祖暅原理与球的体积推导

教师姓名刘璐单位名称新疆昌吉市一中填写时间2020年8月30日学科数学年级/册高一必修二教材版本人教A版

课题名称祖暅原理与球的体积推导

难点名称祖暅原理的理解、及其在球的体积推导时的应用

难点分析从知识角度分析为

什么难

知识点内容涉及空间图形的几何性质推导公式，难度较大。内容概括性强，在构

造“等积体”方面对思维要求较高。

从学生角度分析为

什么难

学生前面已经认识了柱体、锥体、球体等简单几何体，并初步学习了体积公式；

大部分学生仅停留在记忆的层面，在公式推导上存在困难。

高一学生刚刚接触立体几何，空间想象力较弱，不太善于利用空间图形的几何形

状推导公式，尤其是球体的体积公式推导

难点教学方法填写示例

通过历年高考题展示增加学生重视程度

借助生活实例帮助学生理解原理

借助Geogebra绘图软件辅助教学增强学生空间感

教学环节教学过程

导入1.激发兴趣

展示2015年全国课标卷（1）理科第6题、2017年全国卷第2题、2019年全国课标卷理科16题、2020年全国二卷理科数学，引导学生发现命题取向，让学生感受高考对于文化历史、数学史的渗透。

知识讲解（难点突破）2.学习新知

祖暅原理：幂势相同，则积不容异。解释原理，并对原理中重要条件进行梳理。

借助生活中比较好理解的祖暅原理的实例将原理化繁为简，化难为易，辅助学生进一步理解原理。引导学生体会“面积都相等”推出“体积相等”将原理总结成：等高+等幂等积

3.牛刀小试

引导学生用已经学过的长方体体积借助祖暅原理推导出棱柱体积公式和圆柱体积公式，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎数学思想。辅助学生进行简单的证明。

课堂练习（难点巩固）4.活动探究

设有底面积都等于S，高都等于h的三棱锥、四棱锥、圆锥，使它们的地面在同一平面内，可以推导出他们的体积相等吗？如何说明？（借助祖暅原理可以推导出体积相等，总结：等地面积等搞得两个锥体的体积相等）

锥体的体积怎么推导？思考一分钟（以三棱锥为例简单推导其体积公式）

5.拓展拔高

（1）借助Geogebra复习回顾球的定义及其体积公式（以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。）

（2）引导学生思考球的体积如何利用祖暅原理进行推导球的体积公式

（3）如何构造与半球等高等幂的几何体？(借助Geogebra演示)

（4）证明所构造几何体与半球截面面积处处相等，从而得证体积相等

（5）证明出半球的体积进一步得出球体的体积

（6）借助动图演示各个位置截面情况

小结课堂小结：有了祖暅原理，我们能够将一些满足条件的陌生的、形状比较独特的几何体体积计算问题通过化归的思想，转化为简单的、熟悉的几何体体积问题。我们不得不佩服数学家祖暅的聪明智慧!同学们知道吗?这个原理，在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列里发现提出，比祖暅足足晚了一千多年!