高二数学椭圆与相交直线的弦长公式-最新教学文档
高二数学椭圆与相交直线的弦长公式
?解：如果需要,推一个便是.设椭圆和直线的方程分别为
X^2/a^2+Y^2/b^2=1和X/A+Y/B=0
即b^2?X^2+a^2?Y^2=a^2?b^2┅┅┅①
和BX+AY=0┅┅┅②
由②得Y=-BX/A
代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2
∴X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]
从而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]
记弦为PQ,则
P(ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
Q(-ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
于是
|PQ|^2=(2ab)^2/[(Ab)^2+(aB)^2]+(2abB)^2/abB/{A^2[(A b)^2+(aB)^2]}
∴弦长|PQ|=(2ab/A)√{[A^2+B^2]/[(Ab)^2+(aB)^2]}
注意:这是对于以原点为中心,长轴在横轴上的椭圆被直线截得的弦长公式,其中a,b分别为椭圆的半长轴和半短
轴,A,B分别为直线在X轴上和Y轴上的截距.(其它情况,自行同样推导)
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高二数学椭圆的知识点整理Word版
第1讲 课题：椭圆 课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10<
上式化为122=+C By C Ax ，12 2=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当 B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特 征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a b 2 2.
直线与圆相交弦长问题
二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞ 0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且 倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线 AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线 l 与圆C 交于A ，B 两点， 设弦心距为d ，圆的半 径为r ，弦长为|AB |， 则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程 与圆的方程联立，设直线与圆的两交 点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆 内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；
高二数学 直线与椭圆的位置关系习题
直线与椭圆位置关系学案 一、如何判断点与椭圆的位置关系 二、如何判断直线与椭圆的位置关系 三、弦长公式 例1、已知直线:2l y x m =+，椭圆22:142 x y C +=。试问当m 取何值时，直线与椭圆(1）有两 个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点？（4求直线 方程 练习：求椭圆2 214 x y +=被过右焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长。 引申：1、过焦点最短的弦长____，过焦点最长的弦长为____. 2、求椭圆2 214x y +=过右焦点且弦长为2的直线有几条？ 例2、中心在原点，一个焦点为F （0 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆方程。 例3、椭圆22 14520x y +=的两个焦点为F 1 、F 2 ，过中心作直线与椭圆交于A ，B 两点，若△AB F 2 的 面积为20， 求直线的方程。 例4、若椭圆 ax 2+by 2=1 与直线 x+y=1 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，直线OM （O 为原点） OA ⊥OB ，求椭圆方程。
练习： 1、如果椭圆被221369x y +=的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（ ） A 、x-2y=0 B 、x+2y- 4=0 C 、2x+3y-12=0 D 、x+2y-8=0 2、y=kx+1与椭圆22 15x y m +=恰有公共点，则m 的范围（ ） A 、（0，1） B 、（0，5 ） C 、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D 、（1，+ ∞ ） 3.椭圆19 252 2=+y x 的焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积为 ( ) A.9 B.12 C.18 D.4 49 4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（） （A ）22 （B ）212 （C ）22（D 21 5、过椭圆 x 2＋2y 2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|= _____ , 通径长是 ____ 6、直线y =kx +1与椭圆22 15x y m +=恒有公共点，则m 范围是 。 7、已知斜率为2的直线经过椭圆22 154 x y +=的右焦点2F ，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长。 8、如果椭圆被22 1369 x y +=的弦被（4，2）平分，求这弦所在直线方程 9、已知椭圆22 :3412C x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆上总有不同的两点关于这条直线对称. 10、已知椭圆的长轴长12||6A A =，焦距12||42F F =，过椭圆的焦点1F 作一直线和椭圆交于 ,M N 两点，设21(0 )F F M ααπ∠=<,问当α取什么值时，||MN 等于椭圆短轴的长？求 出此时的α. 11、设椭圆22 22221(1)x y a b a b +=+>与直线1x y +=相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（O 为原点），求2211a b +的值。
高二数学选修2 椭圆基础训练
高二数学选修2 椭圆基础训练 一、选择题 1．（ ）已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．（ ）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 C 2 2 2 2218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-= 得5,4a b ==，2212516x y ∴ +=或125 162 2=+y x 3．（ ）如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 D 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k +=>?<< 4．（ ）21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为 A ．7 B ．47 C ．2 7 D ．257 C 1212216,6F F AF AF AF AF =+==- 22202 2112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-?=-+ 2211117 (6)48,,2 AF AF AF AF -=-+ =1772222S =??= 5．（ ）椭圆 124 492 2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 则△21F PF 的面积为A ．20 B ．22 C ．28 D ．24 D 2222 12121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==，相减得 12121 296,242 PF PF S PF PF ?==?= 二、填空题 6．椭圆 22189x y k +=+的离心率为1 2 ，则k 的值为______________。
高中数学椭圆基础练习题
高二数学周周清（2） 一、选择题（每小题5分，共12小题） 1.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 2．椭圆22 11625 x y +=的焦点坐标为 （ ） （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0) 3．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是 （ ） （A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）22 11636 x y += 4．若椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ） （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14 5.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32 倍，则椭圆的焦距是 （ ） A 、4 C 、6 D 、6．离心率为3 2，长轴长为6的椭圆的标准方程是 （ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22159x y += （C ）2213620x y +=（D ）2213620x y +=或2212036 x y += 7.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =( ) A.2 3 B.3 C.27 D. 4 8.椭圆19 2522 =+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则=ON ( ) A.2 B.4 C.6 D.23 9.椭圆2222 22222222211()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是 （ ） A ．有相同的长轴 B ．有相同的离心率 C ．有相同的短轴 D ．有相同的焦点 10. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于 ( ) A.－1 B.1 C.5 D. －5 11、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ）
高中数学椭圆基础训练题
椭圆基础训练题 一、选择题 1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 2．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹 是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3.椭圆116 252 2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ 4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5．若方程x 2a 2 —y 2a =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a<0 B 、-1
直线与圆-韦达定理
1直线:m 360x y ++=,过)0,1(-A 的动直线l 与直线m 相两点,M 是PQ 中点. (Ⅰ)l 与m 垂直时,求证:l 过圆心 C ;(求直线l 的方程;(Ⅲ)设t =AN AM ?,试问t 是否为定值 2（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与圆O 交于上是否存在一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 3．圆2 2 :(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=（1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ；（2） 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3） 若定点P （1，1）满足2PB AP =，求直线l 的方程。
4．圆C 经过点A （－2,0），B （0,2），且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．（1）求圆C 的方程；（2）若2OP PQ ?=-，求实数k 的值； （3）过点(0,4)作动直线m 交圆C 于E ，F 两点．试问：在以EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M 5．如图，圆C ：0)1(2 2 =+-++-a ay y x a x ．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：42 2 =+y x 相交于两点,A B ．问：是否存在实数a ，使得 BNM ANM ∠=∠？
6．（14分） 已知方程0422 2 =+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. 7．圆0122:2 2 =+--+y x y x C ，直线kx y l =:，直线l 与圆C 交于点M 的坐标为(0,)b ，且满足MA MB ⊥．（1）当1=b 时，求k 的值； （2时，求k 的取值范围． 8．圆C ：2 2 (3)(3)9x y -+-=，直线1:l y kx =与圆C 交于P 、Q 两个不同的点，M 为P 、Q 的中点．（Ⅰ）已知(3,0)A ，若0AP AQ ?=，求实数k 的值；（Ⅱ）求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线1l 与2:10l x y ++=的交点为N ，求证：||||OM ON ?为定值．
直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y = -+- ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ；
3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2 =-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点） 二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．
例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
直线与圆相交弦长问题
二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由???? ? Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2 ＋y －b 2 ＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心 距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ? ?|AB |22＋ d 2 ＝r 2 ， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2 ＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两 点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则|AB | ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．
(完整)高二数学椭圆试题(有答案)
高二数学椭圆试题 一：选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（） A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜ ﹣1 解：椭圆的焦点在x轴上 ∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0 解得m＞2或m＜﹣1 又∵2+m＞0 ∴m＞﹣2 ∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1 故选D 2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（） A．4B．5C．7D．8 解：将椭圆的方程转化为标准形式为， 显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6， ，解得m=8 故选D 3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（） A．B．C．D． 解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准方程： 由于 ， ∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=． 故选B．
4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2 的周长为8，则椭圆的离心率为（） A．B．C．D． 解：由椭圆定义有4a=8 ∴a=2，所以k+2=a2=4 ∴k=2． 从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以， 故选A 5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（） A． （x≠0）B． （x≠0） C． （x≠0）D． （x≠0） 解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8 ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 ∴b2=20， ∴椭圆的方程是 故选B． 6．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D． 解：根据两点间的距离公式可得： 表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示 点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离， 所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10， 因为|F1F2|=2＜10，
高二数学椭圆基础训练题
2、2椭圆基础训练题 一、选择题(每题5分) 1.已知椭圆22 1102 x y m m +=--,长轴在y 轴上.若焦距为4,则m 等于( ) A.4 B.5 C.7 D.8 2.已知△ABC 得周长为20,且定点B (0,－4),C (0,4),则顶点A 得轨迹方程就是( ) A.1203622=+y x (x ≠0) B.136 202 2=+y x (x ≠0) C.120622=+y x (x ≠0) D.16 202 2=+y x (x ≠0) 3.椭圆116 252 2=+y x 得离心率为( ) A.35 B. 34 C.45 D.925 4.已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ,且21F F 就是1PF 与2PF 得等差中项,则动点P 得轨迹方程就是( )。 A.191622=+y x B.1121622=+y x C.13422=+y x D.14322=+y x 5.曲线221259x y +=与曲线22 1(9)259x y k k k +=<--得( ) (A)长轴长相等 (B)短轴长相等 (C)焦距相等 (D)离心率相等 6.椭圆116 252 2=+y x 得焦距就是( ) A.3 B.6 C.8 D.10 7.若点O 与点F 分别为椭圆2 212 x y +=得中心与右焦点,点P 为椭圆上得任意一点,则OP FP ?得最小值为 A.2-12 C.2+8.已知椭圆得方程为22 194 x y +=,则该椭圆得长半轴长为( ) A.3 B.2 C.6 D.4 9.椭圆13 42 2=+y x 得焦点坐标为( ) A.)0,1(± B.)0,2(± C.)0,2(± D.)1,0(± 10.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)就是椭圆C 得两个焦点,过F 2且垂直于x 轴得直线交C 于A 、B 两点,且AB =3,则C 得方程为( ) (A) 2 2x +y 2=1 (B) 23x +22y =1 (C) 24x +23y =1 (D) 25x +24 y =1
(新)高中数学椭圆的经典知识总结
高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为 参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?
高中数学椭圆基础练习题
椭圆的定义与标准方程 一．选择题（共19小题） 1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（） A．B． C．D． 或 2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆 3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A．4B．5C．6D．10 4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段 5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（） A．10 B．8C．6D．不确定 6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D． 7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．3 8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（） A．5个B．10个C．20个D．25个 9．方程=10，化简的结果是（） A．B．C．D．
10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6] 11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．线段 C．椭圆或线段或不存在D．不存在 12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（） A． （x≠0）B． （x≠0） C． （x≠0）D． （x≠0） 13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D． 14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（） A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件 C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件 15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（） A．3＜m＜4 B．C．D． 16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件． A．必要不充分B．充分不必要 C．充要D．既不充分又不必要 17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定 18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关
高二数学椭圆试题(有答案)
高二数学椭圆试题 一:选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则ｍ的取值范围是( ） A．m>2或m＜﹣1 B．ｍ>﹣2 C. ﹣１＜m<2 D．m＞2或﹣2 8.设椭圆的两个焦点分别为F１、、Ｆ2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A． B. Ｃ. Ｄ. 9.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x 轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AＢ∥ＯP(Ｏ是坐标原点）,则该椭圆的离心率是（) A. B．Ｃ． D. 1０．若点O和点Ｆ分别为椭圆的中心和左焦点,点Ｐ为椭圆上的任意一点,则 的最大值为（) A. ２Ｂ. 3 C. 6Ｄ. 8 １1.如图,点F为椭圆=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PＦ相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为（) A．B．C．D． 1２．椭圆顶点A(a,0）,B（0,b)，若右焦点F到直线AB的距离等于,则椭圆的离心率e=( ) A. B. C. Ｄ. . - 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由? ?? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27， 求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 . - (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2 r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将 直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ x 1－x 2 2＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1 k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C | A 2＋B 2＜r ； 性质2：由??? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， ∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2 ＝2 2.∵r ＝2 2， ∴|BC |＝ 8－ ? ?? ??? 222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝ 30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得 2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7 2 ， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1 2， ∴直线AB 的方程为y －2＝1 2(x ＋ 1)，即x －2y ＋5＝0. 椭圆基础训练题（学生版） 1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ） （A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2 ＝1 2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A ）21（B ）22 （C ）23（D ）33 3．已知椭圆x2＋2y2＝m ，则下列与m 无关的是（ ） （A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率 4. 曲线25x 2＋9y 2 =1与曲线k 25x 2－＋k 9y 2-=1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。 （A ）有相等的长、短轴 （B ）有相等的焦距 （C ）有相等的离心率 （D ）一相同的准线 5. P(x, y)是椭圆16x 2＋9y 2 =1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。 （A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2 =1 6．过椭圆x2a2＋y2b2 ＝1(0 直线与椭圆位置关系 思想方法：在解题中，将直线的方程与椭圆的方程联立， 消去一个变量后可得到一个二次方程, 控制、讨论这个方程的根，并结合根与系数关系，可以解决如下问题： （1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离） ； （2 ）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式） ； 在直线的斜率） （4）涉及到中点弦的问题还可以采用点差法来处理 题型一：直线与椭圆的位置关系： 例1： （ 1）直线y=x+m 和椭圆4x 2+y 2=i ，当直线与椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围。 2 2 x m 与曲线- J 1（y 0）有一个公共点，求 m 的取值范围 20 5 2 2 变式：若直线y kx 1与焦点在x 轴上的椭圆 —「1总有公共点，求实数 m 的范围. 5 m （3）计算弦长（弦长公式为 AB 也『皈x i 或AB 1 1 — y 2 y i ，其中k 为弦AB 所 k （2）若直线y 题型二：弦长问题: 的长? 线方程? (3)已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y=x+m ，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。 y 2 1的左、右焦点，过F 1作倾斜角一的直线与椭圆交于 3 题型三：中点弦问题： 例3:已知一直线与椭圆4x 2 9y 2 36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M （1,1）, 2 X 例2: (1)已知斜率为1的直线I 过椭圆 — 4 y 2 1的右焦点交椭圆与 A 、B 两点?，求弦AB (2)过点P ( 0,2)的直线与椭圆 V14 1 相交于A 、B 两点，且弦长AB T ，求直 2 、 x 变式：F-!, F 2分别是椭圆一 2 点，求 F PQ 的面积. P,Q 两 2.2椭圆基础训练题 一、选择题（每题5分） 1．已知椭圆 22 1102 x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．已知△ABC 的周长为20，且定点B （0，－4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．1203622=+y x （x ≠0） B ．136202 2=+y x （x ≠0） C ．120622=+y x （x ≠0） D ．16 202 2=+y x （x ≠0） 3．椭圆116 252 2=+y x 的离心率为（ ） A ． 35 B ． 34 C ．45 D ．925 4．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）。 A ．191622=+ y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14 32 2=+y x 5．曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k +=<--的（ ） （A ）长轴长相等 （B ）短轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等 6．椭圆 116 252 2=+y x 的焦距是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 7．若点O 和点F 分别为椭圆2 212 x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ?的最小值为 A ．2 B ． 1 2 C ．2+ D ．1 8．已知椭圆的方程为22 194 x y +=，则该椭圆的长半轴长为（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．4 9．椭圆13 42 2=+y x 的焦点坐标为（ ） A ．)0,1(± B ．)0,2(± C ．)0,2(± D ．)1,0(± 10．已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点,且AB =3,则C 的方程为( ) (A) 22x +y 2=1 (B) 23x +22y =1 (C) 24x +23y =1 (D) 25x +2 4y =1 11．“46k <<”是“方程 22 164 x y k k +=--表示椭圆”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 12．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于 1 2 ，则C 的方程是( )． A.2 3x ＋24y ＝1 B.24x 2＝1 C.24x ＋22y ＝1 D.2 4x ＋23y ＝1 13．椭圆2 213 x y +=的焦距为( ) A B ． C ．4 D ． 14．已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15 15．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和)0(22 22>=+k k b y a x 具有 （ ） A.相同的长轴长 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的顶点 16．过椭圆2 212 x y +=的左焦点1F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆右焦点，则直线与圆相交弦长问题
椭圆基础训练题(学生版)
高二数学直线与椭圆位置关系学案及作业
高二数学椭圆基础训练题