轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称中几何动点最值问题

总结

-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：

（1）两点之间线段最短；

（2）三角形两边之和大于第三边；

（3）垂线段最短。

初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。

（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）

问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。

核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。

方法：1.定点过动点所在直线做对称。

2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。

变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）

问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。

核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。变异类型：

1.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△PAB 的周长最小。

2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。

（3）两点两线的最值问题: （两个动点+两个定点）

问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。

核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

变异类型：

1.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB的值最小时，点P的坐标为

( )

（4）两点两线的最值问题:（两个动点+两个定点）

问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。

核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。

变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。

1. 如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

二、常见题目

Part1、三角形

1．如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE=2，求EM+EC 的最小值。

2．如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____。

3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值。

Part2、正方形

1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，丐DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小。

2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（）

A ．32

B ．62

C ．3

D ．6

3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC

边的中点，点P 为对角线

AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。

立体几何动点问题

立体几何与平面解析几何的交汇问题在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。一、动点轨迹问题这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。例1定点A 和B 都在平面α内，定点α?P ，α⊥PB ， C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥。那么，动点C 在平面α内的轨迹是（） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点例2若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到平面BCD 距离与到棱AB 距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（））解：设二面角A —BC —D 大小为θ，作PR ⊥面BCD ，R 为垂足，PQ ⊥BC 于Q ，PT ⊥AB 于T ，则∠PQR =θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴ 为小于1的常数，故轨迹图形应选（D ）。二、几何体的截痕

例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab ，其中a,b 为长、短半轴长）。解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时 b=R ，a= =2R ，∴离心率，投影面积S=πab=π·k·2R=2πR 2=18π。三、动点与某点（面）的距离问题 , 例4．正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是 1AA 的中点，在对角面D D BB 11上找一动点M ，使AM+ME 最小.a 23．四、常见的轨迹问题（1）轨迹类型识别此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交 α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB 的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面α与线段AB 的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A. 总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，若四边形A 1BCD 1 内一动点P 到AB 1和 BC 的距离相等，则点P 的轨迹为（） … A ．椭圆的一部分 B ．圆的一部分 C ．一条线段 D ．抛物线的一部分 O E 例4题图 A % C D A 1 C 1 D 1 B 1 M - C D B C P O

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若AE=2,EM+CM的最小值为( ) A．4 B.8 C. D. 2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B.22.5° C.30° D. 45° 3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是_____________.

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1),要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析:如图２,我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点Ｍ，使AM与BＭ的和最小。设A′是Ａ的对称点,本问题也就是要使A′Ｍ与BＭ的和最小。在连接Ａ′Ｂ的线中,线段Ａ′B最短。因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。如图3，为了证明点Ｃ的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接ＡN、BN、Ａ′N。因为直线ａ是Ａ,A′的对称轴,点M，N在a上，所以AＭ= A′M,AＮ= A′N。 ∴ＡM+BＭ= A′M+ＢM＝ A′Ｂ在△A′BＮ中, ∵Ａ′Ｂ

立体几何动态问题专题

立体几何的动态问题立体几何的动态问题，主要有五种：动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨迹问题。基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等。解题时一般可以通过改变视角、平面化或者寻找变化过程中的不变因素而把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中，若能再配以沉着冷静的心态去计算，那么相信绝大多数问题可以迎刃而解。动点轨迹问题空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面（圆锥，圆柱侧面，球面）交线得圆，圆锥曲线。很少有题目会脱离这三个方向。（注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义） 1．（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB ＝30°，则点P的轨迹是( ) A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支式题如图，平面α的斜线AB交α于B点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点满足∠＝π 6 ，若动点C的轨迹为椭圆，则θ的取值范围为________． 3．（2015春?龙泉驿区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题： ①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在的曲线是直线； ②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在的曲线是圆； ③若P满足∠MAP＝∠MAC1，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆； ④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为2：1，则动点P的轨迹所在的曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．其中真命题的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1

立体几何中的动点问题

立体几何中的动点问题 1、如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，⊥PA 平面ABCD ，且4=PA ，M 是PB 上的一个动点（不与B P ,重合），过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()x f y =的图象是C 2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，且CD BD ⊥，CD BD AB ==，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若PBD ?的面积为()x f ，则()x f 的图象大致是A

3、如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，1=AB ，N M ,分别在BC AD ,1上移动，始终保持//MN 平面11D DCC ，设x BN =，y MN =，则函数()x f y =的图象大致是 C 4、如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________2π 5、点P 在正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1BC 上运动，给出下列命题： ①三棱锥PC D A 1-的体积不变； ②//1P A 平面1ACD ； ③1BC DP ⊥； ④平面⊥1PDB 平面1ACD ；其中正确的命题序号是_______①②④

6、在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为11C B ，11D C 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是_______22 7、已知直三棱柱111C B A ABC -中的底面为等腰直角三角形，AC AB ⊥，点N M ,分别是边C A AB 11,上动点，若直线//MN 平面11B BCC ，点Q 为线段MN 的中点，则点Q 的轨迹为 C .A 双曲线的一支（一部分） .B 圆弧（一部分） .C 线段（去掉一个端点） .D 抛物线的一部分解：以AB 为轴，AC 为轴，1AA 为轴建系设()b ta M ,0,1，()tb ta M ,0,，()b ta N ,,01，则()()b t ta N -1,,0，()tb ta M ,0,()10<≤t 则N M ,中点?? ? ??2,2,2b ta ta Q (通过作与平面11B BCC 平行的平面交C A AB 11,来找N M ,进而找中点Q )

中考几何最值问题(含答案)

几何最值问题一．选择题（共6小题） 1．（2015?孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（） 3 AE==3，． 2．（2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（） 5050+50

LN=AS==40 MN==50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50 =50 3．（2014秋?贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）

4．（2014?无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（） C OE=AE=AB=× AD=BC= DE= ADE==， =

DF=， OA=AD= 5．（2015?鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（） C D ，连结，此时四，连结MN= =， =，，

PC= PDC==． 6．（2015?江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE 为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（） C BG AD=BD=AB=3 CE=

数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例

数学竞赛辅导系列专题（一）利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学生都得到发展”。“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。” 纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。因此，教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）（￡，只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P, 则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。（证明：如图（2 ）②,在L上任取一点P i ,连结P i A , P i B , P i C ,因为 P i A+P i B=P i C+P i B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。）（二）应用和延伸：例i、（七年级作业本题）如图（3），/ AOB内有一点P,在0A 和0B边上分别找出M、N，使△ PMN的周长最小。解：如图（4），只要画出P点关于OB 0A的对称点P i, P2 ,连结P i、P2交OB 0A于 M N,此时△ PMN的周长PM+PN+MN i ff2为最小。（证明略）例2、在图（i ）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是i 千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：如图（i）①所示，只要过A i点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt △ ABH中，A i H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得AB的长度为4迈千米。即PA+PB的最小值为 4 2 千米。 A A

轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。方法：1.定点过动点所在直线做对称。 2. 连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。 1.如图，直线I和I的同侧两点A B,在直线I上求作一点P，使PA+PB最小。问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个

动点使线段和最短核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。变异类型： 1.如图，点P是/ MON内的一点，分别在OM ON上作点A, B。使△ PAB的周长最小。（3）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。变异类型： 1.如图，点P, Q为/ MON内的两点，分别在OM ON上作点A，B。使四边形PAQB勺周长最小。 2.如图, 点A是/ MON外的一点，在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小。、1 —

立体几何中的最值问题(一)

2 5 2 5 2 5 3 3 立体几何中的最值问题（一）立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。一、运用变量的相对性求最值例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为，点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（） A. B. C. 2 D. 1 5 5 解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，OQ = 中。又P 在BD 上运动，且当 5 P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。 5 图 1 二、定性分析法求最值例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为。解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。故CD ≥。 2 5

图 2 三、展成平面求最值例 3. 如图 3-1，四面体 A-BCD 的各面都是锐角三角形，且 AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱 AB 、BC 、CD 、DA 于点 P 、Q 、R 、S ，则四边形 PQRS 的周长的最小值是（） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图 3-1 解析：如图 3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且 AB=CD ， AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与 A’、D 与 D’在四面体中是同一点，且 AD // BC // A ' D ' ， AB // CD '， A 、C 、A’共线，D 、 B 、D’共线， AA ' = DD ' = 2BD 。又四边形 PQRS 在展开图中变为折线 S’PQRS ， S’与 S 在四面体中是同一点。因而当 P 、Q 、R 在 S’S 上时， S ' P + PQ + QR + RS 最小，也就是四边形 PQRS 周长最小。又 S ' A = SA '，所以最小值 L = SS ' = DD ' = 2BD = 2b 。故选 B 。图 3-2 四、利用向量求最值例 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-EFGH 中，P 是 AF 上的动点，则 GP+PB 的最小值为。

利用轴对称模型求线段和的最小值

利用轴对称模型求线段和的最小值近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。（1）A B A

总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，图5 图6 由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 3 22 3DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3 。跟踪练习1：如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径

立体几何动点问题

1 A 1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=2 2 ，则下列结论中错误．．的个数是( ) (1) AC⊥BE. (2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为2 2 . (3) 三棱锥A-BEF的体积为定值. (4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条. (5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40?并且与平面BEF所成角为50?的直线有2条. A.0 B.1 C.2 D.3 2．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且 2 2 = EF,则下列结论中错误．．的是（） A．B．∥平面 C．三棱锥的体积为定值 D．△AEF与△BEF的面积相等 3.关于图中的正方体1 1 1 1 D C B A ABCD-，下列说法正确的有 ___________________． ①P点在线段BD上运动，棱锥1 1 D AB P-体积不变； ②P点在线段BD上运动，二面角 A D B P- - 1 1不变； ③一个平面 α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形； ④一个平面 α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面 α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面 1 1 D AB 与平面1 BDC 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。 4、如图,正方体1111 ABCD A BC D - 的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段1 CC 上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号). ①当 1 2 CQ << 时,S为四边形; ②当 1 2 CQ= 时,S不为等腰梯形; ③当 3 4 CQ= 时,S与11 C D 的交点R满足 1 1 3 C R= ; 1 1 1 1 D C B A ABCD- 1 1 D B F E, BE AC⊥EF ABCD BEF A-

几何最值—轴对称求最值(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：几何最值问题的理论依据是什么？答：两点之间，________________；（已知两个定点） _______________最短（已知一个定点、一条定直线）；三角形____________________（已知两边长固定或其和、差固定）．答：问题2：做题前，读一读，背一背：答：直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P,使P与A B 两点距离之差最大作A点关于L的对称点A1,连接A1B,并延长交L的一点就是所求的P点. 这样就有：PA=PA1,P点与A,B的差PA-PB=PA1-PB=A1B. 下面证明A1B是二者差的最大值. 首先在L上随便取一个不同于P点的点P1,这样P1A1B就构成一三角形,且P1A1=P1A. 根据三角形的性质,二边之差小于第三边,所以有： P1A1-P1B

几何最值—轴对称求最值一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，且点E在正方形ABCD的内部，在对角线AC上存在一点P，使得PD+PE的值最小，则这个最小值为( ) B. . 答案：C 《解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称—线段之和最小 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作 DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．AB=10cm，BC=6cm，P是直线DE上的一点，连接PC，PB，则△PBC 周长的最小值为( ) 答案：A 解题思路：

高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案

立体几何折叠动点问题 1．（2020?湖南模拟）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面11DCC D （包括边界）上的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -体积的最大值是( ) A ． B ．36 C ．24 D ． 2．（2020?德阳模拟）ABC ?是边长为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为( ) A B C D 3．（2020?德阳模拟）ABC ?是边长为的等边三角形，E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ?折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为( ) A ． B C ．3 D ．2 4．（2020春?江西月考）已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ?中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥， D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O 的表面积为( ) A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π

5．（2020春?沙坪坝区校级期中）已知A ，B ，C ，D 四点均在半径为(R R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为1 6，则球O 的表面积为( ) A ．32 π B ．2π C ． 94 π D ． 83 π 6．（2020春?五华区校级月考）已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，2AB =，AC =60ABC ∠=?，且三棱锥O ABC -，则球O 的体积为( ) A ．24π B ．48π C ． D ． 7．（2020?东莞市模拟）已知三棱柱111ABC A B C -四边形11A ACC 与11B BCC 为两个全等的矩形，M 是11A B 的中点，且1111 2 C M A B =，则三棱柱111ABC A B C -体积的最大值为( ) A ．12 B ． 16 C ．4 D ． 43 8．（2020?江西模拟）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=?，连接AC ，BD 交于点O ，1A O ⊥平面ABCD ，14AO BD ==，点C '与点C 关于平面1BC D 对称，则三棱锥C ABD '-的体积为( ) A ． B ． C ． D ．

(完整版)利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？使AM与BM的和最小。设A'是A的对称点，本问题也就是要使A M与BM的和最小。在连接A B的线中，线段A B最短。因此，线段 A B与直线a的交点C的位置即为所求。如图3,为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN BN A No 因为直线a是A A'的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A M,AN= A N。 ??? AM+BM= A M+BM= A B 在厶A BN中， ?/ A B< A N+BN ? AM+B< AN+BN 即AM+BMt小。点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②??? BC= 9 （定值），?△ PBC的周长最小，就是PB+ PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A B三点共线时PB+ PA最小?此时DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90°,得厶DAF^A ABC. EF// BC, 1 15 9 得AE= BE= AB= , EF= . ? AF： BC= AD：AB, 即卩 6 : 9 = AD：15. ? AD= 10. Rt△ ADF 2 2 2 9 25 25 中，AD= 10, AF= 6,「. DF= 8. ? DE= DF+ FE= 8+ =一. ???当x = 时，△ PBC的周长 2 2 2

2014高考理科立体几何难建系和动点问题(考前必做的立几大题)

学生姓名年级授课时间教师姓名课时 2 1．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图四棱锥P ABCD -902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?，与PAD ?都是等边三角形 (I)证明:; PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小（2012年高考（四川理））如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,平面PAB ⊥平面ABC . (Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角B AP C --的大小. （2012年高考（辽宁理））如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=, /,AB AC AA λ==点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点. (Ⅰ)证明:MN ∥平面//A ACC ; (Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角,求λ的值 .

（2012年高考（北京理））如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是AC,AB 上的点, 且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C⊥CD,如图2. (1)求证:A 1C⊥平面BCDE; (2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小; (3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由. （2012年高考（安徽理））平面图形111ABB AC C 如图4所示,其中11BB C C 是矩形,12,4BC BB ==,AB AC ==1111A B AC ==现将该平面图形分别沿 BC 和11B C 折叠,使ABC ?与111A B C ?所在平面都与平面11BB C C 垂直,再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题 . (Ⅰ)证明:1AA BC ⊥; (Ⅱ)求1AA 的长; (Ⅲ)求二面角1A BC A --的余弦值.

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。 B1 证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M 所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用 1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。

A1 2、如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。 3、求函数解：方法（Ⅰ）把原函数转化为y= 1 )3(2+-x ，因此可以理解为在X 轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（Ⅱ）如图（9），分别以PM=（3-x ）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附答案

数学《空间向量与立体几何》期末复习知识要点一、选择题 1．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ． 64 B ． 62 C ． 32 D ． 34 【答案】A 【解析】【分析】根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点， 1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2 119244 EC =+=， ∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ， 1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ，且1136 222BDE S BD OE ?= =??= g ，即α截该正方体所得截面图形的面积为6 . 故选:A . 【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题. 2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )

A ． 132 π B ．7π C ． 152 π D ．8π 【答案】B 【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．【详解】由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1 4 的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为： 221 41212274 ππππ??+??+?=．故选：B ．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．． 1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为( )

数学高考题型专题讲解44---立体几何中最值问题

数学高考题型专题讲解44 ---立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体, 涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二．解题策略类型一距离最值问题【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（） A．B．1 C．D．2 【答案】B 【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，

所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B．【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D. 【举一反三】 1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为 A．B．C．D．【答案】A 【解析】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；

利用轴对称求最小值重点

利用轴对称求最小值山东省章丘市绣水中学李爱芸文章来源：2008年下半年度《试题与研究》中考数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形，现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。例：如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。变形1：已知：如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在BC 上，N 是AC 上的一动点，则BN+MN 的最小值为多少？理解转化题意：点B 、M 都在直线AC 的同旁，因此利用轴对称找点B 的对称点，在此题中由正方形的性质可知点B 的对称点是点D ，所以连结DM,DM 的长就是BN+MN 的最小值。解：连结MD 交AC 于N /点 ∵四边形ABCD 是正方形 ∴点D 与B 关于AC 对称 ∴N /B=N /D ∴DM=DN / +MN / =N /B+N /M 在直角三角形MBC 中由勾股定理求得 DM=10 ∴BN+MN 的最小值为10. 变形2：如图MN 是⊙O 的直径,MN=2点A 在⊙O 上,∠AMN=30°B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点,则PA+PB 的最小值为多少? 理解转化题意：利用圆的轴对称性过点B 作BC ⊥MN 得点B 的对称点C, 连结AC 与MN 交点即为P 点. 解：过点B 作BC ⊥MN 交⊙O 于点C 连结AC 交MN 于点P 则 AC=PA+PB A B A B C C / （2）（3） C D A M N B N