士兵军考试题：军队院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题

阶段性检测试题

一、选择题（共9小题，每题4分）

1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤3

2}，则A ∪B ＝( D )

A ．?

B ．(0，13]

C ．[1

3，1] D ．(－∞，1]

(1)由题意知，A ＝(0，1]，B ＝(－∞，1

3]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D.

2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a 3a 9＝2a 52，a 2＝2，则a 1＝( C )

D ．2

解析：选C.由等比数列的性质得 ， ∵q>0，

∴a6＝2a5，q ＝a6a5＝2，a1＝a2

q

＝2，故选C.

3．已知f(x)＝3sin x －πx ，命题p ：?x ∈? ????

0，π2，f(x)<0，则( D )

A ．p 是假命题，?p ：?x ∈? ????

0，π2，f (x)≥0

B ．p 是假命题，?p ：?x0∈? ????

0，π2，f(x0)≥0

C ．p 是真命题，?p ：?x ∈? ????

0，π2，f(x)>0

D ．p 是真命题，?p ：?x0∈?

????

0，π2，f(x0)≥0

解析：选D.因为f′(x)＝3cos x －π，所以当x∈? ????

0，π2时，f ′(x)<0，函数f(x)

单调递减，所以?x ∈?

????

0，π2，f(x)

特称命题，所以答案选D.

4．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a 与b 的夹角为(D )

解析：选⊥(a＋b)?a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0，故cos 〈a ，b 〉＝－32，故所求夹角为5π6

.

5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A ) A ．f(x)＝

21x

B ．f(x)＝x 2

＋1 C ．f(x)＝x 3 D ．f(x)＝2－x

解析：选中f(x)＝

1

x2

是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f(x)＝x3是奇函数．D 中f(x)＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．

6．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图象可能是( B)

解析：选B.∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，

∵g(x)＝－logbx 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a ＞1，则0＜b ＜1， 此时f(x)＝ax 是增函数， g(x)＝－logbx 是增函数， 结合图象知选B.

7、已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B ) A ．2n －1 n －1

n －1

[解析] (1)由已知Sn ＝2an ＋1，得Sn ＝2(Sn ＋1－Sn)，即2Sn ＋1＝3Sn ，Sn ＋1Sn ＝3

2

，

而S1＝a1＝1，所以Sn ＝? ??

??32n －1

.

[答案] B

8.设正实数x ，y ，z 满足x 2

－3xy ＋4y 2

－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2

z

的最大值

为( B )

A ．0

B ．1 D ．3 解析：选＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)，

∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x

－3≤1

4－3

＝1. 当且仅当x y ＝4y

x

，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，

∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－? ??

??1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2

z 的最大值为1.

9.已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( C )

A ．40

B ．200

C ．400

D ．20

解析：选－2S

10

＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2

＝10(a 20－a 10)＝100d . 又a 10＝a 2＋8d ， ∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4.

∴S 20－2S 10＝400.

二、填空题（共8小题，每题4分）

1、函数f (x )＝10＋9x －x 2

lg （x －1）

的定义域为( )

解析：要使函数有意义，

则x 需满足?????

10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即????

?（x ＋1）（x －10）≤0，①x >1，x ≠2，

解①得－1≤x ≤10.

所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]． 2、函数y ＝)24

cos(x -π

的单调减区间为________．

(3)由y ＝cos ? ????π4－2x ＝cos ?

????

2x －π4，得

2k π≤2x －π

4≤2k π＋π(k∈Z)，

故k π＋π8≤x ≤k π＋5π

8

(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为?

?????

k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．

3、函数f(x)＝433

2

3--+x x x 在[0，2]上的最小值是( ) A ．－

17

3

B ．－103

C ．－4

D ．－643

解析：选′(x)＝x2＋2x －3，

令f′(x)＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－10

3，

故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－17

3

.

4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA2＋AC2＝2 2. 答案：22

5、若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则a n ＝________．

解析：由3a n ＋1＝3a n －4，得a n ＋1－a n ＝－4

3，

所以{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差d ＝－4

3，

所以a n ＝15－43(n －1)＝49－4n

3.

答案：49－4n

3

6、若命题“?x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．

因为“?x 0∈R ，2x 20－3ax 0＋9<0”为假命题，则“?x ∈R ，2x 2

－3ax ＋9≥0”为真

命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.

7、若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝?

????x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1

8－76＝f ? ??

??－76.

∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，∴f ? ????34＝34×?

????1－34＝3

16.∵当1

＝sin πx ，

∴f ? ????76＝sin 7π6＝－1

2.又∵f (x )是奇函数，

∴f ? ????－34＝－f ? ????34＝－3

16，f ? ????－76＝－f ? ????76＝12.

∴f ? ????294＋f ? ????416＝12－316＝5

16

.

8．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，

则实数a 的值为________．

解析：(构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x)≥0显然成立； 当x>0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x ＋1≥0可化为a≥3x2－1

x3.

设g(x)＝3x2－1

x3，

则g′(x)＝3（1－2x ）

x4

，

所以g(x)在区间? ????

0，12上单调递增，在区间??????12，1上单调递减，

因此g(x)max ＝g ? ??

??

12＝4，从而a≥4.

当x<0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤3x2－1

x3.

g(x)在区间[－1，0)上单调递增， ∴g(x)min ＝g(－1)＝4， 从而a≤4，综上可知a ＝4. 答案：4

三．计算下列各题：（18

分）

(1)12lg 3249－4

3lg 8＋lg 245； 解：(1)12lg 3249－4

3

lg 8＋lg 245

＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋1

2(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋1

2lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.

（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.求角A 的大小； [解] (1)由题意知，

根据正弦定理得2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ， 即a2＝b2＋c2＋bc.①

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ， 故cos A ＝－1

2，A ＝120°.

四、（12分）已知23

1

1:≤--

x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若q p ??是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

五、证明：(1)连接AD 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1，

因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .

而FP ?平面EFPQ ，且BC 1?平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .

(2)如图，连接AC ，BD ，则AC ⊥BD .

由CC 1⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，可得CC 1⊥BD . 又AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1.

而AC 1?平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1. 因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点， 所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.

又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .

（12分）六、已知函数)0(cos cos )sin()(2>+-=ωωωωπx x x x f 的最小正周期为π，将函数

)(x f y =的图像上各点的横坐标缩短到原来的

2

1，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g y =在区间??

?

???16,0π上的最小值。

（14分）七、已知数列{}n a 满足1)1(221+-=+n n a a ，且1,31>=n a a （1）设)1(log 2-=n n a b ，证明数列{}1+n b 为等比数列； （2）设n n nb c =，求数列{}n c 的前n 项和n s 。

（14分）八、已知函数f (x )＝x

e x

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)设g (x )＝xf (x )－ax ＋1，若g (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a 的取值范围．

解：(1)f (x )＝e x

x

，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，

∴f ′(x )＝e x （x －1）

x

2

. 当f ′(x )＝0时，x ＝1.

f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：

故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．

(2)g(x)＝e x－ax＋1，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝e x－a，

①当a≤1时，g′(x)＝e x－a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．

②当a>1时，令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a；

令g′(x)＝e x－a>0，得x∈(ln a，＋∞)；

令g′(x)＝e x－a<0，得x∈(0，ln a)．

故g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增，

∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝ln a.

故实数a的取值范围是a>1.