 (5)2.3 牛顿法 (5)2.3.1 牛顿法简介 (5)2.3.2 牛顿法的MATLAB程序 (5)2.4 简易牛顿法 (6)2.4.1 简易牛顿法简介 (6)2.4.2 简易牛顿法的MATLAB程序 (6)2.5 割线法 (6)2.5.1 割线法简介 (6)2.5.2 割线法的MATLAB程序 (7)3 例子计算及比较分析 (7)4 结论 (11)参考文献 (12)摘要本论文介绍了二分法、不动点迭代法、牛顿法、简易牛顿法、割线法五种算法原理，然后进行了MATLAB编程，得到能求解非线性方程的根的程序。
本文分别用这五种方法的MATLAB程序对五个例子进行了计算，得到各种方法所需的迭代次数，迭代精度，迭代时间等，从而分析比较五种方法的优缺点。
关键词：非线性方程二分法简单迭代法牛顿法简易牛顿法割线法1 绪论在科学工作中经常出现这类问题，即求解非线性方程或非线性方程组—求x 使得f(x)=0或求X=(x1,x2,⋯,x n)T使得F(x)=0。
本论文采用5种方法即二分法、不动点迭代法（简单迭代法）、牛顿法、简易牛顿法、割线法，通过对原理的理解进行了MATLAB编程，然后对几个例子进行各种解法计算，进行比较分析，从而发现各种算法的优势与不足，增加对各种算法的理解。
作者所使用的计算机配置如表1-1所示。
表1-1 计算平台简介2 五种解法2.1 二分法2.1.1 二分法简介若f是区间[a,b]的连续函数，且f (a) f (b) < 0，则f在[a,b]内必有一个零点。
因为f (a) f (b) < 0，所以函数f在区间[a,b]上改变符号，因此它在这个区间内至少存在一个零点。
数值分析-第三章小结
姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。
求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。
在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。
二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。
取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。
则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。
如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
非线性代数方程组的数值解法
其中μn的作用是改变切线矩阵KT的主对角元素， 使奇异性或病态得到改善。。
使用某种算法的计算效率，除了与收敛速度有 关外，还与每一步迭代所花费的计算量有关。关于 每步的计算量，牛顿法最大，而修正牛顿法最小。 因此在实际问题的计算中判断使用哪种方法效率较 高，往往需要进行数值实验。总的看来，不同的算 法可能适用于不同的问题。选用哪种算法，与所研 究问题的性质 (例如，对线性的偏离程度)、规模 (离散的自由度总数) 以及容许误差等因素有关。
则可得
(a, ) ,a Δ a , Δ 0
引入切线矩阵且略去高阶小量后可改写为
Δ a KT (a, )1 RΔ
设荷载增量因子λ分别取如下值
0 0 1 2 M 1
则荷载(R)可分成M级，第m级荷载为λmR，其
增由量此为可(λm得+1Δ-λamm)R=[=KΔTλ(maRm。,λm)]-1ΔλmR am+1=am+Δam
对非线性方程Ψ(a)=0，一般只能用数值方法 求近似解答。其实质是，用一系列线性方程组 的解去逼近所讨论非线性方程组的解。
分段线性法
1.1 直接迭代法 1.2 牛顿法和修正牛顿法
1.3 增量方法 1.4 增量弧长法
1.1 直接迭代法
Ψ(a) =P(a)-R=K(a) a -R=0
设初始未知量为a0，根据上式有 a1= K(a0)-1R
即找到一个ain1 ain n ai 式中的最好的 n 值。
虽然沿这一方向，不能期望求得精确解，但我们可以
迭择因子 n (在搜索问题中称为步长因子)，使在搜索
方向上 (a)的分量为零，即
ai
(i
(a
n
k
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f1 (x)
x1
f 2 (x) x1
fn x
x1
f1 (x) x2 f 2 (x) x2
fn x
x2
f1x
xn
f 2 x xn
fn x
xn
若矩阵 F '(x(k) )非奇异，则可以用使（6.4.6）右端为零的向量作
x12
10 x1
x
2 2
8
0
x1
x22
x1
10x2
8
0
(6.4.4)
把它写成等价形式
x1
1 (x1,
x2 )
1 10
( x12
x
2 2
8)
x2
2 (x1, x2 )
1 10
(x1 x12
x1
8)
并由此构造不动点迭代法
x1( k 1)
法。设 x* 是方程组（6.4.1）的解，x (k )是方程组的一个近似解。
用点 x处(k的) 一阶Taylaor展开式近似每一个分量函数值
，
有 fi(x*) 0
fi ( x* )
fi(x(k))
n j 1
fi ( x(k) x j
)
(
x*j
x
(k j
)
),i
1,2,
,n
例6.13 用Newton法解例6.11的方程组（6.4.4）
解 对该方程组有
F
(
x)
x12 x1x22
10x1 x22 x110x2
8 8
Байду номын сангаас
F
(
x)
2x1 x22
10 1
2x2 2x1x2
10
取初始向量 x(0) (0,0)T，解方程组 F '(x(0) )x(0) F (x(0) ) ，即
动点迭代法（6.4.3）的收敛性，先定义向量值函数的映内 性和压缩性。
第六章非线性方程组的迭代解法
定义6.3 设有函数 : D Rn Rn 若 (x) D,x D 则称(x)在 D上是映内的，记做(D) D，又若存在常数L (0,1) ，使得
(x) (y) L x y ,x, y D
2x1 x22
2 12
x2 x1 x2
对于例6 .12所取的区域 D0 , 的不动点 x*在它的内部。容易验
证，在 D0 上有 ' x* 0.75 ，因此，迭代法（6.4.5）在点 x* 处
局部收敛。
第六章非线性方程组的迭代解法
6.4.2 非线性方程组的Newton法
对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton迭代
域 S0 D ，F '(x) 在其上连续，F '(x* ) 可逆，则
(6.4.8)
第六章非线性方程组的迭代解法
在Newton法实际计算过程中，第k步是先解线性方程组
F ' (x(k) )x(k) F (x(k) )
(6.4.9)
解出x(k)后，再令 x(k1) xk xk ，其中包括了计算向量F (x(k ) ) 和矩阵 F '(x(k) )
则称(x) 在D上是压缩的，L称为压缩系数
压缩性与所用的向量范数有关，函数 (x)对某种范数是压 缩的，对另一种范数可能不是压缩的。
定理6.7（Brouwer不动点定理）若 在有界凸集 D0 D 上连
续并且映内，则 在内D0 存在不动点。
定 理 6 . 8 （ 压 缩 映 射 定 理 ） 设 函数: D Rn Rn
1
(
x1(
k
)
,
x
(k 2
)
)
1 10
[(
x1(k
)
)
2
(x2(k ) )2
8]
x
(k 2
1)
2 (x1(k ) , x2(k ) )
1 10
[
x1(k
)
(
x2k
)
2
x(k) 1
8]
k 0,1,
(6.4.5)
第六章非线性方程组的迭代解法
取初始点 x(0) (0,0)。T 计算结果列于表6－9，可见迭代收敛到 方程的解 x* (1,1)T
定义6.5
设x(k)收敛于 x*，存在常数p 2 及常数c>0,使
x(k1) x*
lim
c
k x (k ) x*
则x(k)称为p阶收敛 。
定理6.9 设 : D Rn Rn ，x* D0 为 的不动点，若存在开
球 S S(x*, ) x : x x* D ，常数 L (0,1)，使
设含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为
F(x) 0
(6,4,1)
其中 x ( x1 , x2 , xn )T为n维列向量，
F ( x) ( f1( x), f2 ( x), fn ( x))T
fi (x)(i 1,2, , n) 中至少有一个是x的非线性函数， 并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组 (6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以 与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动 点迭代法和Newton型迭代法。但是，这里某些定理的 证明较为复杂，我们将略去其证明。
以上讨论了迭代法在 D0 的收敛性，下面讨论局部收敛 性。
第六章非线性方程组的迭代解法
定义6.4 设x*为 的不动点，若存在 x*的一个领域S D，对一切
x(0) S ， 由（6.4.3）式产生的序列 x(k) S
且 lim x(k) x* ，则称 x(k)具有局部收敛性。 k
为 x* 新的一个近似值，记为 x(k1) ，于是得到Newton迭代法
x(k1) x(k) (F '(x)) 1 F (x), k 0,2, （6.4.7)
其中x (0)是给定的初值向量。如果写成一般不动点迭代xk1 (x(k) )
的形式，则Newton迭代函数为
(x) x (F '(x)) 1 F (x)
表 6-10
k0
x1k 0
x
k 2
0
1
2
3
4
0.80 0.991787221 0.999975229 1.00000000
0.88 0.991711737 0.999968524 1.00000000
关于Newton法的收敛性，有下面的局部收敛性定理
第六章非线性方程组的迭代解法
定理6.11 设 F : D Rn Rn，x*满足F (x* ) 0 。若有 x* 的开邻
写成向量形式有 F( x* ) F( x(k) ) F'( x(k) )(x*j x(k) )
其中F '(x(k) ) 为F(x) 的Jacobi矩阵 F '(x) 在的 x (k )值，而
第六章非线性方程组的迭代解法
F ' ( x)
ff12((xx))TT f n (x)T
第六章非线性方程组的迭代解法
把方程组(6.4.1)改写成下面便于迭代的等价形式：
x (x) (1 (x),2 (x), ,n (x))T
并构造不动点迭代法
x(k1) (x(k) ), k 0,1,
(6.4.2) (6.4.3)
对于给定的初始点x(0),若由此生成的序列xk
y1 ) (x2
y2 )(x2
y2 )
3( 10
x1
y1
x2
y2 ) 0.3 x y
1
第六章非线性方程组的迭代解法
2 (x) 2 ( y)
1 10
x1
y1
x1 x22
y2 y22
1 10
x1
y1
x1 x22
y1 x22
y1 x22
y1
y
2 2
1 (x)
x1
2 (
x1
x)
n x
x1
1 (x)
x2
2 (x)
x2
n x
x2
1x
xn
2 x
xn
n x
xn
（*）
例如，对于例6.11有
'(x)
1 10
第六章非线性方程组的迭代解法
得知lim x(k) x* 0 ，从而有 lim x(k) x。* 于是，由定义6.4知
k
k
迭代法（6.4.3）在点 x* 处局部收敛。定理得证。
与单个方程的情形类似，有时可以用关于导数的条件代替 压缩条件来判别收敛性
定理6.10 设 : D Rn Rn ，在D内有一不动点 x*，且在 x处* 可导，且谱半径 ('(x* )) 1 ，则迭代法（6.4.3）在点 x*处
从而
1 10
(1
x22 )(x1