结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
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结构力学 结构的动力计算
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别 结构 （系统）
输入 （动荷载）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别 输入 （动荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
第13章
结构的动力计算
§13－1 动力计算的特点和动力自由度
一．动荷载及其分类
动荷载是指其大小、方向和作用位置随 时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快 ，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯 性力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载 是坐标和时间的函数。
动荷载按其随时间的变化规律进行分类：
质量 m 在 t 时刻的位移y(t)是由此时作 用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：
y(t ) [m(t )] y
整理，
m(t ) y 1
y (t ) 0
(a) (b)
单自由度体系： k
1
式（13－1）或（a）称为单自由度体系 自由振动运动方程（微分方程）
二.自由振动运动方程的解
由式（13－4）
y (t ) A sin(t ) A sin(t 2 ) A sin[ (t 2 ) ] y (t 2 )
y(t)是周期函数
T 2
－自振周期（固有周期） －自振频率（固有频率）
2 T
1. 结构自振周期 T 和自振频率 的各种等 价计算公式
结构动力计算多自由PPT教案
Mi
sin
(it i )
0 (i 1, 2)
第i 阶振型产生的惯性力在第j 阶振型的位移上所做的
虚功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不
做功
第11页/共67页
8. 5 两自由度体系的振动分析
3）振型正交性的利用
（1）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正 确。 例题 8-17 试检验例题 8-15所求得振型的正确性。
11
22
43 243EI
12
21
73 486EI
1
(11
12 )m
15 486
m3 EI
2
( 22
21)m
1 486
m3 EI
第8页/共67页
8. 5 两自由度体系的振动分析
1
1/ 1 5.69
EI m3
1
1
1c1
2
1/ 2 22
EI m3
2
1 1c2
第一主振 型 (正对称)
，
A2
1 B0
k21F01
k11 2m1
F02
0.1
F0h3 EI
（3）计算惯性力幅值
m1 2Y1
16
EI h3
0.075
Fh3 EI
1.2F
m2 2Y2
16
EI h3
0.1
Fh3 EI
1.6F
（4）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上， 按静力进行计算
第21页/共67页
8. 5 两自由度体系的振动分析
k21 k12 k2
(2)求位移幅值 由已知条件知:
k11 k1 k2 k22 k2
k11 2m1
结构力学中体系的计算自由度
结构力学中体系的计算自由度写在前面：①【自由度】：体系运动时所具有的独立运动方式数目，也就是体系运动时可以独立变化的几何参考数目，或者说确定体系位置所需的独立坐标数目。
如：一个点在平面中的自由度为2（两个平动）；一个刚片在平面中的自由度数为3（两个平动和一个转动）。
②【约束】：限制运动的装置称为联系（或约束），体系的自由度可因加入联系而减少，能减少一个自由度的装置称为一个联系（或约束）。
常用的联系有链杆和铰。
一根链杆为一个联系，一个单铰为两个联系，也就是相当于两根链杆的作用。
联结n 个刚片的复铰可以当做（n-1）个单铰，将减少2（n-1）个约束；联结n 个刚片的复刚结点可以当做（n-1）个单刚结点，将减少3（n-1）个约束。
在体系中加入一个联系，而并不能减少体系的自由度，这样的联系称为多余联系（联系）。
使体系成为几何不变而必须的约束称为必要联系（约束）。
方法一：结点法以结点为对象，以链杆为约束计算式：bj W -=2其中，W —计算自由度j —自由结点数（与地面紧连的不算）b —链杆数（包括支座链杆）方法二：刚片法以自由的刚片为对象，以结点和链杆为约束计算式：)23(m 3r b g W ++-=其中，W —计算自由度m —自由刚片数g —单刚结点的数目（复铰）b —单铰结点的数目（复铰）r —链杆的数目结点法例子：体系计算自由度020210=-⨯=W 说明：体系中除了与大地紧连的结点外一共有10个，链杆有20根。
刚片法例子：体系计算自由度[]116263317=⨯+⨯-⨯=W 说明：将刚片拆分成17根，刚结点4，铰结点14。
NOTE ：①刚片法中的单铰结点数和单刚结点数以及链杆数指刚片间的；②大地也是一大刚片，但大地作为参考系没有自由度，算自由刚片的时候不能算上，但是若是将支座链杆也看做是刚片的话，则需要考虑支座链杆与大地之间的单铰接点或单刚结点；③可以用计算自由度的方法分析体系的几何构造:0>W ,表明体系中缺少足够的约束，为几何常变体系；0=W ,表明体系具有成为几何不变所需要的最少联系数目。
1005多自由度体系自由振动(力学)
FI 2 (t ) FS 2 (t ) FE 2 (t ) 0
其中
FIi mi i y
FSi kij y j
j 1
2
( i 1,2)
m1 1 k11 y1 k12 y2 FE1 (t ) y
m2 2 k 21 y1 k 22 y2 FE2 (t ) y
主振型的位移幅值等于 主振型惯性力幅值作用下产 生的静力位移。
（2）振型方程
( 11 m1 2 ) A1 12 m2 A2 0 1 21 m1 A1 ( 22 m2 2 ) A2 0 1
A1=A2= 0 ？
（3）频率方程
D
11m1
y 11 12 m1 0 1 y1 Δ1P (t ) 0 m y Δ (t ) 2 y2 21 22 2 2P
m1 0 0 1 k11 y k m2 y 2 21 k12 y1 FE1 (t ) y F ( t ) k 22 2 E 2
1
2
12m2 22m2
1
21m1
0
令
1
2
2
2 (11m1 22 m2 ) (11 22 m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 1 ( 11m1 22 m2 ) ( 11m1 22 m2 ) 2 4( 11 22 12 21 )m1m2 2 2
y2 (t ) m1 1 (t ) 21 m2 2 (t ) 22 y y
设解为 y1 (t ) A1 sin(t )
其中
FIi mi i y
FSi kij y j
j 1
2
( i 1,2)
m1 1 k11 y1 k12 y2 FE1 (t ) y
m2 2 k 21 y1 k 22 y2 FE2 (t ) y
主振型的位移幅值等于 主振型惯性力幅值作用下产 生的静力位移。
（2）振型方程
( 11 m1 2 ) A1 12 m2 A2 0 1 21 m1 A1 ( 22 m2 2 ) A2 0 1
A1=A2= 0 ？
（3）频率方程
D
11m1
y 11 12 m1 0 1 y1 Δ1P (t ) 0 m y Δ (t ) 2 y2 21 22 2 2P
m1 0 0 1 k11 y k m2 y 2 21 k12 y1 FE1 (t ) y F ( t ) k 22 2 E 2
1
2
12m2 22m2
1
21m1
0
令
1
2
2
2 (11m1 22 m2 ) (11 22 m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 1 ( 11m1 22 m2 ) ( 11m1 22 m2 ) 2 4( 11 22 12 21 )m1m2 2 2
y2 (t ) m1 1 (t ) 21 m2 2 (t ) 22 y y
设解为 y1 (t ) A1 sin(t )
考研结构力学必看精华总结结构的动力计算
杜哈梅积分(Duhamel)
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 y0 0 v0 0
则
y
y0
cos t
v0
sin t
1
m
t 0
FP
(
)
sin
t
d
第26页/共77页
（1）突加荷载
y
FP 0
m 2
(1
cos t )
yst (1 cost)
质点围绕静力平衡位置作简谐振动，动 力系数为
1， 产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。
1
动力系数的绝对值随频率比增大而减小。
第22页/共77页
例10-3 已知：跨度l=4m，惯性矩 I=7480cm4，截面系数W=534cm3 ，弹性模 量E=2.1×105MPa。电动机重量G=35kN，转速n=500r/min，离心力FP=10kN， 竖向分力FPsint。试求梁动力系数和最大正应力。
第34页/共77页
阻尼对自振特性的影响
r 1 2
阻尼对振幅的影响
★影响小,可以忽略
ln yk ln y tk
yk1
y tk T
e tk ln etk T
ln eT
T
★振幅的对数衰减率
★阻尼越大,衰减速度越快
1 ln yk 或 2 yk1
1 ln yk 2 n ykn
2004年8月
第8页/共77页
§10-2单自由度体系的自由振动 1 振动方程的建立
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt kyt 0
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
y t my t my t
【哈工大 结构动力学】SD 第10章 多自由度体系2020
➢ 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型 ： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
11
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
jqj(t)
j
2.0jjqj(t )
j
2 j
qj(t
)
T j
M
Mj
I
ug(t )
振型分解法仅需知道各振型阻尼比 ξ，不需要知道阻尼矩阵[C]
定义振型参与系数γj
j
jT M I
Mj
jT M I jT M j
基本性质
[] 1
两边同时除以振型参与系数γj ，得到：（j＝1，2，…N）
得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
利用关系式
Bn n2 600
可得结构的三个自振频率：
12 210.88
1 14.522
22 963.96 2 31.048 (rad / s)
32 2125.20
3 46.100
19
算例10-1
求振型 ： (K n 2 M ) n 0
7
将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
计算结构动力学 多自由度体系的振动
tgi=2i/i(1-i2)
(36)
将式(34)代回
{u}=ii(t){A}i ， 得
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上
述结果中令i=0得到。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤
左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功，反之亦然。
(e)
方程两边同时左乘{A}jT，根据正交性则有
Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0
(20)
从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)
yi(t)=aisin(it+ci)
(f)
代回多自由度所假设的解，即可得
{u(t)}=aisin(it+ci){A}i
(21)
5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何
22求无阻尼自由振动的振型求无阻尼自由振动的振型aaii频率频率ii33用阻尼比用阻尼比1122和频率和频率1122求瑞利阻尼的求瑞利阻尼的00和和44求求ii振型振型参与系数振型振型参与系数iiaaiittppaaiittmmaa55求求ii振型阻尼比振型阻尼比12120066求求ii振型动力系数振型动力系数iiii222244ii22ii22121277求求ii振型相位角振型相位角iiarctg2arctg2iiii2288求求ii振型广义位移振型广义位移iittiisinsiniittiiii2299将各振型广义位移代回将各振型广义位移代回uuiittaaii则得最终则得最终结果结果uuttiisinsiniittiiii2237374444441441基本原理基本原理对动力问题设单元位移场仍表示成对动力问题设单元位移场仍表示成ddnnddee只是现在只是现在ddddxtddee设杆单元的密度为设杆单元的密度为将微段惯性力将微段惯性力aaaaddxx作为作为体积力则这一单元荷载的总虚功为体积力则这一单元荷载的总虚功为dxdx3838引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵mmeedx39394444由式3939代入形函数并积分对质量均匀分布的平代入形函数并积分对质量均匀分布的平面弯曲单元其单元一致质量矩阵面弯曲单元其单元一致质量矩阵mmee13221561354221354221564204040作业
(结构动力学)多自由度体系运动方程
fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表 达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守 力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构 体系的运动控制方程。
下 面 通 过 算 例 来 介 绍 如 何 应 用 Lagrange 方 程 ， 从 算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运 动方程不限于线性。
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是：
kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 fsi ki1u1 ki2u2 kiNuN
只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表 达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守 力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构 体系的运动控制方程。
下 面 通 过 算 例 来 介 绍 如 何 应 用 Lagrange 方 程 ， 从 算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运 动方程不限于线性。
自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂
的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单
自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时
就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
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FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
P0 sin t
2
4 EI ml3
A
1
1
P0 L3 8EI
1
L3 P0 8EI
m
l EI
EI
l
I
F
PP00/
/ 2
2
0.5P0
1.5P0
P0 sin t
m
l
1
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例3：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。
已知：m1 m2 m, 3.415
EI ml 3
I1 0.2936 P I2 0.2689 P A1 0.025 Pl 3 / EI
2 (t) 0.534 10 3 (1 cos2t)
FP 8kN m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
yy12((tt))
1 2
1
(t
)
1 1/
2
2
(t
)
y1 (2.67 3.20 cos1t 0.53cos 2t) 103 y2 (6.67 6.40 cos1t 0.267 cos2t) 103
P0 sin t
P0 sin t
1
1
?
?
?
P0
K
例4：用振型叠加法求图示结构的稳态振幅。
k1 3103 kN / m; k2 2103 kN / m; m1 m2 m 10200 kg;
1 9.899 1/ s;2 24.25 1/ s
1
1 2
2
1 1/
2
1(t) 3.20 10 3 (cos1t)
将 y(t) (t) y(t) (t)
｝ 代入（ａ）式，得：
M * (t) K*(t) FP (t)*
(c)
展开任一式得：
i (t) i2i (t)
FPi* (t )
M
* i
形式同单自由度体系强迫振动
y(t) 1(t)1 2 (t)2
例1：用振型叠加法求图示结构的动力反映。
m1
已求出 1T 1 0.5,
1、位移幅值求法
y(t) A sin t
A K 2M 1F A I 2 M 1 F
讨论：
（a）在简谐荷载作用下，各质点仍做简谐振动。
(b) 当 0时，
同单自由度体系
(c) 当 时，
同单自由度体系
(d) 当 i 时， i 1,2,n 发生共振。
２、动内力计算——动静法。（同单自由度体系）
P sin t
m1
m2
l / 3 y1 lE/I3y2 l / 3
A2 0.023 Pl3 / EI
P
A1
I1
A2
I2
作业： 10—23
补充题：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
其中:
FP1(t) P0 sin t
2
55.25EI ml3
FP2 (t) 2P0 sin t
m1 m2 m
2 T 1 1 P0 sin t
EI1
k1 m2
h
1(t)
2 3
P0 K
sin
t,
2 (t )
1 3
P0 k
sin
t
EI1
k2
h
例2：用振型叠加法求图示结构动位移。
已求出 1T 1 0.278, 2T 1 3.61m
1(t)
0.084
P0 L3 EI
sin
t,
2
(t
)
第十章 结构动力计算
§10-3 多自由度体系的动力计算
§10.3.3 多自由度体系的强迫振动
一、简谐荷载作用 ——直接解法
运动方程： M y(t) Ky(t) FP(t)
(a)
或 M y(t)y(t) FP(t)
(b)
FP (t) F sin t FT F1, F2,, Fn
一、简谐荷载作用——直接解法
? A1
A2
y1st ?
1 ?
y2st ? 2 ?
例5：对下图示体系，试证明：
当 y1 0 y2 0，y1 0 y2 0 时，
体系只按第二主振型振动。
提示：
m1=m m2=m
y(t)1(t)12(t)2 l /3 l /3 l /3
用正则坐标表示的运动方程为：
i (t) i2i (t) 0 (i 1, 2)