第一章质点运动学_习题及答案

第1章 质点运动学 习题及答案

一、填空题

1.一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为335x t t =-+,则质点在任一时刻的速度

为 ，加速度为 。

2.一质点沿Ox 轴运动，其运动方程为335x t t =+-，则质点在2t s =时的加速度大小

为 ，方向为 。

3. 一质点沿Ox 轴运动，其速度为22t υ=，初始时刻位于原点，则质点在2t s =时的位

置坐标x = ,加速度大小为 。

4.一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t A a ωωcos 2-=，在t=0 时，

,,0A x x ==υ其中ω,A 均为正常数，则此质点的运动方程是 。

5．一质点的运动学方程为cos sin R t R t =+r i j ，在任意时刻，切向加速度和法向加速度

的大小分别为 ， 。

6．质点作圆周运动的法向加速度反映了 的变化快慢，切线加速度反映了 的变化快慢。

7.一质点沿半径为R 的圆周按规律22

1bt t s o -=υ而运动, o υ,b 都是常数. t 时刻质点的总加速度为 ; t 为 时总加速度在数值上等于b ，当加速

度达到b 时,质点已沿圆周运行了 圈。

二、回答问题

1．｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和dr dt 有无不同? t

d d v 和dv dt 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解: ｜r ?｜与r ? 不同. ｜r ?｜表示质点运动位移的大小,而r ?则表示质点运动时其径向长度

的增量;t d d r 和dr dt 不同. t

d d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt 则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. t

d d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt 则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线

运动？

解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动.

3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是

恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.

三、计算题

1．一物体做直线运动，运动方程为23

62x t t =-，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。 解: 由于: 23

2621261212x(t )t t dx v(t )t t dt

dv a(t )t dt

=-==-==- 所以:（1）第二秒内的平均速度: 1(2)(1)4()21

x x v ms --==- （2）第三秒末的速度:

21(3)1236318()v ms -=?-?=-

（3）第一秒末的加速度:

2(1)121210()a ms -=-?=

（4）物体运动的类型为变速直线运动。

2．一质点运动方程的表达式为2105(t t t =+r i j ），式中的,t r 分别以m,s 为单位，试求；（1）质点的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。

解: （1）质点的速度: 205dr v ti j dt

==+ 质点的加速度: 20dv a i dt

== （2）质点的轨迹方程: 由210,5x t y t ==联立消去参数t 得质点的轨迹方程: 252

y x = 3．一人自坐标原点出发，经过20s 向东走了25m ，又用15s 向北走了20m ，再经过10s 向西南方向走了15m ，求：（1）全过程的位移和路程；（2）整个过程的平均速度和平均速率。

解: 取由西向东为x 轴正向, 由南向北为y 轴正向建立坐标系.则人初始时的位置坐标为(0,0), 经过20s 向东走了25m 后的位置坐标为(25,0), 又用15s 向北走了20m 后的位置坐标为(25,20), 再经过10s 向西南方向走了15m 后的位置坐标为

(25--于是:

（1）全过程的位移和路程:

[(25(20]()

25201560()r i j m s m ?=-+-?=++=

（2）整个过程的平均速度和平均速率:

54/[(25(20]/[((](/)994/60/45(/)3

v r t i j t i j m s v s t m s =??=-+-?=-+-=??== 4．一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1t 2+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计． (1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式，分别求出第一秒和第二秒内质点的位移；

(2)求出质点速度矢量的表示式，计算t ＝4 s 时质点的瞬时速度；

(3) 求出质点加速度矢量的表示式，并计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度。

解: （1） j t t i t r

)4321()53(2-+++=(m )

将0t =，1=t ,2=t 分别代入上式即有 054t s r i j ==- (m )

180.5t s r i j ==- (m )

2114t s r i j ==+ (m )

第一秒内质点的位移：

103 3.5t s t s r r r i j ==?=-=+ (m )

第二秒内质点的位移

213 4.5t s t s r r r i j ==?=-=+ (m ) (2) d 3(3)m/s d r v i t j t

==++ 437m/s t s v i j ==+ (3) 2d 1m/s d v a j t

== 240(37)(33)1/404

t s

t s v v i j i j a jm s ==-+-+===- 5.质点的运动方程为8282(t )cos(t )sin(t )(m )=+r i j ，求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小；（2）质点的切向加速度和运动轨迹。

解: (1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小: 122212212122221621623223221632x y x y dr v sin(t )cos(t )(ms )dt d r a cos(t )sin(t )(ms )dt v (v v )(ms )

a (a a )(ms )

----==-+==--=+==+=i j i j

（2）质点的切向加速度: 20()dv a ms dt

τ-== 运动轨迹:

由 8282x cos(t )y sin(t )

==消去t 得2228x y += 6．一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，求：(1)

t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解: (1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度 2

2

2222222

2229181836(9)1296t s t s t s n t s t s t s d t dt

d t dt

a R t ms a R t ms τθωωββω-===-============= (2)当加速度的方向和半径成45°角时的角位移: 令 /451n a a tg τ== 得到:329t =

因此 223 6.679

Rad θ=+?= 故 0 2.6720.67Rad θθθ?=-=-=

7、一质点沿X 轴运动，其加速度32a t =+，如果初始时刻1

053v ms ,t s -==时，则质点的速度大小为多少？

解:

305132(32)23()

v

dv t dt

dv t dt v ms -=+=

+=??

8．已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m ， v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．

解：∵ t t

v a 34d d +== 分离变量，得 t t v d )34(d +=

积分，得 122

34c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c

故 22

34t t v +

= 又因为 22

34d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )2

34(d 2+= 积分得 232212c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c

故 52

1232++

=t t x 所以s 10=t 时 21102310341010190(m s )21210105705(m)2

v x -=?+?=?=?+?+= 9．一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．

解:

00212

20103442()

22210()3

v

t

x

t dv t dt

dv tdt

v t ms dx t dt

dx t dt x t m -======+????

10．在一个无风的雨天，一火车以1

20m s -?的速度前进，车内旅客看见玻璃上雨滴的下落方向与竖直方向成75 ，求雨滴下落的速度（设雨滴做匀速运动）。

解:由题意,牵连速度1020v ms -=,相对速度与竖直方向成75 ,绝对速度竖直向下.于是: 00

75v tg v = 由此得到: 01075 5.36()v v tg ms -==