3二次曲线的切线和奇点

二次曲线化简的方法

二次曲线化简的方法 思维导图 具体方法 相关定义及公式: 移轴公式 1、平面直角坐标变换 转轴公式 一般坐标变换公式: 二次曲线化简的 方法 平面直角坐标变 换 坐标变换 移轴系数变换规 律 转轴系数变换规 律 转轴(主直径) 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线 应用不变量化简二次曲线的方程 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线

其中:l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,l1,l2相互垂直 ① ② 这里需要注意的是①中x的系数应和②中y的系数相等,所以在符号选取时要使得这两项系数同号。 2、不变量:由F(x,y)=0的系数组成的一个非常数函数f,如果经过直角坐标变换函数值不变,那么这个函数f叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量;若这个函数f 的值,只是经过转轴变换不变,那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变量。 ① ②

方法介绍: 一、直角坐标变换: 1、坐标变换 一般的,在曲线有中心的前提下,为了计算方便,往往先移轴再转轴 非中心二次曲线先转轴再移轴。 ①移轴下()二次曲线的新方程为: 化简整理得: 这里有: 在移轴下,二次曲线方程系数的变化规律: (1)二次项系数不变 (2)一次项系数变为 2F1(x0,y0)与2F2(x0,y0) ②在转轴()下二次曲线的新方程为: 这里有

在转轴下,二次曲线方程系数的变换规律: (1)二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程二次项系数及 旋转角有关,而与一次项系数及常数项无关。 (2)新方程的一次项系数: 在转轴下,二次曲线方程的一次项系数 a13,a23的变换规律是与点的坐标x,y的变换规律完全一样,当原方程有一次项时,通过转轴不难完全消去一次项,当原方程无一次项时,通过转轴也不会产生一次项。 (3)常数项不变。 【例题详解方法】 例1【无心二次曲线】 化简二次曲线方程,并画出它的图形 解: 由于二次曲线方程含有xy项,故可先通过转轴消去xy项。设旋转角为α,则有:

圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路:思路 1,导数法,将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ,利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程,特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线;思路 2,根据题中条件设出切线方程,将切线方程代入圆锥切线方程,化为关于x(或y)的一元二次方程,利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ,即可解出切线方程,注意关于x (或y)的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件,圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同,选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1,文 20】设A,B为曲线C:y= x 4 (1)求直线A B的斜率; 上两点,A与B的横坐标之和为 4. (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线A B平行,且A M⊥B M,求直线A B的方程. 类型二椭圆的切线问题 2

5 + = > > 例 2(2014 广东 20)(14 分)已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) , b 2 离心率为 . 3 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 , 且过点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点,过点Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 作直 线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 【解析】(1)因为椭圆过点 P ( 2,3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2,3) . 2 2

§5.3 二次曲线的切线

§5.3 二次曲线的切线 一、概念 1. 定义1:如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点,那么这条直线就叫做二次曲线的切线,这个重合的交点叫做切点;如果直线全部在二次曲线上,我们也称它为二次曲线的切线,直线上的每一个点都可以看作切点. 2.定义2:二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点,简称奇点;二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心,但中心不一定是奇点. 注:(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0, (2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心,但反之不然. 二、切线求法 1.已知切点求切线: 设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成 那么此直线成为二次曲线切线的条件,当Φ(X, Y)≠0时 ?=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)?F(x0, y0)=0. 因为点 (x0, y0) 在二次曲线上,所以F(x0, y0)=0;因而上式可化为 F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0. 当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外,唯一的条件仍然是 F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0. (1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点:那么由以上条件得 X:Y = F2(x0, y0):(-F1(x0, y0)), 因此切线方程为 或写成, 或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0, 其中 (x0, y0) 是它的切点; (2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点,即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0,则切线方向X:Y不能唯一地被确定,从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点,我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线. 这样我们就得到 定理1:如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点,则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,(x0, y0)是它的切点.

圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结

椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<>=+b a b y a x 中心在原点,焦点在x 轴上 )0(12 2 22>>=+b a b x a y 中心在原点,焦点在y 轴上 图形 范围 x a y b ≤≤, x b y a ≤≤, 顶点 ()()()() 12120000A a A a B b B b --,、,,、, ()()()() 12120000A a A a B b B b --,、,,、, 对称轴 x 轴、y 轴; 长轴长2a ,短轴长2b ; 焦点在长轴上 x 轴、y 轴; 长轴长2a ,短轴长2b ; 焦点在长轴上 焦点 ()()1200F c F c -,、, ()()1200F c F c -,、, 焦距 )0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率 )10(<<= e a c e )10(<<= e a c e 准线 2 a x c =± 2 a y c =± 参数方程与普通方程 22 22 1x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θ θθ=?? =?为参数 22 22 1y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θ θθ =?? =?为参数

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法 中学数学研究2009年第6期 的直线方程. 分析:要求A的内外角平分线所在的直 线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平 分线到两边的角相等,很容易求出斜率. 解:设A的角平分线为AM,由AB到 AM的角等于AM到Ac的角可知: kAc--kAM ,解得k-=711k Ac AM或+.忌 AB+.‰ 忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x— Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是 A的内外角平分线所在的直线方程.因为内 角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的 异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点 B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0 为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一 31=0为A的外角平分线所在的直线方程. 例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤ 0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若A nB=B,求a的取值范围. 解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下 方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+ (Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使

AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部 在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到 直线的距离大于这个圆的半径就可以了. I一一I 即d=L>1,由于a<0,所以口<一2. 总之,线性规划不光能解决目标函数在线 性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面 区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促 进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推 敲. 参考文献 [1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学 教学增刊. [2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中 学数学教学(.,).2009,1. 簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j- 椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法 江西省吉安县二中(343100)罗章军 大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常 用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用 线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方 程新法,较为简便实用.现简述如下. 定理1若直线z:Y=如+m为椭圆 f.znncosa ,. (口>0,b>o,∈[0,27f))的切线, (Yo—Osm0' 设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其

第五章二次曲线的一般理论

221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点,求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .

()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时,()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时,::,同时, ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之,得 1) 当 2) 当 时,直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ,且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠, 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向,是抛物型的.

圆锥曲线的双切线问题初探

圆锥曲线的双切线问题初探 蓝 婷 深圳市第二高级中学; 广东深圳 518055 【摘要】:本文以高考题为载体,在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理,并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法,充分体现定理的妙处。 【关键词】:圆锥曲线 ; 双切线 ; 切点弦方程 一、研究背景 圆锥曲线是高考数学中的必考问题,圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现,这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂,并且在高强度的高考环境下,考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法,将此类问题的运算量降低,从而达到简化解题过程的目的。 二、定理证明 为了简捷且更具一般性和代表性,我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式:220Ax By Cx Dy Exy F +++++=,下面给出定理的证明。 引理:设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点,则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为:000000( )()()0222 x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++=。 证明:在圆锥曲线方程2 2 0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导,可得: 220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=,所以:22Ax Ey C y Ex By D ++'=- ++ 则切线方程为:0000002()2Ax Ey C y y x x Ex By D ++-=- -++ 得:000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++- 化简:220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上,所以:220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=

一般n次曲线切线方程的推导

一般n 次曲线切线方程的推导 光信1001 黄飞洪 关键词:一般n 次曲线,某点的切线方程, 提要:在求曲线上某点的切线时,通常会使用先求导得到斜率后再求切线,此法在二次曲线中尚可使用,但如果是n 次曲线就不大现实了,因此如果能找到该类曲线切线的某些规律,在求高次曲线的切线方程时会节省很多时间 首先,我们先来分析几个比较特殊的例子: ○1圆A :x 2+y 2=r 2在(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x+ y 0y= r 2 ○2椭圆B :A 2a)x +(+B b y 2 )(+=1在(x 0,y 0)处的切线方程为1))(())((00=+++++B b y b y A a x a x ○3双曲线C :A 2a)x +(-B b y 2 )(+在(x 0,y 0 )处的切线方程为1))(())((00=++-++B b y b y A a x a x ○4抛物线C :y 2 =2px 在(x 0,y 0)处的切线方程为y 0y=p(x+x 0) 以上都是几个比较典型的二次曲线在某点切线的方程,总结起来就是在原曲线方程框架的基础上将x 2(或y 2)型变为x 0x (或y 0y )型,x(或y)型转变为2 0x x +(或20y y +)型,但在一般的二次曲线中包含了xy 的项,那么,这种一般型曲线的切线是否仍存在某种规律呢? 设f(x,y)=Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0,求在(x 0,y 0)处的切线方程 方程两边求导得2Ax+By+Bxy ’+2Cyy ’+D+Ey ’=0 y’= -E Cy Bx D By Ax ++++220 ∴在(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0= - E Cy Bx D By Ax ++++220(x-x 0)

课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

课题:圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 主讲人: 安庆一中 李治国 教学目标: (1).掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 (2).会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 (3)通过复习渗透数形结合、类比的思想,逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。教学重点: 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点: 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程: 1. 引入: 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾: 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质: 性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线,则切点弦长等于该椭圆的通径.同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,过A ,B 两点作椭圆的切线交 于点P ,则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线,并且 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲: 练习1: 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ,若直线l 与抛物线相 切,且平行于直线 ,则直线l 的方程为 例1: 设抛物线 的焦点为F ,动点P 在直线 22200 (,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=22 0022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点,则过该点的切线方程为:22 0022 (,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点,则过该点的切线方程为:00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点,则过该点的切线方程为:00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=

高考数学圆锥曲线的基本公式推导

圆锥曲线的几大大题特征公式:焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现,但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1:切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结:x 2换成xx 0,y 2换成yy 0,x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 : ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程: ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程: 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明: 【公式一:曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路:过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程,令 0=?,得到k 的表达式, 再代入原始式,最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx (注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下) 2、第2种证明思路:点差法(求斜率,其余跟第一种方法一样) 证明:设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,中点P ),(00y x

圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x 轴上:)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上:)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程:122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θ ). ⑵①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2. ③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率:)10( e a c e =. ⑦焦点半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则 由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆: 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b (用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题 【题型综述】 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路:思路1,导数法,将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =,利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程,特别是焦点在y 轴上常用此法求切线;思路2,根据题中条件设出切线方程,将切线方程代入圆锥切线方程,化为关于x (或y )的一元二次方程,利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?,即可解出切线方程,注意关于x (或y )的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件,圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同,选择不同的方法. 【典例指引】 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017课表1,文20】设A ,B 为曲线C :y =2 4 x 上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率; (2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 类型二 椭圆的切线问题 例2(2014广东20)(14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)若动点00(,)P x y 为椭圆外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4,且过点P . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 【解析】(1)因为椭圆过点P ∴ 22 231a b += 且222 a b c =+ ∴ 2 8a = 2 4b = 2 4c = 椭圆C 的方程是22 184 x y + = (2)

圆锥曲线的切线方程总结

运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2,给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+;当),(00y x M 在圆外时,过M 点引切线有且只有两条,过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么,在圆锥曲线中,又 将如何?我们不妨进行几个联想。 联想一:(1)过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ;(2)当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时,过M 引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:12020=+b y y a x x 证明:(1)2222 1x y a b +=的两边对x 求导,得22220x yy a b ' +=,得020 2 x x b x y a y ='=-,由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--,即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 (2)设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线,切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由(1)可知过A 、B 两点的切线方程分别为:12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点,所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式,发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ,所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注:因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置(在椭圆上或椭圆 外)的不同,同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二:(1)过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ;(2)当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时,过M 引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:12020=-b y y a x x 。(证明同上) 联想三:(1)过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=(A ,C 不全为零)上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=;(2)当

曲线的切线(详解)

曲线的切线 一、 基础知识: 1、 切线的定义:设P 是曲线上的一点,Q 是曲线上与P 邻近的一点。当点Q 沿着曲 线无限接近点P 时,如果割线PQ 有一个极限位置PT ,那么直线PT 就叫做曲线在点P 处的切线。 2、 函数y=f(x)在x=x 0处可导,则曲线y=f(x)在点P 处的切线方程是: ))(()(000x x x f x f y -'=- 3、 关于切线的几个问题: (1)曲线的切线和曲线可以有几个交点?(答:可以有无数个交点) (2)直线y=kx+b 在其上一点P 处有切线吗?(答:有,切线与直线重合) 二、 例题选讲: 例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是 ( ) (A )y=x 3+sinx (B )x x y cos += (C )13+=x x y (D )y=|x| 答:选D ,因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。 问1:(B )中函数在x=0处也没有导数,它有切线吗? 答:有,切线为直线x=0。 小结:f(x)在x 0处可导?f(x)在x 0处有切线,反之不成立 f(x)在x 0处不可导≠>f(x)在x 0处没有切线。 问2:既然不能从可导不可导来判定是否存在切线,那么怎么来判定呢? 答:围绕定义。 小结:要深入体会运动变化思想:两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点),从而割线→切线。 例2 已知曲线3 4331+=x y 。 (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程。 解:(1)所求切线斜率k=4,故所求切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0 (2)设曲线与过点P 的切线相切于点A (x 0,343031+x ),则切线的斜率k=0|x x y ='=2 0x , ∴切线方程为) ()(02 0343 031x x x x y -=+-, ∵点P(2,4)在切线上, ∴) 2()(402 0343 031x x x -=+- 解得x 0=2或-1, 故所求的切线方程为:4x-y-4=0或x-y+2=0。 变式:从点(-1,1)向曲线13 +=x y 引切线,试求切线的方程。

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

普通高中课程标准实验教科书一数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综 合问题 一.课标要求: 1 ?由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转化思想的训练; 2?通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以押轴题形式出现,主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计2007年高考对本讲的考察,仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力; 2?与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测07年高考: 1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题; 2?可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问。 .要点精讲 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动

点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2 ?圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等 式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线C: f(x, y)=0与直线I :y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点,则弦 长| AB|为: (1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至]一葢jL + k? * J(签i+窿])】_4耳]嘉 或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙. 若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是: 建立坐标系 (4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强 区分度的综合题。 四.典例解析 题型1 :求轨迹方程 例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切,同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。

圆锥曲线综合 切线问题

【例1】 抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是( ) A . 35 5 B . 45 5 C . 135 20 D . 95 20 【例2】 若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则切线l 的方程为( ) A .430x y ++= B .490x y +-= C .430x y -+= D .420x y --= 【例3】 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是 ; 【例4】 过点(01)P , 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________. 【例5】 已知过定点A (2,0)的直线和抛物线2 14 y x = 有且只有一个交点,求满足条件的直线方程. 【例6】 已知圆O :222x y +=交x 轴于,A B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为 2 2 的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂 典例分析 板块三.切线问题

线交直线2x =-于点Q . ⑴求椭圆C 的标准方程; ⑵若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切. ⑶试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与,A B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由. 【例7】 如图,P 是抛物线C :2 12 y x = 上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q . ⑴若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程; ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ,与y 轴交于点T ,试求ST ST SP SQ + 的取值 范围. 【例8】 已知椭圆22 122:1(0)y x C a b a b +=>>的右顶点为(10)A ,,过1C 的焦点且垂直长轴 的弦长为1. ⑴求椭圆1C 的方程; ⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上,2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ,N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值. 是双曲线上不同的两个动点. ⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程 ⑵ 若过点()0,h 的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点,且12l l ⊥,求h 的值.

圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳 1、椭圆切线推论:已知椭圆C 方程22 221x y a b +=(a>b>0),C 上一点P (00,y x ),过点P 且与C 相 切的切线L 方程为:12020=+b y y a x x 。 122 22=+b y a x '2'2()()1x y += 推导:如图所示,当切线'L 斜率存在且不为0时(即切线L 斜率存在且不为0),设'OP 、'L 的斜率 分别为1k ,2k , 0 01000 0y ay b k x bx a -==-,由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ,即121k k ?=-,∴0210 1bx k k ay -==-,∴由点斜式易得'L 方程为:''0000()y bx x y x b ay a - =--,又 '',x y x y a b ==,∴ 0000()y bx x y x b b ay a a -=--,即 为椭圆切线L 方程,化简如下:0000y y bx x x b ay a --=-?,000022()()y y y x x x b a --=-,22 00002222x x y y x y a b a b +=+,又 点P(00,y x )是椭圆上一点,∴22 00 221x y a b +=,即切线L 方程化简后为:0022x x y y a b +=1; 易知当切线L 斜率为0时,P (0,b ±),切线L 方程为:y b =±,满足上式;当切线L 斜率不存在时,P (,0a ±)切线L 方程为:x a =±,也满足上式。综上,推导完毕。 L b y y = ' y P (00,y x ) x O 转换坐标系 令b y y a x x = ='', ),( 0'b y a x P O a x x = ' ' L

圆锥曲线的切线方程

圆锥曲线的切线 方程 点击此处添加副标题 作者:鲜海东微信:xhd1438488322

11),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022 222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+b y y a x x M b y a x y x M b y y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M r b y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为:点的引切线有两条,过两切的外部时,过在椭圆当切线方程为:上一点>>:过椭圆结论所在直线方程: 点切线有两条:切点弦在圆外,过若切线方程:则过一点 为圆上,若的方程::若圆心不在原点,圆结论。 弦所在直线方程为,过两切点的 点引切线有且只有两条在圆外时,过当。 的切线方程为上一点:经过圆结论

。两点的直线方程为、所以过两切点,满足直线现观察以上两个等式,发、以有是两条切线的交点,所。又因、: 两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线,切点分别外一点>>()设过椭圆(即由点斜式得切线方程为,得求导,得的两边对)大学隐函数求导)(证明: 11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202 0020202222 22=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a b y a x b y y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x

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