高等数学(大一)题库

（一）函数、极限、连续

一、选择题：

1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A)

;1+=x y (B)

;2x x y -= (C)34+-=x y

(D)25-=x y

2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )

（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数

3、 当x →1时，31)(,11)(x x x

x

x f -=+-=

?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无

穷小

4、 x =0是函数1()arctan

f x x

=的( )

（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点

5、 下列的正确结论是（ ）

（A ）)(lim x f x

x →若存在，则f (x )有界；

（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0

x g x x →),(lim 0

x h x x →都存在，则

),(lim 0

x f x x →也 存在；

（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;

（D ） 当∞→x 时，x

x

x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不

能比.

二、填空题：

1、 若),1(3-=

x f y Z 且x Z

y ==1

则f (x )的表达式为 ;

2、 已知数列n

x n 101

4-

=的极限是4, 对于,101

1=

ε满足n >N 时，

总有ε

<-4n x 成立的最小N 应是 ;

3、 3

2

1

4

lim

1

x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ;

4、 设,)(a

x a

x x f --=

则x =a 是f (x )的第 类 间断点;

5、 ,0

,

;0,

)(,sin )(??

?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则

n = ；

三、 计算题:

1、计算下列各式极限：

（1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x

x x x -+→11ln 1lim 0；

（3）)11(lim 2

2

--

+→x x x （4）x

x x x cos 11

sin

lim

3

0-→

（5）x x x 2cos 3sin lim 0

→ （6）x

x x x sin cos ln lim

→

2、确定常数a , b ，使函数

??

?

??-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2

x x x b x x a x f 在x =-1处连续.

四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a

，使

()f ξξ=.

（二）导数与微分

一、填空题:

1、 设0()f x '存在，则t

t x f t x f t )

()(lim 000

+--+

→= ;

2、 ,1

,321

,

)(3

2???

??≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设x

e

y 2sin =, 则dy = ;

4、 设),0(sin >=x x x y x

则

=dx

dy ;

5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x

确定的隐函数, 则(0)f '= .

二、选择题:

1、 )0(),1ln()(2>+=-a a

x f x

则(0)f '的值为( )

(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 2

1 (D)

2

1

2、 设曲线2

1x

e

y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )

(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=0

3、 设??

???>-≤=0

),1(0)(2

x x b x e

x f ax 处处可导，则( )

(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =1

4、 若f (x )在点x 可微,则x

dy

y x ?-?→?0

lim

的值为( ) (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定 5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( )

(A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '

三、计算题：

1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '

2、 若g(x)=??

?

?

?=≠0

,00

,1cos 2

x x x x 又f (x )在x =0处可导，求

))

((=x x g f dx

d

3、 求曲线?

??=++=-+010

)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程

4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=?求)('a ?

5、 设3

22

2

()x y y u x x =+?=+, 求.du

dy

6、 设

()ln f x x x =, 求()

()n f

x .

7、

计算.

（三）中值定理与导数的应用

一、填空题：

1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;

2、 若0

1lim

sin 22

ax

x e

b

x

→-=

则a = , b = ;

3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)

(ln )

0()(sin lim

x f f x f x -→= ;

4、 x e y x

sin =的极大值为 ，极小值为 ; 5、 )10(11≤≤+-=x x

x arctg

y 的最大值为 ，最小值为 .

二、选择题：

1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）

（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。

2、 函数x x f sin )(=在区间[-]2

,2

π

π上（ ）

（A ）满足罗尔定理的条件，且 ;0=ξ （B ）满足罗尔定理的条件，但无法求;ξ

（C ）不满足罗尔定理的条件，但有ξ能满足该定理的结论； （D ）不满足罗尔定理的条件

3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（ ）

（A ）极大值一定是最大值； （B ）极小值一定是最小值；

（C ）极大值一定比极小值大； （D ）极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。

4、 设f (x )在(a , b )内可导，则()0f x '<是f (x )在(a , b )内为减函数的（ ） （A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件。

5、 若f (x )在(a , b )上两次可导，且（ ）, 则f (x )在(a , b )内单调增加且是上凹的。 （A ）0)(",0)('>>x f x f ； （B ）;0)(",0)('<>x f x f ； （C ）0)(",0)('>

三、计算题：

1、 求:2

2

11(1)lim (

)sin x x

x

→-

t a n

(2)l i m

x x x +→

2、 求过曲线y =x e x -上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x =0的直线方程.

四、应用题：

1、 通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能

力）依赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：

2

()0.1 2.643G x x x =-++,其中G （x ）是接受能力的一种度量，x 是提出概念所

用的时间（单位：min ） （a ）、x 是何值时，学生接受能力增强或降低？ （b ）、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？ （c ）、最难的概念应该在何时讲授？ （d ）、一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？

五、证明题：

证明不等式2

2arctan ln(1)x x x ≥+

（四）不定积分

一、选择题：

1、 设)(x f 可微，则()f x =（ ）

（A ）?))(x df （B ）?))((dx x f d （C ）?)')((dx x f （D ）?dx x f )(' 2、 若F （x ）是)(x f 的一个原函数，则c F （x ）（ ）)(x f 的原函数 （A ）是 （B ）不是 （C ）不一定是

3、 若

?+=,)()(c x F dx x f 则?=+dx b ax f )(（ ）

（A ）c b ax aF ++)( （B ）

c b ax F a

++)(1

（C ）

c x F a

+)(1 （D ）c x aF +)(

4、 设)(x f 在[a ，b ]上连续，则在（a ，b ）内)(x f 必有（ ） （A ） 导函数 （B ） 原函数 （C ） 极值 （D ） 最大值

或最大值

5、 下列函数对中是同一函数的原函数的有（ ）

2

211()sin cos 2

4

与A x x -

2

()l n l n l n 与

B x x

2

2() 与x x

C e e 1()t a n c o t 2

s i n 与x

D x x

-

+

6、 在积分曲线族?=xdx

y 3sin 中，过点)1,6

(

π

的曲线方程是（ ）

c

x D x C c x B x A +-++-

3c o s )(3c o s 3

1)(3c o s 3

1)(13c o s 3

1)(

7、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A ）2

x

e

dx -?； （B

）?

； （C ）ln dx x

?

； （D ）ln x dx x

?

.

8、已知一个函数的导数为2y x '=，且x =1时y =2,这个函数是（ ） （A ）2;y x C =+ （B ）2

1;y x =+ （C ）2

;2

x

y C =+ （D ） 1.y x =+

9、2

ln x dx x

=?

（

）

（A ）11

ln x C x

x +

+;

（B ）11ln x C x x ++; （C ）11

ln x C x x -+； （D ）11ln x C x x

--+. 10、10

(41)

dx x =+?

（ ）

（A ）

9

1

1

9(41)

C x ++； （B ）

911

36(41)C x ++； （C ）9

11

36(41)

C x -++； （

D ）11

1

1

36(41)

C x -++.

二、计算题:

1、

?++

dx x x )1ln(2

2、1tan 1tan x dx x

-+?

3、?

dx x xf )("

3、

?+++)

3)(2)(1(x x x dx

5、

x dx ?

6、

?

+)

1(x x dx 7、

2

arccos x xdx ?

三、求?

,)(dx x f 其中??

?

??+∞

<<≤≤+<<∞-=x x x x x x f 12101

0,1)(

（五）定积分及其应用

一、填空题：

1、 设)(x f 是连续函数，dt t xf x F x

)()(0

?

=

，则F '(x )= ;

2、 设)(x f 是连续函数，则?-=---+ππ

dx x f x f x f x f )]()()][()([ ； 3、 111lim (

)1

2

n n n n n

→∞

+

++

=+++ ；

4、设)(x f 是连续函数，f (0)= -1,则=?

→3

sin 0

)(lim

x

dt t f x

x

x ；

5、函数)(x f =x e 在区间[a ，b ]上的平均值为 )(b a <.

二、单项选择题：

1、 设

?

a

b a dx x f )(,)(存在，则)(x f 在[a ，b ]上( )

(A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界

2、 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则?+∞→=nt

a a n dx x f n )(1lim

( ) （A ）T a f ?)( （B ）

dx x f T

)(0

?

（C ）?a

dx x f 0

)( （D ）()f a

3、 设?

?

?

+

+

=

dx x f dx x f dx

d dx x f dx

d I )(')()(4

3

存在，则I =( )

(A) ()f x (B) 2()f x (C) 2()f x C + (D) 0 4、

)()

(b a a x dx p

b

a

<-?

,在( )

（A ）P<1 时收敛,P ≥1时发散 （B ）P ≤1 时收敛,P ≥1时发散 （C ）P>1 时收敛,P ≤1时发散 （D ）P ≥1 时收敛,P <1时发散

5、 曲线)0(ln ,ln ,,ln b a b y a y y x y <<===及y 轴所围的图形面积为( ) (A)

?

b

a

xdx ln ln ln (B)

dx e x

e

e

b

a

?

(C)dx e y

b

a

?ln ln (D)xdx a

b e

e ln ?

三、计算下列定积分:

1

、25

1

? 2、

dx e

x

x

--+?1sin

2

44

π

π

3、

?

++

1

2

)1ln(dx x x 4、?-+

a

x

a x dx 0

2

2

四、求下列极限:

1

、sin 0

tan 0

lim x x x +

→?

?

2、dt

t

t dt t x

t x

x sin )1(lim

1

sin 0

?

?

+→

五、设可导函数y =y （x ）由方程?

?

=+

-y

x

t

x tdt dt e

2

2

1sin 2

所决定，试讨论函数y =y （x ）

的极值.

六、已知抛物线)0,4(,)4(2

2

>≠+-=a p a y p x ，求p 和a 的值，使得：

（1） 抛物线与y=x+1相切；

（2） 抛物线与0x 轴围成的图形绕0x 轴旋转有最大的体积.

（六）向量代数 空间解析几何

一、填空题：

1

、向量{

}

a =

与x ，y ，z 轴的夹角分别为,,αβγ，则α= ，

β= ，γ= 。

2、设{}{}1,2,1,1,1,0a b =-=- ，则a b ? = ，a b ?

= ，

cos θ= ，sin θ= 。

3、以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程为 。

4、平面通过点（5，-7，4）且在x ，y ，z 三轴上截距相等，则平面方程为 。

5、把曲线25,0z x y ==绕x 轴旋转一周，则旋转曲面的方程为 。

二、选择题：

1、平面11110A x B y C z D +++=与22220A x B y C z D +++=互相平行，则（ ）。 （A ）充要条件是1212120A A B B C C ++= （B ）充要条件是1112

2

2

A B C A B C ==

（C ）必要而不充分条件是

1112

2

2

A B C A B C ==

（D ）必要而不充分条件是1212120A A B B C C ++=

2、设a 与b 为非零向量，则a b o ?=

是（ ）

（A ）a ∥b 的充要条件； （B ）a ⊥b

的充要条件；

（C ）a =b 的充要条件； （D ）a ∥b

的必要但不充分的条件； 3、设直线

021

x y z ==-，则该直线为（ ）。

（A ）过原点且垂直于x 轴 （B ）过原点且平行于x 轴

（C ）不过原点但垂直于x 轴 （D ）不过原点但平行于x 轴 4、直线

2233

1

4

x y z -+-==-和平面3x y z ++=的关系是（ ）。

（A ）直线与平面垂直； （B ）直线与平面平行，但直线不在平面上；

（C ）直线在平面上； （D ）直线与平面相交，但不垂直。

5、平面4220x y z +--=在,,x y z 轴的截距分别为,,a b c ，则（ ）。 （A ）12,,12

a b c ===- （B ）4,1,2a b c ===-

（C ）1,2,12

a b c =

==- （D ）1,2,12

a b c =-

=-=

6、方程222

4936

1

x y z y ?++=??=??表示（ ）

（A ）椭球面； （B ）椭圆柱面；

（C ）椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线； （D ）y=1平面上椭圆。

7、方程22216464x y z +-=表示（ ）

（A ）锥面； （B ）单叶双曲面； （C ）双叶双曲面； （D ）椭圆抛物面。

三、计算题：

1、将直线方程0 20

x z x y +=??

+=? 化成对称式方程。

2、求两平行平面1948210x y z -++=及1948420x y z -++=之间的距离。

3、设一直线通过点M （4，3，3），且垂直于由三点A 1（6，0，1），A 2（2，1，5），A 3（5，3，5）所确定的平面，求该直线方程。

4、求过点(0,1,0)A -和(0,0,1)B 且与平面成3

π

角的平面方程。

四、应用题：

设有一质点开始时位于点P （1，2，-1）处，今有一方向角分别为60°,60°,45°,而大小为100克的力F

作用于此质点，求当此质点自点P 作直线运动至点M （2，5，-1+32）

时，力F

所作的功（长度单位为厘米）。

（七）多元函数微分学

一、填空题：

1、设22

(,

)2

y f x y x y +=-，则f （x ，y ）= .

2、设x

z y =，则

2

z x y

???2

1

==y x = .

3、由方程3

34z xyz -=-所确定的函数(,)z z x y =在点（1，2，2）处的全微

分dz = .

4、曲面sin cos z x y =在点1

(,,)4

42

ππ处的切平面方程是 .

5、设

arccos

u =，则该函数的定义域为 .

二、选择题：

1.当0,0x y →→，时，函数

4

2

3xy x y +的极限（ ）

（A ）等于0； （B ）等于3

1； （C ）等于4

1； （D ）不存在

2.函数z = f （x ，y ）的偏导数

z x

??，z

y

??在点（x 0，y 0）连续是函数 z = f （x ，y ）在

点（x 0，y 0）可微分的（ ）

（A ）充分条件但非必要条件； （B ）必要条件但非充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件；

3.设z = f （u ，v ），而,u x y v xy =+=，其中f 具有一阶连续偏导数，则z

x

??等于（ ）

（A ）f f u v ??+??； （B ）f f x u v ??+??； （C ）f f y u v ??+??； （D ）f f

y u v

??+

??； 4.在曲线23,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面6121x y z ++=平行的切线

（ ）

（A ）只有1条； （B ）只有2条； （C ）至少有3条； （D ）不存在 5.设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某个邻域内连续，且lim

0→→y x 22

(,)2

1cos()

f x y x y --+=2

则在点（0，0）处f （x ，y ）（ ）

（A ）不可微分； （B ）可微分，且0)0,0(f ,0)0,0(f y x ≠≠；

（C ）取得极大值； （D ）取得极小值.

三、计算题：

1、设sin

cos x y z y x

=，求

,

z z

x y

???? 2、设arctan x z y =，求

2

2

2

2

2

,

,

z z

z

x y x

y ??????? 3、设(,,)u f x xy xyz =,求

,,

u u u

x y z

?????? 4、设(,)z z x y =由方程222cos cos cos 1x y z ++=所确定，求dz 5、设3

3

3z xyz a -=，求

2

z x y

???

6、求函数22

(,)4()f x y x y x y =---的极值.

四、求曲面2

22

30x

y z xy ++--=上同时垂直平面0z =与10x y ++=的切平面

方程

五、在旋转椭球面

2

22

196

x

y z ++=上求距平面3412288x y z ++=为最近和最远的

点.

习题答案

（一）函数、极限、连续 答案 一、1、（D ） 2、（C ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（D ） 二、1、3(1)x + 2、N=10 3、4，10 4、一，跳跃 5、k π 三、1、（1）2sin sin

2lim

sin 2cos 1lim

2

==-→→x

x x

x

x x x x

（2）1)

121ln(lim 11ln

1lim

112100

=-+

=-+-?

-→→x

x

x

x x x

x x

x x

（3）??

?-=-+

+=--

+∞

→∞

→1

1

112lim

)11(lim 2

2

2

2x x x x x x x （不存在） （4）02

sin

21

sin lim 11sin

lim

23

03

==-→→x x

x cox

x

x x x （5）0cos sin

lim 2

3

0=→x x x

（6）212sin

2lim

1

cos lim

sin cos ln lim

20200-=-=-=→→→x

x

x x x x x

x x x

2、解：f （-1-0）=0 f （-1）=b f （-1+0）=a+π π+==∴a b 0

??

?=-=∴0

b a π使f （x ）在x=-1连续

四、证明：令F （x ）=f （x ）-x 显然F （x ）在[a ，b]上连续 F （a ）=f （a ）-a 〉0 F （b ）=f （b ）-b 〈 0 ∴在（a ，b ）内至少有一点ξ使F （ξ）=0 即：使f （ξ）=ξ （二）导数与微分 答案

一、1、)('20x f - 2、不存在 3、dx e x

x x

2sin 2sin 2cos 4、)ln 1(sin x ctgx x x x ++ 5、

二、1、（A ） 2、（D ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（D ） 三、解：1、20)0('2)

0(2)(2lim

)

1()1(lim

)1('0

==?-?=?-?+=→?→?f x f x f x

f x f f x x

2、00

1

cos

lim )0('2

=?-??=→?x

x

x g x 而

()())(')(')(x g x f f x g f dx

d =

()()0)

(')(')((0

==∴

=x x g x g f x g f d x

d

3、解：对等式)1(t t x -+两边关于t 求导

120)1(-=?

=--+t dt

dx t t dt

dx

对等式01=++y te y

两边关于t 求导 1

0''+-

=?=++y

y

y

y te

e dt

dy y y te e

∴

(21)(1)

y

y

dy dy dx e

dt

dt t te dx

==-

-+ 当t=0时，得x=0，y=-1

∴ 曲线在t=0处的切线方程的斜率为 1

-===

e

dx

dy k t ，∴切线方程

1111-=

?=

+x e y x e

y

4、)()

()sin(lim

)

()(lim )('a f a

x x f a x a

x a x a a

x a

x =--=--=→→???

5

、

1

2

232 1

()(21)2

dx du y x x x dy

dx

=+=

++

)

12)(12()(32

21

2

+++=

=y x x x dx

du dx

dy du

dy

6、ln 1,y x '=+1,y x

''=2

1,y x

'''=-

…()

2

1,(1)

(2)!n n n

y

n x

--=--

7

、设0()9,0.02f x x x =

=?=,

12

1390.02 3.0032

-=+

??=

（三）导数的应用 答案 一、（1）14

-π

（2）1，1； （3）1； （4

3224

4

,,2

2

k k e

e

k z ππ

ππ+

+

-

∈ （5）

0,4π

二、B ；D ；D ；A ；A 三、解：1. (1)、原式=42

20222

20

sin

lim

sin sin

lim

x

x

x x x x

x x x -=→→ 31

23c o s 1lim )sin 1(lim sin lim 20030=?-=+?-=→→→x

x x x x x x x x x (2)、原式=2

1

lim ln lim

csc 1x x x tgx x

x

e e +

+

→→-==

2. (1)x

y x e

-'=-，驻点1x =，(2)x

y x e -''=-，令0y ''=，得2x =，

因为1,0,1,0x y x y ''<>><，所以1

(1,)e -为极大值点

2,0,2,0x y x y ''''<<>>，所以2

(2,)e -为拐点

所以极大值点与拐点的中点坐标为123(,

)22

e e --+，所求直线为：1

2

2

e

e y --+=

四、1、解 ：() '()0.2 2.6'()0,13,a G x x G x x =-+==令则

13'()0,()13()0,x G x G x x G x =>><当时单调上升当时

G （x ）单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提

出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低

（b ）() 10[0,13],()b x G x =∈单调上升，学生的兴趣在增长。

() ()1c G x x =在时取极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟

时讲授。

（d ） 因为G （13）=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。

2、解 ：设A M 与M B 的公路总长为y

，则y =03x <<

所以y '=

+

，令0y '=，得：1,3x x ==-（舍去）

只有唯一的驻点1x =，所以在1x =处取得最小值

五、证：1、令arctgx x f x xarctgx x f 2)('),1ln(2)(2=+-=则

当x>0时，0)0(,0)('=>f x f ，有0)(>x f ，当x<0时，0)0(,0)('=x f

故)1ln(2,0)(.2x xarctgx x f x +≥≥?即

（四）不定积分 答案

一、1、（C ） 2、（B ） 3、（C ） 4、（B ） 5、（A ） 6、（A ） 7、（D ） 8、（B ） 9、（D ） 10、（C ） 二、1、原式

=ln(ln(x x x x C +-=+-?

2、原式=(cos sin )ln cos sin cos sin d x x x x C x x

+=+++?

3、原式='()'()'()'()()xdf x xf x f x dx xf x f x C =-=-+??

4、原式

=111(

ln

2(1)

2

2(3)

2

dx C x x x x -

+

=+++++?

5、原式=2

2

,02

2,0.

2x c x x x C x c x ?+≥??=+??-+

=

=

?

?

=

dx

?

=22C =+

7、原式

=

3

3

2

211arccos (1)3

9

x x x C +

--

三、原式=220012112

x C x x

x C

x x C x ?

+-∞<

?++<<+∞

??

（五）定积分及其应用 答案

一、（1）dt t f x xf x

)()(0

?

+

（2）0； （3）ln2 （4）

6

1 （5）

b

a e e b

a --

二、1、D ，2、B ，3、C ，4、A ，5、C 。 三、解：1、原式=15

544)1(412

220

=

+-=

?

dt t t x u

2、原式=dx e

x

dx e

x

x

x

--

++

+?

?1sin

1sin

2

4

4

2

π

π

8

2

s i n s i n )1111(

1s i n )(1s i n 2

4

2

4

2

4

2

4

-=

=

++

+=

++

-+-=?

?

?

?--ππ

π

π

π

x d x x d x e

e

dx e

x dt e

t t x x

x

x

t

3、原式=12)21ln(11

ln(2

'

10

2

+-+=+-

++

?

dx x

x x x

4、原式=4

cos sin cos sin 2

ππ

=

+=?t

t tdx t a x

四、解：1、原式=1sec

)sin(cos )(sin lim

2

=→x

tgx x x tg x

2、222

2

sin sin sin n

n

n

xdx xdx xdx π

π

π

ε

πε

--=

+

?

?

?

，

而ζεπε

π

n

n

xdx sin )2

(sin 02

-=<

?

-ζπ

n

sin

2<

又0sin lim ,1sin 0=∴<<∞→ζζn

b ，由夹挤定理知0sin

lim

2

0=?

∞

→xdx n

n π

，

此外 ,sin 022

επε

π

<<

?

-xdx n

由ε的任意性知0sin lim

2

=?

∞

→xdx n

n π

五、两边求导得,sin '2x x e y y =+-即,)sin ('2y e x x y -=令y'=0，得x=0， 且由于x<0时,y'<0; 0',0>>y x 时知x=0是y=y(x)的极小点,

代入方程得:?

=-)

0(0

2

0y t dt e

；注意:,0)0(,02

=∴>-y e

t 即y=y(x)的极小值为0

六、解：对2

2

)4(a y p x +-=两边关于x 求导得4

2'-=p x y ，由题设切点处有：

14

2=-p x ，

得2

4-=

p x 切点，2

2-=

p y 切点，代入抛物线方程可得4

2

2

p

p a -

=，另一方面，旋

转体体积为：2

5

2

2

)

4(15

16)4

0(

2-?

=

--=?

p a

dx p x V a

ππ

3

2

3

4

5

2)

4())

4

(2)2)(4(4

5(

15

16)4()

4(2)

4(515

164

--

---?

=

--?--?

=

p p

p p p a p p a dp

da p dp

dv A

ππ

令0=dp

dv ，得,3

10=

p 从而,3

5=

a 这时，3

10<

p 时，

0>dp

dv ，

而3

10>p 时，

0

dv ,故3

10=p ，V 取极大值，也是最大值。

（六）空间解析几何 答案

一、1、

3π,4π,3π 2、1，{}6

33,6

3,3,1,1 3、14)2z ()3y ()1x (222=++-+-

4、2x y z ++=

5、x 5y z 22=+

二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B

三、1、解：令0x =，得到直线l 上一点(0,0,0)O ，设12{1,0,1},{2,1,0}n n ==

l 的方向向量为 1210122

1

i j k

n n i j k ?==-++

故l 的对称式方程为

1

21

x y z

=

=

-

2、解：在021z 8y 4x 19=++-上取一点)8

21,0,0(-

；则两平行平面间的距离为

18

)4(19

42

)8

21(804019d 2

2

2=+-++-

?+?-?=

3、解：所求直线方向向量S 同时垂直于12A A 及13A A

∴{}{}{}12134,1,43,3,416,12,13S A A A A =?=--?-=--

∴直线的对称式方程为

13

3

z 123

y 164

x --=

-=

--

4、解：设所求平面方程为：0Ax By Cz D +++=；分别将A ，B 的坐标代入此方程：

000

A B C D B

D ?-+?

+=?=；

000A B C D C D ?+?++=?=- 故平面方程为：0Ax Dy Dz D +-+=

1

2A =?= 所以平面方程为：

0x D y D z D +-+

=10y z ?+-+

=

四、解：∵{

}{cos 60cos 60cos 4510050,50,F i J k =++=

{1,32S P M ==

∴500W F S =?= 克厘米

（七）多元函数微分学 答案

一、1、2

4x xy -； 2、2ln 1+； 3 、2dz dx dy =+；

4、210x y z --+=；

5、{}22222(,,)|,0x y z x y z x y +≥+≠

二、1、D 2、A 3、C 4、A 5、D

三、解1、21cos cos sin sin z x y y x y

x y y x x y x ?=+? 21c o s c o s s i n s i n z x x y x

y y y x x y

x

y ?=--? 2、2

22

22

2()

z xy x x y ?=-

?+

2

22

2

2

2

()

z x y

x y

x y ?-=

??+ 2

2

2

2

2

2()

z xy y

x y ?=

?+

3、123u f yf yzf x

?'''=++? 23u xf xzf y

?''=+? 3u xyf z ?'=?

4、

sin 2sin 2,

,sin 2sin 2z x z y x

z

y

z

??=-

=-

??1

(sin 2sin 2)sin 2dz xdx ydy z

=-

+

5、

2

4222

2

3

(2)

()

z z z xyz x y x y

z xy ?--=

??-

6、420 420

f

x x f y y

??=-=???????=-=???驻点(2,2)- 而222222,0,2f f f

x y x y ???=-==-???? 在(2,2)-处，20(2)(2)40,20B AC A -=---=-<=-<

∴

(,)f x y 在(2,2)-处取得极大值为：(2,2)8f -=

四、切平面法向为 {}{}{}0,0,11,,1,01

,1,0n =?=-

设切点为000(,,)x y z ，则{}000002,2,2x y y x z --平行于n

于是存在t ，使得02,2,200000==--=-z t x y t y x

即0005

,,03

3t

x y z =-

=

=，代入曲面方程得3,t =±故切面方程为

(1)(1)0x y -++-

=及(1)(1)0x y --++=；即x -y +2=0及x -y -2=0。

五、设（x ，y ，z

）为椭球面上一点，d =； 其中

2

22

196

x

y z ++=

作辅助函数 2

2

22

1(,,)

(3412288)

(1)

169

96

x

F x y z x y z

y z λ=++-+++-

令6

(3412288)0

16948

8(3412288)2016924

(3412288)20

169F x x y z x F

x y z y y

F x y z z z

λλλ??=++-+=???

??=++-+

=?????=++-+=?

?? 得x z x y 24

1,72

1=

=，代入曲面方程得139,,88

x y z =±=±

=±

.

由于1313(9,,)

(9,,)

88

88d

d --

-<，

∴椭球面上距已知平面最近点为)8

3,81,9(，最远点为)83,81,9(---。