最新千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第33炼-向量的模长问题代数法(含模长习题)
第33炼 向量的模长问题——代数法
一、基础知识：
利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式
1、模长平方：通过22cos0a a a a =?=r r r r 可得：22
a a =r r ，将模长问题转化为数量积问题，
从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方
2、坐标运算：若(),a x y =r ，
则a =r 某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，
则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长
3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题
例1：在ABC V 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=o
，则OA =u u u r
_____
思路：题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=o
，进而AB AC ?u u u r u u u r
可
求，且OA u u u r
可用,AB AC u u u r u u u r 表示，所以考虑模长平方转化为数量积
问题
解：O Q 为BC 中点 ∴可得：()
12
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r
()
()
22222
11224
AO AO AB AC AB AB AC AC ??∴==+=+?+????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
3cos 2
AB AC AB AC A ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r
代入可求出：213=4
AO u u u r
AO ∴=u u u r
例2：若,,a b c r r r 均为单位向量，且()()
0,0a b a c b c ?=-?-≤r r r r r r ，则a b c +-r r r
的最大值为
（ ） A.
1- B. 1 C.
D. 2
思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将a b c +-r r r
平方，转
化为数量积问题，再求最值。
解：()()
2
00a c b c a b b c a c c -?-≤??-?-?+≤r r r r r r r r r r r ①
0,1a b c ?==r r r
Q ∴①转化为101b c a c b c a c -?-?+≤??+?≥r r r r r r r r ()
22
222222a b c a b c
a b c a b a c b c ∴+-=+-=+++?-?-?r r r r r r r r r r r r r r r
()
1112321b c a c =++-?+?≤-=r r r r
1a b c ∴+-≤r r r
答案：B
例3：平面上的向量,MA MB u u u r u u u r 满足24MA MB +=u u u r u u u r ，且0MA MB ?=u u u r u u u r
，若
1233
MC MA MB =+u u u u r u u u r u u u r
，则MC u u u u r 的最小值为___________
思路：发现所给条件均与,MA MB u u u r u u u r 相关，且MC u u u u r 可以用,MA MB u u u r u u u r 表示，所以考虑MC u u u u r
进行模长平方，然后转化为,MA MB u u u r u u u r
的运算。从而求出最小值
解：()
2222
12144339MC MA MB MA MA MB MB ??=+=+?+ ???
u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
0MA MB ?=u u u r u u u r
Q 24MA MB =-u u u r u u u r ，代入可得：
()
2221116316374449981691616MC MB MB MB ????=+-=-+≥?=?? ??
?????u u u u r u u u r u u u r u u u
r
min
4
MC
∴=
u u u u r
答案：
4
例4：已知平面向量,αβu r u r
满足2αβ-=u r u r ，且αβ+u r u r 与2αβ-u r u r 的夹角为150o
，则(
)
()32
t t R αββ+-∈u r u r
u
r 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
思路：题目所给条件围绕着αβ+u r u r 与2αβ-u r u r
，所以考虑所求向量用这两个向量进行表示：
(
)()()
3112222t t αββαβαβ??+-=-++- ???
u r u r
u r u r u r u
r u r ，从而模长平方变成数量积问题，可得：
(
)()
222
3131322224t t t αββαβ
αβ????+-=-++-++ ? ???
??u r u r
u
r u r u r u r u r ，将12t αβ??-+ ???
u
r u r 视为一个整体，则可配方求出最小值
解：(
)()()
3112222t t αββαβαβ??+-=-++- ???
u r u r
u
r u r u r u r u r
(
)()()
2
23112222t t αββαβαβ
??∴+-=-++- ???
u r u r
u r u r u r u
r u r
()()()()
2211112222222t t αβαβαβαβ????????????=-++-+?-?-+ ? ?????????????????????
u r u r u r u r u
r u r u r u r
()
21312cos150242t t αβαβαβ??????=-+++--?+ ? ???????
??o u
r u r u r u r u r u r 2
213132224t t αβαβ????=-+--++ ? ???
??u
r u r u r u r
21333
241616t αβ????=-+-+≥ ?????
??u r u r
(
)
324
t αββ∴+-≥
u r u r
u r 答案：A
小炼有话说：本题的关键在于选好研究对象，需要把已知的两个向量视为整体，而不是,αβu r u r
例5：已知平面向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角2,33ππθ??∈??
??，且3OA OB ==u u u r u u u r ，若1233
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
，则OP u u u r 的取值范围是__________
思路：由3OA OB ==u u u r u u u r 和夹角范围即可得到OA OB ?u u u r u u u r 的范围，从而可想到将OP u u u r
模长平方，再利用1233
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
转变为关于,OA OB u u u r u u u r 的问题，从而得到关于夹角θ的函数，
求得范围。
解：2222
12144339
99OP OA OB OA OA OB OB ??=+=+?+ ???u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
54cos θ=+
2,33ππθ??∈????Q 11cos ,22θ??
∴∈-????
[]23,7OP ∴∈u u u r 3,7OP ??∴∈??
u u u r
答案：3,7????
例6：已知()
2,6,2a b a b a ==?-=r r r r r ，R λ∈，则a b λ-r r
的最小值是（ ）
A. 4
B. 23
C. 2
D. 3
思路：由条件可得()
2226a b a a b a ?-=??=+=r r r r r r ，所以考虑将a b λ-r r
模长平方，从
而转化为数量积问题，代入,,a b a b ?r r r r
的值可得到关于λ的二次函数，进而求出最小值 解：()
2
22a b a a b a ?-=??-=r r r r r r Q 226a b a ∴?=+=r r r
()
22
22
22236124a b a b
a a
b b λλλλλλ∴-=-=-?+=-+r r r r r r r r
()2
2
2361246133a b λλλλ-=-+=-+≥r r
min
3a b
λ∴-=r r
答案：D
例7：已知直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1BC ADC AD BC ∠===o
，P 为腰CD 上
的动点，则23PA PB +u u u r u u u r
的最小值为__________ 思路：所求23PA PB +u u u r u u u r
难以找到其几何特点，所以考虑
利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点B 的纵坐标与梯形的高相关，可设高为h ，()0,P y ，
()()2,0,1,A B h ，则()()2,,1,PA y PB h y =-=-u u u r u u u r
，所
以
()
237,35PA PB h y +=-u u u r u u u r
，
()2
2237357
PA PB h y +=+-≥u u u r u u u r ，即
min
237PA PB
+=u u u r u u u r
答案：7
例8：如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足
,AE mAB AF n AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，其中(),0,1,1m n m n ∈+=，,M N 分别是,EF BC 的中点，则
MN 的最小值为（ ）
A. 4
B.
C. D. 53
思路：等边三角形三边已知，故可以考虑用三边的向量将MN 进行表示，从而模长平方后2
MN 可写成关于,m n 的表达式，再利用1m n +=即可消元。
解：()11122
MN ME EB BN FE m AB BC =++=+-+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()()()
111111122222
AE AF m AB BC mAB nAC m AB AC AB =-+-+=-+-+-u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()
1
1111222m AB n AC nAB mAC =-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r ()
()222
21144
MN nAB mAC n m mn ∴=+=++u u u u r u u u r u u u r
1
m n +=Q
()()()2
22221111331114442416
MN m m m m m m m ??????∴=-++-=-+=-+≥?? ?????????u u u u r
4
MN ∴≥u u u u r
答案：C
例9：已知OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ，=2OA u u u r ，=1OB u u u r ，且OP tOA =u u u r u u u r ，
1OQ t OB =-u u u r u u u r
（）, PQ u u u r 在0t 时取到最小值。当01
05
t <<时，θ的取值范围是（ ） A.0,
3π?? ??? B. ,32ππ?? ??? C. 2,23
ππ
?? ?
??
D. 20,3π??
???
思路：本题含两个变量0,t θ，且已知0t 范围求θ的范围，所以考虑建立θ和0t 的关系式，
()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而考虑模长平方，向,OA OB u u u r u u u r
靠拢，可得：
()()()222
154cos 24cos 1PQ t OB tOA t t θθ??=--==+-++??u u u r u u u r u u u r ，所以当2
PQ u u u r 达到最
小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由01
05t <<可得12cos 1054cos 5θθ+<<+解得1cos 02
θ-<<，即
223
ππ
θ<<
解：()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()()2222
2
21121PQ t OB tOA t OB t t OA OB t OA ??∴=--=---?+??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()2
2141cos 4t t t t θ=---+
()()254cos 24cos 1t t θθ=+-++
012cos 54cos t θθ+∴=
+时，PQ 取得最小值 01
05t < 12cos 1054cos 5 θθ+∴<<+ 54cos 0θ+>Q ，所以不等式等价于： ()2cos 10 1cos 01212cos 54cos 5θθθθ+>?? ?-< +<+?? 2, 23 ππ θ??∴∈ ??? 答案：C 例10：已知ABC V 中，,2AB AC AB AC ⊥-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且() 1AM AB AC ?+=u u u u r u u u r u u u r ，则AM u u u u r 的范围是__________ 思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设 ()()0,,,0B b C c ，则(),AD AB AC c b =+=u u u r u u u r u u u r ，设(),M x y ，则 由() 1AM AB AC ?+=u u u u r u u u r u u u r 可得1cx by +=，已知条件 22 24AB AC b c -=?+=u u u r u u u r ，所求AM u u u u r 模长平方后可得222 AM x y =+u u u u r ，所以问题转化为已知22 14cx by b c +=??+=? 求22x y +的最大值。考虑 ()()2 22222222222x y b c x c b y x b c y ++=+++， () 2 22222cx by c x b y bcxy +=++，寻找两个式子的联系，有22222x b c y bcxy +≥，所以 ()()()2 2222x y b c cx by ++≥+，即()2 222 2214cx by AM x y b c +=+≥=+u u u u r ，从而12AM ≥u u u u r ， 而另一方面：由1cx by +=及 1x y c b +=（M 符合直线BC 的方程）可得：()221x y bxy cxy cx by x y c b c b ??=++=+++ ??? ，所以22 1x y +≤（0x y ==时取等号）， 所以综上可得：112AM ≤≤u u u u r 答案：112 AM ≤≤u u u u r 三、历年好题精选（模长综合） 1、点G 是ABC V 的重心，若120,2A AB AC ∠=?=-o u u u r u u u r ，则AG u u u r 的最小值为__________ 2、已知,a b r r 是两个互相垂直的单位向量，且1,1,c a c b c ?=?==r r r r r t ，1c ta b t ++r r r 的最小值为_________ 3、已知,a b r r 是单位向量，且0a b ?=r r ，若c r 满足1c a b --=r r r ，则c r 的范围是_______ 4、在ABC V 中，1,6 AC BC C π ===，如果不等式BA tBC AC -≤u u u r u u u r u u u r 恒成立，则实 数t 的取值范围是_____________ 5、设直角ABC ?的三个顶点都在单位圆2 2 1x y +=上，点11 (,)22 M ，则|| MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 的最大值是（ ） A 1 B 2 C ． 12+ D ．22 + 6、已知向量,,a b c r r r 满足4,a b ==r r a r 与b r 的夹角为4 π ，()()1c a c b -?-=-r r r r ， 则c a -r r 的最大值为（ ） 1 2 B. 12+ C. 12 1 7、（2016，上海五校联考）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2 2 :650C x y x +-+=，点 ,A B 在圆上，且AB =OA OB +u u u r u u u r 的取值范围是_________ 8、（2015，湖南）已知点,,A B C 在圆2 2 1x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为 ()2,0，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9、已知,a b r r 为非零向量，()m a tb t R =+∈u r r r ，若1,2a b ==r r ，当且仅当1 4 t =时，m u r 取 到最小值，则向量,a b r r 的夹角为_______ 10、（2016，重庆万州二中）已知单位向量,a b r r 满足0a b ?=r r ，且2c a c b -+-=r r r r 2c a +r r 的取值范围是（ ） A. []1,3 B. ???? C. 5??? D. 5?? ???? 11、（2016，贵阳一中四月考）已知点G 是ABC V 的重心，若120A ∠=o ，2AB AC ?=-u u u r u u u r ， 则AG u u u r 的最小值是（ ） A ． 3 B ． 2 C ． 23 D ． 34 习题答案： 1、答案： 23 解析：cos 24AB AC AB AC A AB AC ?=?=-??=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r G Q 为ABC V 的重心，延长AG 交BC 于M ，则AM 是中线 ()() 22113323AG AM AB AC AB AC ∴==?+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ( ) 2222221112114=9999999AG AB AC AB AC AB AC AB AC ∴=+++?=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2228AB AC AB AC +≥=u u u r u u u r u u u r u u u r Q 2844999AG ∴≥-=u u u r 23 AG ∴≥u u u r 2 、答案：解析：22222211222c ta b c t a b tc a c b a b t t t ++=+++?+?+?r r r r r r r r r r r r ，代入已知条件可得： 22 2211211222c ta b t t t t t t t t t ????++=++++=+++ ? ????? r r r t R +∈Q 1 2t t ∴+≥ [)22 11128,c ta b t t t t t ???? ∴++=+++∈+∞ ? ????? r r r 1c ta b t ∴++≥r r r 3 、答案：1?+? 解析：设() m c a b =-+u r r r r ，因为,a b r r 是单位向量，且0a b ?=r r ，所以a b +r r 的 向量，由已知可得1m =u r ，所以数形结合可知：() c m a b =++r u r r r ，从而c r 的范围是 1?+? 4、答案：1,12?? ???? 解析：由余弦定理可得：2 2 2 2cos AB AC BC AC BC C AB =+-???= () 2 2BA tBC AC BA tBC AC ∴-≤?-≤u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22222BA BA BC t BC t AC ?-??+≤u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r () 29BA BC BC CA BC BC CA BC ?=+?=+?=u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r 2227181211218602310t t t t t t ∴-+≤?-+≤?-+≤ 1 12 t ∴≤≤ 5、答案：C 解析：由题意，22MA MB MC MA MO MA MO +++≤+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，当且仅当M O A ，，共线同向时，取等号，即MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 取得最大值，最大值是232 21122 ++=+， 6、答案：D 解析：设 ,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ； 以OA 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵4,22,a b ==r r a r 与b r 的夹角为4 π ， 则()()4,0,2,2A B ，设(),C x y ∵()()1c a c b -?-=-r r r r 226290x y x y ∴+--+=， 即 2 2 311x y -+-=（）（） 表示以()3,1为圆心，以1为半径的圆， c a -r r 表示点A ，C 的距离即圆上的点与点()4,0A 的距离； ∵圆心到B 的距离为 2)01()43(22=-+-， ∴c a -r r 的最大值为12+． 7、答案：[]4,8 解析：设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点()00,M x y 12012 022 x x x y y y +?=??∴?+?=?? 2OA OB OM ∴+=u u u r u u u r u u u u r 由圆2 2 :650C x y x +-+=可得：()2 234x y -+= ()3,0,2C CA r ∴== 1CM ∴== M ∴在以C 为圆心，半径1r =的圆上 2,4OM OC r OM OC r ∴≥-=≤+= 即24OM ≤≤ 48 OA OB ≤+≤u u u r u u u r 8、答案：B 解析：由AB BC ⊥可知AB 为直径，因为该圆为圆心在原点的单位圆，所以,A B 关于原点对称，设 (),A m n ，则(),B m n --，设(),C x y ，所以可得： ()()()2,,2,,2,PA m n PB m n PC x y =-=---=-u u u r u u u r u u u r ，所以()6,PA PB PC x y ++=-u u u r u u u r u u u r ， 则()2 226PA PB PC x y ++=-+u u u r u u u r u u u r ，因为C 在圆上，所以2222 11x y y x +=?=-，代入可得2371249PA PB PC x ++=-≤u u u r u u u r u u u r ，故7PA PB PC ++≤u u u r u u u r u u u r 9、答案：23 π 解 析 ： () () 2 22222 2421 m a tb a ta b t b t a b t =+=+?+=+?+u r r r r r r r r r ，设 ()() 2 421f t t a b t =+?+r r ，因为1 4 t =时，2m u r 取得最小值，所以()f t 的对称轴 () 21184a b t a b ?=-=??=-r r r r ，所以1cos ,2a b a b a b ?==-?r r r r r r ，所以,a b r r 夹角为 23π 10、答案：D 解析：以,a b r r 为基底建立直角坐标系，可知()()1,0,0,1a b ==r r ，设(),c x y =r 2c a c b -+-= =r r r r 即(),C x y 到()()1,0,0,2A B AB =Q C ∴在线段AB 上，AB 直线方程为220x y +-= 2c a += r r ，即线段AB 上动点C 到定点()2,0D -的距离 通过数形结合可得：min 2D AB c a d -+== =r r max 23c a DA +==r r 所以2c a +r r 的取值范围是? ??? 11、答案：C 解析：2cos 2AB AC cb A ?=-==-u u u r u u u r ，可知4bc =，设AD 为底边BC 上的中线， 由重心性质可得： ()() 22113323AG AD AB AC AB AC ==?+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r () () ()222222111 24999 AG AB AC AB AC AB AC c b =+=++?=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2228b c bc +≥=Q ()214 8499AG ∴≥-= u u u r 23 AG ≥u u u r 高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7） 《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。 平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D 2016年高考数学理试题分类汇编 平面向量 一、选择题 1、（2016年北京高考）设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 2、（2016年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos 4、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点， 连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811 【答案】B 5、（2016年全国II 高考）已知向量(1,)(3,2)a m a =-， =，且()a b b ⊥+，则m =（） （A ）－8（B ）－6（C ）6（D ）8 【答案】D 6、（2016年全国III 高考）已知向量13(, )2BA =,31(,),2 BC =则∠ABC= (A)300(B)450(C)600(D)1200 【答案】A 二、填空题 1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是 . 【答案】[0,12]+ 2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足=++j i OA ，则点P 落在第一象限的概率是. 高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答 1．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（ ） A. () 12a b c ++ B. () 1 2a b c -++ C. ( ) 12a b c -+ D. () 1 2 a b c +- 2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是 A ． 34 B ．1 C ． 32 D. 3 1 3．若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE = A.12b a + B.12a b + Ｃ.12b a - Ｄ.1 2 a b - 4．在平面内，已知31==，0=?OB OA ， 30=∠AOC ，设 n m +=， （,R m n ∈），则n m 等于 A ． B ．3± C ．1 3± D ．3 ± 5．在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>，则BC = ( ） A ．（-3，-1） B ．（-3,1） C ．(3,1)- D ．（3,1） 6．已知,,A B C 三点共线，且(3,6)A -，(5,2)B -，若C 点横坐标为6，则C 点 的纵坐标为（ ）． A ．13- B ．9 C ．9- D ．13 7．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是 A ．()()a b c c b a ??=?? B. a b a b -≤+ C ．若a b a c ?=?，则b c = D ．若//,//a b a c ，则//b c 8．设四边形ABCD 中，有DC =2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.等腰梯形 C. 矩形 D.菱形 9．已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ). A.17- B.17 C.1 6 - D.16 平面向量板块测试 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(12×5′＝60′) 1.下列五个命题：①|a 2|=2a ;②a b a b a =?2;③222)(b a b a ?=?;④2222)(b b a a b a +?-=-; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0. 其中正确命题的序号是 ( ) A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤ 2.若AB =3e ,=-5e 且|AD |=|，则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形 3.将函数y =sin x 按向量a ＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( ) A.y ′=sin(x ′-1)-1 B.y ′=sin(x ′+1)-1 C.y ′=sin(x ′+1)+1 D.y ′=sin(x ′-1)+1 4.若有点1M (4，3)和2M (2，-1)，点M 分有向线段21M M 的比λ＝-2，则点M 的坐标为 ( ) A.(0，-35) B.(6，7) C.(-2，-3 7 ) D.(0，-5) 5.若|a +b |=|a -b |，则向量a 与b 的关系是 ( ) A.a =0或b =0 B.|a |=|b | C.ab =0 D.以上都不对 6.若|a |=1，|b |=2，|a +b |=7，则a 与b 的夹角θ的余弦值为 ( ) A.-21 B.21 C.3 1 D.以上都不对 7.已知a =31e -42e ,b =(1-n )1e +3n 2e ,若a ∥b 则n 的值为 ( ) A.- 54 B.5 4 C.4 D.2 8.平面上三个非零向量a 、b 、c 两两夹角相等，|a |=1，|b |=3,|c |=7,则|a +b +c |等于 ( ) A.11 B.27 C.4 D.11或27 9.等边△ABC 中,边长为2,则·BC 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 10.已知△ABC 中，)(2222444b a c c b a +=++，则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y =f (x )cos x 的图象按向量a =( 4 π ,1)平移，得到函数x y 2sin 2=的图象，那么函数f (x )可以是 （ ） A.cos x B.2cos x C.sin x D.2sin x 1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A.()1,1,0- B. ()1,1,0- C.()0,1,1- D.()1,0,1- 3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足 CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________. 【答案】17+ 【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程 4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==， 3,2CP PD AP BP =?=，则AB AD ?的值是 . 5. 【2014陕西高考理第13题】设2 0π θ< <，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，若b a //，则 =θtan _______. 6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==?=点Q 满足 2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<. 若C Ω为两段分离的曲线，则( ) A. 13r R <<< B.13r R <<≤ C.13r R ≤<< D.13r R <<< 考点：1.平面向量的应用；2.线性规划. 7. 【2014高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则 ||λ= . 高考数学试题分类汇编 平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 2.（山东理12）设 1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312 A A A A λ=（λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且1 1 2 λ μ + =,则称 3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知 平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0, )3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π θπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =1 2- ，,a c b c --=0 60，则c 的 最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1 x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD 相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22 ) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1) D ．λ(AB －BC )，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋ED B ．EF －DE C ．EF ＋AD D ．EF ＋AF 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b | 1．【答案】A 【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2. ∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A. 方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在? ABCD 中，设AB →＝a ，AD → ＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB → |， 从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A. 2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A 【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0. 当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A. 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0. 反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0?cos 〈m ，n 〉＜0?〈m ，n 〉∈????π2，π， 数学必修4平面向量综合练习题 一、选择题【共12道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c C. D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b 参考答案与解析:解析：A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥b,a⊥c,b与c反方向则不成立;C中应 为;D中b⊥c b·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b. 答案：D 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、设e是单位向量,=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 参考答案与解析:解析：,所以||=||,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为||=||=2,所以四边形ABCD是菱形. 答案：B 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+3b，d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3 参考答案与解析:解析：∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,∴k=6. 答案：A 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、设0≤θ＜2π,已知两个向量=(cosθ，sinθ),=(2+sinθ，2-cosθ)，则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D . 参考答案与解析:解析：=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ), 所以||=≤=. 答案：C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、设向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 高中数学平面向量组卷 一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）?=（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（） A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则 的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形 9．已知点G是△ABC的重心，若A=，?=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量?=（） A．﹣B．C．﹣D． 11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象 交于D，E两点，则（）?的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）?（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形 13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心 15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（） A．B．C．D． 2011年高考数学试题分类汇编9——平面向 量 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++ = A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ= （μ∈R ），且1 1 2 λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知 平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0, )3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b π θπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π θπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =1 2- ，,a c b c --=060，则 c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则| |c b a -+的最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】 D 41 20 3 3 3 2 5 2 《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点 P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） 9 A.x=-1 B.x=3 C.x= D.x=51 2 2.与向量 a=(-5,4)平行的向量是（ ） 5 4 A.（-5k,4k ） B.(- ,- ) C.(-10,2) D.(5k,4k) k k 3 3.若点 P 分 AB 所成的比为 ，则 A 分 BP 所成的比是（ ） 4 3 7 7 3 A. B. C.- D.- 7 3 3 7 4.已知向量 a 、b ，a·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量 a 与 b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|= ,|a|=4,|b|=5，则向量 a·b=（ ） A.10 B.-10 C.10 D.10 6．(浙江)已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量 c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则 c ＝( ) A.(7，7 ) B.(－7，－7) C.(7，7 ) D.(－7，－7) 9 3 3 9 3 9 9 3 7.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与 b 垂直，则 x 的值为（ ） 23 3 2 A. B. C.2 D.- 3 23 5 8. 设点 P 分有向线段 P 1 P 2 的比是λ，且点 P 在有向线段 P 1 P 2 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） 1 A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- ) 2 9. 设四边形 ABCD 中，有 DC = 1 2 AB ，且| AD |=| BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10. 将 y=x+2 的图像 C 按 a=(6,-2)平移后得 C′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11. 将函数 y=x 2+4x+5 的图像按向量 a 经过一次平移后，得到 y=x 2 的图像，则 a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12. 已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第 4 个顶点 D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13. 设向量 a=(2,-1)，向量 b 与 a 共线且 b 与 a 同向，b 的模为 2 ， 则 b= 。 14.已知：|a|=2,|b|= ,a 与 b 的夹角为 45°，要使λb -a 垂直，则λ= 。 15. 已 知 |a|=3,|b|=5， 如 果 a∥b， 则 a·b= 。 16.在菱形 ABCD 中，（ AB + AD ）·（ AB - AD ）= 。 1 平面向量单元测试 一、选择题【共 12 道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A. 两个单位向量的数量积为 1 B. 若a·b=a·c 且a≠0, 则 b=c C. D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b 2、设e 是单位向量,=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD 是( ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3 、已知|a|=|b|=1 ，a 与 b 的夹角为90°,且c=2a+3b ，d=ka-4b, 若c⊥d,则实数 k 的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3 4、设0≤θ＜2π,已知两个向量=(cosθ，sinθ),=(2+sinθ，2-cosθ)，则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D. 5、设向量 a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量 4a、4b-2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 6、已知向量 a=(3，4)，b=(-3，1)，a 与b 的夹角为θ,则ta nθ等于( ) A. B.- C.3 D.-3 7 、向量a 与 b 不共线,=a+kb,=la+b(k 、l∈R),且与共线, 则 k 、l 应满足( ) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0 8、已知平面内三点 A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ的值为( ) A.3 B.2 C. D. 9、设平面向量 a1，a2，a3 的和a1+a2+a3=0，如果平面向量 b1，b2，b3 满足|bi|=2|ai|，且 ai 顺时针旋转30°后与 bi 同向，其中 i=1，2，3，则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0 C.b1+b2- b3=0 D.b1+b2+b3=0 10、设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点，点 Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若,且·=1,则P 点的轨迹方程是( ) A.3x2+ y2=1(x＞0,y＞0) B.3x2 y2=1(x＞0,y＞0) 1 / 10 高考数学模拟试题：平面向量 △注意事项： 1.填写答题卡请使用2B铅笔填涂 2.提前5分钟收答题卡 一、选择题（本大题共10小题） 1.（2010聊城期末）已知向量 （） A． B． C． D． 【答案解析】 2.（2010山东猜题卷）O为△ABC的内切圆圆心，且AB=5、BC=4、CA=3， 下列结论中正确的是（） A． B. > C. == D. <= 【答案解析】答案：A 3.（2010临沂一模文）若O为△ABC所在平面内一点，且满足 ，则△ABC的形状为 A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、以上都不对 【答案解析】答案：C 4.（2010济宁质检一文）已知向量，设，若， 则实数的值为 A.－ 1 B. C. D. 1 【答案解析】答案：B 5.（2010湖南师大附中月考文）已知|p |=22，|q |=3，p ，q 夹角为 4 π ，则以p ，q 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为 () A ．5 B ．5 C ．9 D ．27 【答案解析】A 6.（2010海淀区二模文）已知向量)(||),2,1(),1,2(R b a b a ∈+==λλ则的最小值为 （ ） A ． 55 B ．5 52 C ． 5 5 3 D ．5 【答案解析】C 7.（2010湖北鄂州5月模拟理）已知、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足 (－)·(b －)＝0，则c 的最大值是 A ．1 B ．2 C ．2 D ．22 【答案解析】C 8.（2010宜昌一中10月月考文）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动 点P 满足OP =OA +λ(AB AC |AB ||AC | + )，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 【答案解析】B 9.（2010海淀区期末文）已知向量 的夹角 是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案解析】C 第五章 平面向量 一 平面向量的概念及基本运算 【考点阐述】 向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示． 【考试要求】 （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法． （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． （4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 【2010年湖北卷理5文8】．已知△ABC 和点M 满足MA +MB +MC =0．若存在实数m 使得 AB +AC =m AM 成立，则m =B A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】由MA +MB +MC =0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则 AM = 31AD =32·21（AB +AC ）=3 1 （AB +AC ），所以有AB +AC =m AM ，故m =3，选B ． 【2010年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB ．若CB =a ，CA =b ，| a |=1，| b |=1，则=B A ． 31a +32b B ．32a +31b C ．53a +54b D ．54a +5 3b 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得 CB CA DB AD =2，所以D 为AB 的三等分点，且=32=32（―），所以=+=32+31=32a +3 1b ． 【2010年陕西卷理11文12】．已知向量a =（2，―1），b =（―1，m ），c =（―1，2），若（a +b ）∥c ，则m = ． 【答案】―1 【解析】∵a +b =（1，m ―1），c =（―1，2），∴由（a +b ）∥c 得1×2―（―1）×（m ―1）=0，所以m =―1． 【2010年高考上海市理科13】．如图所示，直线x =2与双曲线Г：4 2 x ―y 2=1的渐近线交于E 1，E 2两点， 记1OE =e 1，2OE =e 2，任取双曲线上的点P ，若=a e 1+b e 2（a ，b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 ．4ab =1 【答案】4ab =1 【2010年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（5， 全国高考理科数学试题分类汇编：平面向量 一、选择题 1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分 别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?, 则,m M 满足（ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】D ． 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）） 已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为（ ） A ．3 455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ， 【答案】A 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 1 0= ,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00?≥?.则（ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D [来源:学。科。网Z 。X 。X 。K] 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四 边形的面积为（ ） A 5B ．25C ．5 D ．10 【答案】C 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满 足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r g 则点集{} |,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r 所表示的区域的面积是（ ） A ．22B ．3C ．42D ．43【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）） 在平面上,12AB AB ⊥u u u r u u u u r ,121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r .若12 OP 高考数学平面向量试题汇编
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