(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法.doc
( 高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法
相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟， 将复杂的函数求导， 再对导函数
求导，再求导，然后就没有然后了 ......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的
结论
⑴ sin x
x, x (0, ) ，变形即为
sin x
1，其几何意义为 y sin x, x (0,
) 上的的点与
原点连线斜率小于 1. x
⑵ e x
x 1 ⑶ x ln( x
1) ⑷ ln x x e x , x
0 .
将这些不等式简单变形如下：
1
1
ln x x 1,e x
x 1,e x ex,ln x
1 那么很多问题将迎刃而解。 x
ex
例析：（ 2018 年广州一模） 设 f ( x) ax ln x 1, 若对任意的 x 0, f ( x) x e 2 x 恒成立， 求
a 的取值范围。
放缩法：由 e x
x 1可得：
e 2 x ln x 1
xe x (ln x 1)
e 2x ln x
(ln x 1) 2x ln x 1 (ln x 1)
2
x
x
x x
高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩
（放缩成一次函数） ln x
x 1， ln x x ， ln 1 x
x
（放缩成双撇函数） ln x
1 x 1 x 1 ， ln x
1 x 1 0 x 1 ，
2 x
2 x
ln x
x
1
x 1 ， ln x
x
1 ，
0 x 1
x
x
（放缩成二次函数）
ln x x 2
x ， ln 1 x
x 1 x 2
1 x 0 ，
1 x 2
2
ln 1 x
x x 0 2
ln x 1
1
，ln x
2 x 1
1 ，
ln x 2 x 1
（放缩成类反比例函数） x 1 x
x 0 x 1
，
x
1
ln 1 x
x
， ln 1 x
2x
， ln 1 x
2x x 0
1
1 x 0 1 x
x
x
第二组：指数放缩
（放缩成一次函数） e
x
x 1 ， e x
x ， e x ex ，
（放缩成类反比例函数）
e
x
1 1 x
0 ， e x
1 x 0 ，
x
x
（放缩成二次函数） e
x
1 x 1 x
2 x 0 ， e x 1 x 1 x 2 1 x
3 ，
2
2
6
第三组：指对放缩
e x ln x
x 1 x 1
2
第四组：三角函数放缩
sin x x tan x x 0 ， sin x x
1
x 2
， 1 1
x
2
cos x
1
1
sin 2 x .
第五组：以直线 y
x 1 为切线的函数 2 2
2
y ln x ， y e
x 1
1， y x
2
x ， y 1
1
， y x ln x .
x
拓展阅读： 为何高考中总是考 e x 和 ln x 这些超越函数呢？ 因为高考命题专家是大学老
师，
他们站在高观点下看高中数学，
一览无遗。 作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，
但
是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。 超越函数本质上就是高等数学
中的泰勒公式。即从某个点
x 0 处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中
的值，如果这个点是 0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：