生成高斯分布的matlab程序
clear all;
close all;
clc;
randn('seed',0);
%%一维高斯函数
mu=0;
sigma=1;
x=-6:0.1:6;
y=normpdf(x,mu,sigma);
plot(x,y);
figure;
%%二维或多维高斯函数
mu=[00];
sigma=[0.30;00.35];
[x y]=meshgrid(linspace(-8,8,80)',linspace(-8,8,80)');
X=[x(:) y(:)];
z=mvnpdf(X,mu,sigma);
surf(x,y,reshape(z,80,80));
hold on;
%再生成一个
mu=[40];
sigma=[1.20;0 1.85];
[x y]=meshgrid(linspace(-8,8,80)',linspace(-8,8,80)');
X=[x(:) y(:)];
z=mvnpdf(X,mu,sigma);
surf(x,y,reshape(z,80,80));
Matlab 的随机函数（高斯分布均匀分布其它分布）
Matlab中随机数生成器主要有：
betarnd 贝塔分布的随机数生成器
binornd 二项分布的随机数生成器
chi2rnd 卡方分布的随机数生成器
exprnd 指数分布的随机数生成器
frnd f分布的随机数生成器
gamrnd 伽玛分布的随机数生成器
geornd 几何分布的随机数生成器
hygernd 超几何分布的随机数生成器
lognrnd 对数正态分布的随机数生成器
nbinrnd 负二项分布的随机数生成器
ncfrnd 非中心f分布的随机数生成器
nctrnd 非中心t分布的随机数生成器
ncx2rnd 非中心卡方分布的随机数生成器
normrnd 正态（高斯）分布的随机数生成器，normrnd(a,b,c,d)：产生均值为a、方差为b大小为cXd的随机矩阵
poissrnd 泊松分布的随机数生成器
rand：产生均值为0.5、幅度在0~1之间的伪随机数，rand(n)：生成0到1之间的n阶随机数方阵，rand(m,n)：生成0到1之间的m×n的随机数矩阵
randn：产生均值为0、方差为1的高斯白噪声，使用方式同rand
注：rand是0-1的均匀分布，randn是均值为0方差为1的正态分布
randperm(n):产生1到n的均匀分布随机序列
raylrnd 瑞利分布的随机数生成器
trnd 学生氏t分布的随机数生成器
unidrnd 离散均匀分布的随机数生成器
unifrnd 连续均匀分布的随机数生成器
weibrnd 威布尔分布的随机数生成器
-----------------------------------------------------------------
以下介绍利用Matlab产生均值为0，方差为1的符合正态分布的高斯随机数。
我们利用的函数为normrnd(a,b,c,d)：产生均值为a、标准为b大小为cXd的随机矩阵，它有如下三种参数形式：
R＝normrnd(μ,σ)
R＝normrnd(μ,σ)：生成服从正态分布（μ参数代表均值，σ参数代表标准差）的随机数。输入的向量或矩阵μ和σ必须形式相同，输出R也和它们形式相同。标量输入将被扩展成和其它输入具有相同维数的矩阵。
R＝normrnd(μ,σ,m)
R＝norrmrnd(μ,σ,m)：生成服从正态分布（μ参数代表均值，σ参数代表标准差）的随机数矩阵，矩阵的形式由m定义。m是一个1×2向量，其中的两个元素分别代表返回值R中行与列的维数。
R＝normrnd(μ,σ,m,n)
R＝normrnd(μ,σ,m,n)：生成m×n形式的正态分布的随机数矩阵。其中μ为均值，σ为标准方差，m、n为矩阵大小；
-----------------------------------------------------------------
>> R = normrnd(0,1,4,4) %产生4×4的标准正态分布矩阵
R =
0.5377 0.3188 3.5784 0.7254
1.8339 -1.3077
2.7694 -0.0631
-2.2588 -0.4336 -1.3499 0.7147
0.8622 0.3426 3.0349 -0.2050
>> var(R) %默认方差公式
ans =
3.0868 0.6085 5.1253 0.2465
>> var(R,0) %默认方差公式（N-1）
ans =
3.0868 0.6085 5.1253 0.2465
>> var(R,1) %方差公式（N）
ans =
2.3151 0.4564
3.8440 0.1849
>> var(R,0,1) %列操作，第二参数为方差方式，第三参数为行、列标记ans =
3.0868 0.6085 5.1253 0.2465
>> var(R,0,2) %行操作，第二参数为方差方式，第三参数为行、列标记ans =
2.3549
3.3782
1.6184
2.0146
>> var(R') %check the ans
ans =
2.3549
3.3782 1.6184 2.0146
>> var(R(:)) %矩阵所有元素的方差
ans =
2.6020
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include matlab拟合工具箱使用 2011-06-17 12:53 1.打开CFTOOL工具箱。在Matlab 6.5以上的环境下，在左下方有一个"Start"按钮，如同Windows的开始菜单，点开它，在目录"Toolboxes"下有一个"Curve Fitting"，点开"Curve Fitting Tool"，出现数据拟合工具界面，基本上所有的数据拟合和回归分析都可以在这里进行。也可以在命令窗口中直接输入”cftool”，打开工具箱。 2.输入两组向量x，y。 首先在Matlab的命令行输入两个向量，一个向量是你要的x坐标的各个数据，另外一个是你要的y坐标的各个数据。输入以后假定叫x向量和y向量，可以在workspace里面看见这两个向量，要确保这两个向量的元素数一致，如果不一致的话是不能在工具箱里面进行拟合的。 例如在命令行里输入下列数据: x = [196,186, 137, 136, 122, 122, 71, 71, 70, 33]; y=[0.012605,0.013115,0.016866,0.014741,0.022353,0.019278,0.041803,0.0 38026,0.038128,0.088196]; 3.数据的选取。打开曲线拟合共工具界面，点击最左边的"Data..."按钮，出现一个Data对话框，在Data Sets页面里，在X Data选项中选取x向量，Y Data 选项中选取y向量，如果两个向量的元素数相同，那么Create data set按钮就激活了，此时点击它，生成一个数据组，显示在下方Data Sets列表框中。关闭Data对话框。此时Curve Fitting Tool窗口中显示出这一数据组的散点分布图。 Matlab实现数值分析插值及积分 摘要： 数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。 分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要求是计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：=+。 其中Aitken插值计算的结果图如下： 对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为： 0.6932 其中复化梯形公式计算的结果图如下： 问题重述 问题一：已知列表函数 表格 1 分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算。 问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分，使精度小于5。 问题解决 问题一：插值方法 对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。 一、拉格朗日插值法： 拉格朗日插值多项式如下： 首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数 )(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子 )())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只 可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成： )())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+- 利用1)(=i i x l 得： %-------------------------------------------------------------------------- % 分布的拟合与检验 %-------------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------------- % 描述性统计量和统计图 %-------------------------------------------------------------------------- %读取文件中数据 % 读取文件examp02_14.xls的第1个工作表中的G2G52中的数据，即总成绩数据score = xlsread('examp02_14.xls','Sheet1','G2G52'); % 去掉总成绩中的0，即缺考成绩 score = score(score 0); %计算描述性统计量 score_mean = mean(score) % 计算平均成绩 s1 = std(score) % 计算(5.1)式的标准差 s1 = std(score,0) % 也是计算(5.1)式的标准差 s2 = std(score,1) % 计算(5.2)式的标准差 score_max = max(score) % 计算样本最大值 score_min = min(score) % 计算样本最小值 score_range = range(score) % 计算样本极差 score_median = median(score) % 计算样本中位数 score_mode = mode(score) % 计算样本众数 score_cvar = std(score)mean(score) % 计算变异系数 score_skewness = skewness(score) % 计算样本偏度 score_kurtosis = kurtosis(score) % 计算样本峰度 %绘制箱线图 figure; % 新建图形窗口 boxlabel = {'考试成绩箱线图'}; % 箱线图的标签 % 绘制带有刻槽的水平箱线图 boxplot(score,boxlabel,'notch','on','orientation','horizontal') 题目一：多项式插值 某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式： ）（） ）（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα （1） 其中系数i α（i=0,1,2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =） （（i=0,1,2……n ）确定。 根据均差的定义，把x 看成[a,b]上的一点,可得 f(x)= f （0x ）+f[10x x ，]（0x -x ） f[x, 0x ]= f[10x x ，]+f[x,10x x ，] （1x -x ） …… f[x, 0x ，…x 1-n ]= f[x, 0x ，…x n ]+ f[x, 0x ，…x n ](x-x n ) 综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到： f(x)= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ，…x n ,x ]） （x 1n +ω= N n （x ）+） （x n R 其中 N n （x ）= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n ) （2） ）（x n R = f(x)- N n （x ）= f[x, 0x ， (x) n ,x ]） （x 1n +ω （3） ） （x 1n +ω=（0x -x ）…(x-x n ) Newton 插值的系数i α（i=0,1,2……n ）可以用差商表示。一般有 f k =α[k 10x x x ??，] （k=0,1,2，……，n ） （4） 把（4）代入（1）得到满足插值条件N ）（） （i i n x f x =（i=0,1,2，……n ）的n 次Newton 插值多项式 N n （x ）=f （0x ）+f[10x x ，]（1x -x ）+f[210x x x ，，]（1x -x ）（2x -x ）+……+f[n 10x x x ??，]（1x -x ）（2x -x ）…（1-n x -x ）. 其中插值余项为： ） （）！ （） （）（）（）（x 1n f x N -x f x R 1n 1 n n +++==ωξ ξ介于k 10x x x ??，之间。 三、程序设计 function [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) % y 为对应x 的值，A 为差商表，C 为多项式系数，L 为多项式 % X 为给定节点，Y 为节点值，x 为待求节点 n=length(X); m=length(x); % n 为X 的长度 for t=1:m MATLAB程序设计期中作业 ——编程实现牛顿插值 成员:刘川（P091712797）签名＿＿＿＿＿ 汤意（P091712817）签名＿＿＿＿＿ 王功贺（P091712799）签名＿＿＿＿＿ 班级:2009信息与计算科学 学院:数学与计算机科学学院 日期:2012年05月02日 牛顿插值的算法描述及程序实现 一：问题说明 在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 二：算法分析 newton 插值多项式的表达式如下： 010011()()()()()n n n N x c c x x c x x x x x x -=+-+???+--???- 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 12011010 [,,,][,,,] [,,,]i i i i i f x x x f x x x c f x x x x x -???-???=???= - 即为f (x)在点01,,,i x x x ???处的i 阶差商，（[]()i i f x f x =，1,2,,i n = ），由差商01[,,,]i f x x x ???的性质可知： () 010 1 [,,,]()i i i j j k j k k j f x x x f x x x ==≠???=-∑∏ 牛顿插值的程序实现方法： 第一步：计算[][][][]001012012,,,,,,,n f x f x x f x x x f x x x x 、、、 、。 第二步：计算牛顿插值多项式中01[,,,]i f x x x ???011()()()i x x x x x x ---???-，1,2,,i n = ，得到n 个多项式。 6.3.5 牛顿插值法的MATLAB 综合程序 求牛顿插值多项式、差商、插值及其误差估计的MATLAB 主程序 function [y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) n=length(X); m=length(x); for t=1:m z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y'; s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j; end C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n))); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); end R=M*q1/c1;L(k,:)=poly2sym(C); 例6.3.6 给出节点数据00.27)00.4(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f ，作三阶牛顿插值多项式，计算)345.2(-f ，并估计其误差. 解 首先将名为newdscg.m 的程序保存为M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序 >> syms M,X=[-4,0,1,2]; Y =[27,1,2,17]; x=-2.345; [y,R,A,C,P]=newdscg(X,Y,x,M) 运行后输出插值y )345.2(-≈f 及其误差限公式R ，三阶牛顿插值多项式P 及其系数向量C ，差商的矩阵A 如下 y = 22.3211 R = 65133/562949953421312*M （即R =2.3503*M ） A= 27.0000 0 0 0 1.0000 -6.5000 0 0 2.0000 1.0000 1.5000 0 17.0000 15.0000 7.0000 0.9167 C = 0.9167 4.2500 -4.1667 1.0000 P = 11/12*x^3+17/4*x^2-25/6*x+1 %均差牛顿插值 function [ f y f0 ] = newton1( X,Y,x0 ) if nargin<3 error('Requires at least three input arguments.'); end if length(X)==length(Y) n=length(X); else error('length must equal') end syms x s=Y(1); l=1.0; y=zeros(n); y(1:n,1)=Y'; for i=2:n for j=2:i y(i,j)=(y(i,j-1)-y(j-1,j-1))/(X(i)-X(j-1)); if i==j l=l*(x-X(i-1)); s=s+y(i,i)*l; end end end f=simple(s); f0=subs(f,x0); function [ f f0 y] = newton2( X,Y,x0 ) if nargin<3 error('Requires at least three input arguments.'); end if length(X)==length(Y) n=length(X); else error('length must equal') end syms x s=Y(1); l=1.0; y=zeros(n) y(1:n,1)=Y'; for i=2:n for j=2:i y(i,j)=(y(i,j-1)-y(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); if i==j l=l*(x-X(i-1)); s=s+y(i,i)*l; end end end f=simple(s); f0=subs(f,x0); MATLAB中的曲线拟合和插值 在大量的使用领域中，人们经常面临用一个分析函数描述数据（通常是测量值）的任务。对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。这种方法在下一节讨论。这里讨论的方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。图11.1说明了这两种 方法。标有’0'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。 11.1 曲线拟合 曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用 许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样， 当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。数 学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的 误差。对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。这条虚线是使 误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。 图11.1 2阶曲线拟合 在MATLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。为了阐述这个函数的用法， 让我们以上面图11.1中的数据开始。 ? x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; ? y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; 为了用polyfit，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的 阶次或度。如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。通常称为线性回归。相反，如果我们选择n=2 作为阶次，得到一个2阶多项式。现在，我们选择一个2阶多项式。 ? n=2; % polyno mial order ? p=polyfit(x, y, n) 插值MATLAB程序（可以输出多项式）—数值分析 1.拉格朗日多项式逼近 function [C,L,y]=lagran(X,Y) %拉格朗日多项式逼近 w=length(X); L=zeros(w,w); for k=1:w V=1; for j=1:w if k~=j V=conv(V,poly(X(j)))/(X(k)-X(j)); end end L(k,:)=V; end C=Y*L; y=poly2sym(C,'x'); 2.牛顿插值多项式 function [C,D,y]=newpoly(X,Y) %牛顿插值多项式 n=length(X); D=zeros(n,n); D(:,1)=Y'; for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); m=length(C); C(m)=C(m)+D(k,k); end y=poly2sym(C,'x'); 3.切比雪夫逼近 function [C,X,Y]=cheby(fun,n,a,b) %切比雪夫逼近 if nargin==2 a=-1;b=1; end d=pi/(2*n+2); C=zeros(1,n+1); for k=1:n+1 X(k)=cos((2*k-1)*d); end X=(b-a)*X/2+(a+b)/2; x=X; Y=eval(fun); for k=1:n+1 z=(2*k-1)*d; for j=1:n+1 C(j)=C(j)+Y(k)*cos((j-1)*z); end end C=2*C/(n+1); C(1)=C(1)/2; MATLAB中的插值、拟合与查表 插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。φ(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。 根据测量数据的类型： 1．测量值是准确的，没有误差。 2．测量值与真实值有误差。 这时对应地有两种处理观测数据方法： 1．插值或曲线拟合。 2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。 2.2.1 插值命令 命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。 yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； 题目一:多项式插值 某气象观测站在8:00(AM)开始每隔10分钟对天气作如下观测,用三次多项式插值函数(Newton)逼近如下曲线,插值节点数据如上表,并求出9点30分该地区的温度(x=10)。 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x 0,y 0),……(x n ,y n ),插值多项式有如下形式: ）（） ）（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα (1) 其中系数i α(i=0,1,2……n)为特定系数,可由插值样条i i n y x P =） （(i=0,1,2……n)确定。 根据均差的定义,把x 瞧成[a,b]上的一点,可得 f(x)= f(0x )+f[10x x ，](0x -x ) f[x, 0x ]= f[10x x ，]+f[x,10x x ，] (1x -x ) …… f[x, 0x ,…x 1-n ]= f[x, 0x ,…x n ]+ f[x, 0x ,…x n ](x-x n ) 综合以上式子,把后一式代入前一式,可得到: f(x)= f[0x ]+f[10x x ，](0x -x )+ f[210x x x ，，](0x -x )(1x -x )+ …+ f[x, 0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ,…x n ,x ]） （x 1n +ω= N n (x)+） （x n R 其中 N n (x)= f[0x ]+f[10x x ，](0x -x )+ f[210x x x ，，](0x -x )(1x -x )+ …+ f[x, 0x ,…x n ](0x -x )…(x-x 1-n ) (2) (){} 21 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+ = 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。 已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点 的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下： 实验报告容： 一：不动点迭代法解方程 二：牛顿插值法的MA TLAB实现 完成日期：2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期：2012-6-21 所以，确定初值为x0=1 二：不断迭代 算法： 第一步：将f(x0)赋值给x1 第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步 编写计算机程序： clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下： k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873 k=5,x0=0.739560873,x1=0.736981783 k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图： 牛顿插值法在MATLAB 中的实现 经过n+1个不同的插值点12n+1,,x x x …,，构造牛顿插值公式 1211231212n+112n =[,]()[,,]()()[,,]()()()N f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x -+--++---（x ）……… 注：牛顿插值法中，用到了插值公式 %我们以二次牛顿插值公式为例解析牛顿插值法的matlab 程序 function[c,d]=newpoly(x,y) %这里x 为3个节点的横坐标组成的向量，即()123,,x x x x =，y 为纵坐标的组成向量，即 ()()()()123,,y f x f x f x = %c 为所得的牛顿插值多项式的系数组成的向量 n=length(x); %测量向量x 的长度，即向量x 中元素i x 的个数，赋值给n ，所以n=3，注：这里的“n ”仅为变量，和公式中的次数n 不一样 d=zeros(n,n); d=zeros(3,3) %把变量d 定义为一个n 行，n 列的零矩阵,此矩阵用来储存各阶差商，格式完全等同于书中21页的表2.1 d(:,1)=y ’; %此句是把向量y 的转置，即123()()()f x y f x f x ?? ? = ? ? ? ?，赋值给零矩阵d 的第一列 %下面运用两个for 循环来构造书中21页的差商表2.1 %第一个循环（父循环），循环变量为k for k=2:n %用来表示零矩阵d 中的第几行 %第二个循环（父循环），循环变量为k for j=k:n %用来表示零矩阵d 中的第几列 d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); %差商公式，其中d(k,j)表示零矩阵d 中的第k 行，第j 列的元素，d(k,j-1)，d(k-1,j-1)等也类似，它们代表的元素随着双循环而变化，x(k-1)表示1k x -，这种计算差商的方法是根据差商表的排列位置而得来，具体解释见下面。 end end %下面以二次牛顿插值公式为例解析双循环构造差商表，让我们先来看看构造好的差商表2.1 121232312333 ()() [,]() [,] [,,]X f x d f x f x x f x f x x f x x x ?? ??=?????? MATLAB牛顿插值法例题与程序 题目一：多项式插值 某气象观测站在8:00(AM)开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数(Newton)逼近如下曲线,插值节点数据如上表,并求出9点30分该地区的温度(x=10) 0 、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值(x 0,y 0), ...... (x n ,y n ),插值多项式有如下形式： Pn(X) 0 1(X-X°) 2(X-X°)(X X1 ) n(X-X°)( X X1) (X X n) (1) 其中系数i (i=0,1,2 .... n)为特定系数,可由插值样条 P n(xJ y i (i=0,1,2 .... n)确定。 根据均差的定义,把x瞧成[a,b]上的一点,可得 f(X)= f( X°)+f[ X。, X』(X-X o) f[X, X°]= f[ X0, X1〕+f[X, X0, X1] ( X -X1) f[X, X0,…X n-1 ]= f[X, X0,…X n]+ f[X, X。，…X n ](X-X n) 综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到： f(x)= f[ X°]+f[ X0, X』(X-X°)+ f[ X0, X1, X2〕( X-X°)( X-X1)+ …+ f[X, X0 ,…X n ]( X-X0)…(X-X n-1)+ f[X, X° ,…X n , X ] n 1( X)= N n (X)+ R(X) 其中 N n (X)= f[ X°]+f[ X0, X1]( X-X°)+ f[ X0, X1, X2]( X-X°)( X-XJ + …+ f[x, X0,…X n]( X-X0)…(X-X n-1) MATLAB牛顿插值法例题与程序 R n(x) = f(x)- N n (x)= f[X, X。，…X n ，X ] n 1(X) ⑶ n 1(X)=(X-X o)…(X-X n) Newton插值的系数i(i=0,1,2 ...... n)可以用差商表示。一般有 k f [ X o, X1 X k ] (k=0,1,2, ...... ,n ) ⑷ 把⑷ 代入⑴ 得到满足插值条件N(X i)f &丿(i=0,1,2,……n)的n次 Newton插值多项式 N n(x)=f( x°)+f[ X0, xj( x -X1 )+f[ X0, X1, X2K x -X1)( x -x2)+ .................. +f[ X0, X1 X n]( x -x1)( x -x2)…(X-X n-1)、 其中插值余项为： n \ ) f R n(X) f(X)-N ( X ) -^―)n 1(X ) n(n 1)! n1 介于X0, X1 X k之间。 三、程序设计 fun ctio n [y,A,C, L]=newdscg(X,Y,x,M) % y为对应x的值,A为差商表,C为多项式系数丄为多项式 % X为给定节点,Y为节点值,x为待求节点 n=length(X); m=length(x); % n 为X 的长度 for t=1:m z=x(t); A=zeros( n,n) ;A(:,1)=Y'; s=0、0; p=1、0; q1=1、0; c1=1、0; for j=2: n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j; end 实验二：牛顿插值X为各个插值节点，Y为各阶均差 程序如下： function [A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y) n=length(X); A=zeros(n,n); A(:,1)=Y'; s=0.0; p=1.0; q=1.0; c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end b=poly(X(j-1));q1=conv(q,b); c1=c1*j; q=q1; end C=A(n,n); b=poly(X(n)); q1=conv(q1,b); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k); end L(k,:)=poly2sym(C); Q=poly2sym(q1); syms M wcgs=M*Q/c1; Cw=q1/c1; 运行：书P32 例4 X=[0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05]; Y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382]; [A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y) 输出结果： A = Columns 1 through 4 0.4108 0 0 0 0.5782 1.1160 0 0 0.6967 1.1860 0.2800 0 0.8881 1.2757 0.3589 0.1973 1.0265 1.3841 0.4335 0.2130 1.2538 1.5153 0.5249 0.2287 Columns 5 through 6 0 0 0 0 0 0 0 0 (){}2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)()()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x =-≤≤=+=-+====-+ =L L 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。 已知对作、计算函数在点处的值； 、求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=-L 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下： Newton插值的matlab实现 成员：黄全P092314746 28% 付吉P091712737 24% 颜学俭P091712716 24% 罗国庭P091712739 24% 指导老师：刘华 2012年5月2日 目录 Newton插值的matlab实现 ....................................................................................................... - 1 - 一过程整理...................................................................................................................... - 3 - Newton插值的基本原理 ............................................................................................ - 3 - 二流程图............................................................................................................................ - 4 - 三算法设计...................................................................................................................... - 6 - 3.1、Newton插值的matlab实现 .............................................................................. - 6 - 3.2、程序..................................................................................................................... - 6 - 3.3、例题..................................................................................................................... - 6 - 3．4、命令执行图...................................................................................................... - 7 - 四参考文献........................................................................................................................ - 7 -matlab拟合工具箱的使用
matlab实现数值分析报告插值及积分
分布的拟合与检验的matlab实现
matlab牛顿插值法例题与程序
牛顿插值MATLAB算法
牛顿插值法的MATLAB综合程序
均差牛顿插值MATLAB,M文件
MATLAB中的曲线拟合与插值
插值MATLAB程序-数值分析
matlab中插值拟合与查表
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matlab 牛顿插值法 三次样条插值法
matlab(迭代法_牛顿插值)
牛顿插值法matlab程序解析
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