河南省2019级普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)

普通高中学业水平考试

数 学

本试题卷共4页，三大题，29小题，满分100分，考试时间120分钟

一、选择题(共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，则C U A=

A ．{1，3，5}

B ．{2，4，6}

C ．{3，4，5}

D ．{1，3，4，5} 2．函数f (x)=2

1x 的定义域为

A ．{x|x ≠0}

B ．(0，+∞)

C ．[0，+∞)

D ．R 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是

A ．圆柱

B ．圆锥

C ．棱台

D ．圆台

4．同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是

A ．

31 B ．41 C ．61 D ．12

1 5．函数f (x)=3x -x-2的零点的个数为

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0 6．直线l 经过点P(0，2)，倾斜角是135°，则直线l 的方程是

A ．x+y-2=0

B ．x+y+2=0

C ．x-y+2=0

D ．x-y-2=0 7．下列函数中，在R 上是增函数的是

A ． y=lgx

B ． y=2

1log x

C ．2

21??

?

??=y D ．y=10x

8．在等比数列{a n }中，a 2=2，a 3=4，则其前10项和是

A ．511

B ．1023

C ．1024

D ．2047 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=

A ．10

B ．45

C ．55

D ．66

10．已知对数函数y=f (x)的图象过点(e ，1)，则f(e 3)=

A ．－3

B ．1

C ．2

D ．3

11．已知样本数据x ，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6的平均数为5，方差为2，则样本数据x 1+3，x 2+3，x 3+3，

x 4+3，x 5+3，x 6+3的平均数和方差分别为

A ．8和2

B ．8和5

C ．5和3

D ．5和8 12．已知sin θ>0，cos θ<0，那么θ是

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角 13．△ABC 的三边长分别为3，5，7，则△ABC 的形状是

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定 14．函数y=sin(2x+

2

π)是 A ．周期为2x 的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数

15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b=2a ，A=30°，则B=

A ．45°

B ．60°

C ．60°或120°

D ．45°或135°

16．函数f (x)=12

1

4++x x 的图象关于

A ．y 轴对称

B ．直线y=－x 对称

C ．坐标原点对称

D ．直线y=x 对称

二、填空题(共7小题，每小题3分，共21分)

17．函数f (x)=log 2x+x(x ∈[1，4])的值域是 。

18．“敬业”餐饮店为了研究每天卖出的热茶杯数与当天气温的关系，收集了若干数据，并对其进行

分析，得到每天卖出的热茶杯数y(杯)与当天气温x(°C)的回归方程为y

?=57.56-1.65x 当某天的气温是-2°C 时，预测这天卖出的热茶杯数为

19．不等式x 2-x-6≤0的解集是 。

20．已知直线l 1：2x-y+5=0，l 2：mx-2y+7=0，若l 1∥l 2，则m= 。 21．sin37°cos23°+cos37°sin23°的值为 。

22．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点都在同一球面上，且AB=11，AD=23，AA1=3，则该球

的半径是

23．已知x ，y 满足约束条件??

?

??≥-+≤≤,022,1,2y x y x 则z=x-y 的最大值为 。

三、解答题(共6小题，共31分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 24．(本题满分4分) 已知tan a =3，求a

a a

a cos 2sin cos 2sin -+的值。

25．(本题满分4分)

求以M(1，-2)为圆心，并且与直线x+3y+15=0相切的圆的方程。

26．(本题满分5分)

已知在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A(-3，4)，B(2，5)．

(I)求OB OA ?； (Ⅱ)求∠AOB 的余弦值。 27．(本题满分5分)

从某部门参加职业技能测试的2000名员工中抽取100名员工，将其成绩(满分100分)按照[20，40)，[40，60)，[60，80)，80，100]分成4组，得到如图所示的频率分布直方图。

(I)估计该部门参加测试员工的成绩的中位数； (I)估计该部门参加测试员工的平均成绩。

28．(本题满分6分)

如图，在三棱柱ABC-A 1B 2C 3中，点D 是AB 的中点。

(I)求证：AC 1∥平面CDB 1；

(Ⅱ)若CC 1⊥平面ABC ，CC 1=6，AC=3，BC=4， ∠ACB=120°，求三棱柱ABC-A 1B 2C 3的体积.

29．(本题满分7分) 已知数列{a n }满足n n n a a a a n 21

25323

21+=-+??+++

. (I)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设数列{

n

a 1

}的前n 项和为S n ，求S n 。

数学参考答案

一、选择题(共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

二、填空题(共7小题，每小题3分，共21分) 17、[1，6]； 18、61； 19[－2，3]； 20、4； 21、

2

3

22、3； 23、4. 三、解答题(共6小题，共31分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 24．(本题满分4分)

解：2

tan 2tan cos 2sin cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin -+=-+=-+a a a

coaa a a a

a a a a a

将tana=3代入上式，得

52

32

3cos 2cos 2sin =-+=-+a sian a a

25.（本题满分4分）

解：根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线的距离

103

115

)2(31|2

=++-?+=

d

所以圆的半径r=10

所求圆的方程是(x-1)2+ (y +2)2=10. 26.

解：由已知，得)5,12(),4,3(=-= 所以165412)3(-=?+?-=? ∠AOB 65

165124)3(16

2

222-

=++--=

27 (本题满分5分

解： (1)设中位数为x 分，

因为前2组频率之和为0.1+0.2=0.3<0.5，

而前3组频率之和为0.1+0.2+0.4=0.7>0.5， 所以60≤x<80.

由0.02(x-60)=0.5-(0.1+0.2) 解得x=70.

故可估计该部门参加测试员工的成绩的中位数为70分. (Ⅱ)抽取的100名员工的平均成绩：

x =30×0.1+50×0.2+70×04+90×0.3

=3+10+28+27 =68

故可估计该部门参加测试员工的平均成绩为68分。 28.(本题满分6分)

证明：(1)设BC 1∩B 1C=E ，连接DE.

因为四边形BB 1C 1C 是平行四边形， 所以E 是BC 1的中点 在△ABC 中，

因为BE=BC 1，BD=DA ， 所以DE ∥AC 1

又因为DE ∈平面CDB 1，AC 1∈平面CDB 1. 所以AC 1∥平面CDB 1

解：(Ⅱ)因为CC 1⊥平面ABC.

所以CC 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高 △ABC 的面积S=

21

A C ·BC sin ∠AC

B =2

1×3×4×sin120°

=

2

1

×3×423

=33

所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积

29.(本题满分7分)

解：(I)当n=1时，得a 1=3n n n a a a a n 21

25323

21+=-+??+++

当n ≥2时，由)1(2)1(1

)1(253213

21-+-=--+??+++

-n n n a a a a n 两式相减，得

1

2-n a n

=2n+1， 整理，得a n =(2n-1)(2n+1) 当n=1时，上式仍成立

所以数列{a n }的通项公式为a n =(2n-1)(2n+1) （Ⅱ）

n a 1＝1)

1)(2n -(2n 1+ ＝

)1

21

121(21+--n n 所以S n ＝

n

a a a 11121+??++ ＝??

????+--+??+-+-)121121()5131()311(21n n