2019年河南省中考数学试题及答案分析最新

2019年河南省初中毕业、升学考试

数学

（满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（2019河南省，1，3）1

2

的绝对值是（）

A.

1

2

- B.

1

2

C.2

D.2-

【答案】B

【解析】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的意义．此类问题容易出错的地方是容易与倒数或相反数混淆．根据绝对值的意义:一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是

0，从而可得1

2

的绝对值是

1

2

，即

11

22

．

故答案选B

【知识点】绝对值，相反数

2．（2019河南省，2，3）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）

A. 46×10-7

B. 4.6×10-7

C.4.6×10-6

D.0.46×10-5

【答案】C

【解析】本题考查了科学记数法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值．

0.0000046是绝对值小于1的数，这类数用科学计数法表示的方法是写成a×10-n（1≤a＜10，n＞0 ）的形式，关键是确定－n，确定了n的值，－n的值就确定了．确定方法是：n 的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．故0.0000046中左起第一个非零数为4，其左边六个零，即0.0000046=4.6×10-6．答案选C

【知识点】科学记数法

3．（2019河南省，3，3）

如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为（）

A.45°

B.48°

C.50°

D.58°

【答案】B

【解析】本题考查了（1）平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第

三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．（2）三角形内角和定理推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ∵AB ∥CD ∠B =75°

∴∠B=∠CFE =75°

∵∠CFE=∠D+∠E ∠E =27° ∴∠D=∠CFE-∠E =75°-27°=48° 故答案选B

【知识点】平行线的性质，三角形内角和定理及其推论 4．（2019河南卷，4，3）下列计算正确的是（ ）

A.236a a a +=

B.2

2

(3)6a a -= C.2

2

2

()x y x y -=- D.32222-=

【答案】D

【解析】A 合并同类项系数2+3=5，,不是2×3=6，B 错-3的平方等于9，C 中乘法公式用错，D 正确，选D 【知识点】合并同类项、积的乘方、乘法公式、合并同类二次根式.

5．（2019河南卷，5，3）如图（1）是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图（2），关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）

A.主视图相同

B.左视图相同

C. 俯视图相同

D.三种视图都不相同

【答案】c

【解析】考查三视图，对比平移前后结果A 主视图不同，B 左视图不同，AB 选项不对，C 俯视图相同，C 正确.故选Ｃ．

【知识点】平移，三视图

6．（2019河南卷，6，3）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根 【答案】A

【解析】先化简，∵2123x x -=+，∴2240x x --=，△=

2

-+16=20（2）>0，故选A ． 【知识点】一元二次方程化为基本形式，运用根的判别式判断根的情况

7．（2019河南省，7，3） 某超市销售A ，B ，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是5元，3元，2元，1元.某

天的销售情况如图所示，则这天销售矿泉水的平均单价是（ ）

A.1.95元

B.2.15元

C.2.25元

D.2.75元

55%

20%

15%

10%

D

C

B

A

【答案】C

【解析】本题考查了加权平均数的概念和意义，由题意可知各种不同价格的百分比就是权重，最终的平均数就等于每个价格乘以权重，所以平均单价为：5×10%+3×15%+2×55%+1×10%=2.25，所以最后的平均单价为2.25元.

【知识点】加权平均数的意义；扇形统计图

8．（2019河南省，8，3） 已知抛物线24y x bx =-++经过（-2，n ）和（4，n ）两点，则n 的值为（ ）

A.-2

B.-4

C.2

D.4

【答案】B

【解题过程】由题意知抛物线过（-2，n ）和（4，n ）,说明这两个点关于对称轴对称，即对称轴为直线x =1，所

以-a b

2=1，又因为a=-1，所以可得b =2，即抛物线的解析式为y=-x 2+2x +4，把x =-2代入解得n =-4.

【知识点】二次函数的对称性;中点坐标公式;求对称轴的公式及二次函数解析式. 9．（2019河南省，9，3）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3，分别以点A ，C 为圆心，

大于

1

2

AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（

） A. B.4 C.3

D.

【答案】A

【解题过程】过点A 做BM ⊥B C 与点M, ∵AD ∥BC

∴∠BCD+∠D=180°

又∵∠D=90°∴∠BCD=90°

∴∠BCD=∠D=∠BMD=90° 四边形BCDM 为矩形 ∴AB=BC=3 BM=CD

由作图可知AE=CE 又∵O 是AC 的中点 ∴AB=BC=3

在Rt △ABM 中，∠AMB=90°，AM=AD-MD=1 ∴BM

== ∴CD=

故选A

M

F

E O

B

D

A

C

【知识点】尺规作图 矩形的判定及性质 等腰三角形的性质 垂直平分线的性质 勾股定理

10．（2019河南省，10，3）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD

组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ）

A. （10，3）

B. （－3，10）

C. （10，－3）

D. （3，－10）

y

x

C

D

B

A

O

【答案】D

【思路分析】由A 、B 两点的坐标可知线段AB 的长度和它与x 轴的关系，由正方形的性质可知AD=AB ，延长DA 交x 轴于点M ,则DA ⊥x 轴，Rt △DMO 中，MO=3,DM=10，将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每次顺时针旋转90°，D 点的落点坐标可由Rt △DMO 的旋转得到。仔细观察图形得到点D 坐标的变化规律，每旋转四次完成一个循环，从而可得到第70次旋转后的坐标. 【解题过程】延长DA 交x 轴于点M ∵A （-3,4），B （3,4） ∴AB =6,AB ∥x 轴

∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD =AB =6,∠DAB =90° ∴∠DM0=∠DAB =90°

连结OD ,Rt △DMO 中，MO =3 DM =10 则D 点的坐标为（-3,10）

将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每次顺时针旋转90° 当图形绕点O 顺时针第一次旋转90°后， D 点的坐标为（10,3）， 当图形绕点O 顺时针第二次旋转90°后， D 点的坐标为（3,-10）， 当图形绕点O 顺时针第三次旋转90°后， D 点的坐标为（-10,-3），

当图形绕点O 顺时针第四次旋转90°后， D 点的坐标为（-3,10）， 当图形绕点O 顺时针第五次旋转90°后， D 点的坐标为（10,3）， ...... 每四次为一个循环 ∵70÷4=17 (2)

∴旋转70次后，D 点的坐标为（3，-10） 故选D 【知识点】正方形的性质 图形旋转的性质 点的坐标变化规律

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 11．（2019河南卷，11，3）计算：4-2-1 = . 【答案】

2

3

【解析】根据算术平方根的求法可以得到4=2,2-1=21，可知2-21=2

3 【知识点】实数的计算

12．（2019河南卷，12，3）不等式组?????+--≤4

71

2＞x x

的解集是 .

【答案】x≤-2

【解析】根据不等式组的解法，分别求出两个不等式的解集，在数轴上找出他们的公共部分，或者是根据“同大取大，同小取小，大大小小解不了，大小小大中间找”也能求出他们的解集为x≤-2. 【知识点】解不等式组 13．（2019河南卷，13，3）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球，2个

红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 . 【答案】

9

4 【解析】解法一：在第一个袋子里随机摸出一个球，第一个袋子里的白球和第二个袋子里的黄球颜色不同，只有红色的颜色相同.第一个袋子摸出红球的概率为32，第二个袋子里摸出红球概率为3

2

，所以摸出颜色相同的球的概率为

32×32=9

4

. 解法二：树状图法：

×√√

×

×√

×√×黄红红黄

红红红红红黄白红

所以摸出颜色相同的球的概率为

9

4. 【知识点】随机事件的概率计算.

14．（2019河南省，14，3）如图，在扇形AOB 中，∠AOB =120°，半径OC 交弦AB 于点D ,且OC ⊥OA .OA =23，

则阴影部分的面积为 .

3

【解析】解法1：

∵在扇形AOB 中，∠AOB =120° ∴OA =OB

所以∠BAO =∠ABO =1

2

（180°-120°）÷2=30°（等边对等角） ∵OC ⊥OA （已知）

∴在Rt △AOD 中，AO =3∠BAO=30° ∴OD=AOtan ∠BAO =2333

=2，

又∵在△BOC 中，∠BOC =∠AOB -∠AOD =120°-90°=30° 过点B 作BE ⊥OC 于点E ∴BE=OBsin30°=231

2

3∴=S AOD BCO ODB S S S +-影部分△扇形△

=2n 23602

OD AO AO OD BE

π+- =()

2

3023

22323

2

360

2

π+-

π

=233π+-

=3π+

解法2：

∵在扇形AOB 中，∠AOB =120° ∴OA =OB,∴∠BAO =∠ABO =1

2

（180°-120°）÷2=30° ∵OC ⊥OA （已知）

∴在Rt △AOD 中，OD=AOtan ∠BAO =23×3

=2， ∴AOD S

=

1

2

×2×23=23 取AD 的中点E ，利用直角三角形斜边上的中线，可得 ①1=2

EDO

ADO S

S =

3；②△AEO ?△BDO ，∴=AEO

BDO

S

S

∴=EDO BCO S S S +影部分扇形=3+2

n 360

AO π=3+π

【知识点】与圆有关的计算，（圆内半径相等），等腰三角形的性质（等边对等角），解直角三角形，特殊角三角函数，扇形的面积，不规则图形的转化.

15．（2019河南省，15，3）如图，在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，点E 在边BC 上，且BE =3

5

a .连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 .

15题图

B'

E

D

A

B

C

【答案】

3

5

或35

【思路分析】先确定折叠时点B '的位置在哪一条边上，画出图形，再根据图形的特征利用折叠的特征及相似等知

识解决.

【解析】

由折叠可得，AB =A B ', ∠B '=∠B =900，BE = B 'E .由题意可得，点B '的位置有以下两种情况： ①当点B '落在矩形的边AD 上时，则四边形ABEB '为正方形， 所以BE =AB =1，则

53a =1，所以a =3

5; ②当点B '落在边CD 上时，则由已知可得BE =E B '=53a ，EC =52a ，所以'EB EC =32

. 由一线三直角易得，△ECB '∽△B 'DA ，所以''DB AB ='EB EC =32，则DB '=3

2

.

在Rt △AD B '中，则有勾股定理可得AD =

35,则a =3

5. 综上所述，a 的值为

3

5

或35.

【知识点】矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定，一线三直角的相似，勾股定理的应用.

三、解答题（本大题共8小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）√×

16．（2019河南省，16，8）（2019河南省，16，8）先化简，再求值：4

42)121(22+--÷--+x x x

x x x ，其中3=x .

【思路分析】利用分式的加减法则计算)12

1

(--+x x ，

然后根据除法法则将原式转化为乘式，约分后得到最简结果，最后把3=

x 代入化简后的式子即可．

【解题过程】解: 原式=)

2()2()2221(2

--?

----+x x x x x x x =x x x 2

23-?

- =x

3 当3=

x 时，原式=

33

3

=

【知识点】通分；分式的运算法则；提公因式法和公式法因式分解；约分. 解题的关键是熟练运用分式的运算法则.

17．（2019河南省，17，9）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，点E 是BD 上不与点B,D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点C .

⑴求证：△ADF ≌ △BDG ；

⑵填空：

①若AB = 4，且点E 是BD 的中点，则DF 的长为 ； ②取E A 的中点H ，当∠EAB 的度数为 时，四边形OBEH 为菱形.

O

A

【思路分析】⑴首先根据在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，判定△ABC 是等腰直角三角形，得到∠CAB ＝45°，再根据直径所对的圆周角是直角，得到 △ABD 是等腰直角三角形，从而

DA = DB ，又因为∠CAE 与∠DBG 对着同一条弧 DE ，得到∠CAE =∠DBG ，根据ASA 可以判定△ADF

≌ △BDG. ⑵①DF ；②30°.

①由△ADF ≌ △BDG 得到DG = DF .由点E 是BD 的中点，得到∠CAE =∠BAE .根据AB 为直径，可得

∠AEB =∠AEG=90°，又AE=AE ，得到 △AEG ≌ △AEB ，从而得到

AG=AB =4.再根据△ABD 是等腰直角三角形，可得AD

，所以 DF=DG =AG-AD .

②连接OE ，因为 四边形OBEH 为菱形，所以 BE=BO.因为OB ，OE 都是半径，所以 OB= OE ，推得△OBE 是等边

三角形，所以∠ABE=60°.又AB是直径，所以∠AEB=90°，根据三角形内角和定理，可得∠EAB=30°.

【解题过程】解：∵在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝45°.

∵AB为直径，

∴∠ADB＝∠BDG＝90°.

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴ DA = DB.

∵∠CAE与∠DBG同弧，

∴∠CAE=∠DBG，

∴△ADF≌△BDG.

⑵①∵△ADF≌△BDG，

∴DG = DF.

∵点E是BD的中点，

∴∠CAE=∠BAE.

∵AB为直径，

∴∠AEB=∠AEG=90°.

又AE=AE，

∴△AEG ≌△AEB，

∴ AG=AB=4 .

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴AD2，

∴ DF=DG=AG-AD=2

②连接OE，

∵四边形OBEH为菱形，

∴BE=BO.

∵OB= OE，

∴△OBE是等边三角形，

∴∠ABE=60°.

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB=30°.

【知识点】圆的性质，三角形全等的判定，等腰直角三角形，等腰三角形，菱形.

18．（2019河南省，18，9）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a.七年级成绩频数分布直方图： 成绩/分

频数10090807060501515

11

111010886

6

b.七年级成绩在70≤x ＜80这一组的是：

70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八

79.2

79.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人； （2）表中m 的值为 ；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数. 【思路分析】（1）先确定七年级成绩频数分布直方图，成绩在80≤x ＜90，,90≤x ＜100，分别有15人，8人，相加即可求出;

（2）根据七年级成绩中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数在70≤x ＜80这一组，数据即确定m 的值;

(3)根据两个年级的平均分，中位数，解答可得;

(4)用总人数乘以样本中超过76.9分的人数所占比例可得. 【解题过程】解：（1）∵七年级成绩频数分布直方图80≤x ＜90,90≤x ＜100的人数为15人和8人， ∴七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人.

（2）中位数为第25个、26个数据的平均数，第25个、26个数据的平均数这一组中的77和78，所以中位数

m=

7778

2

+=77.5； （3）∵七年级学生的成绩超过平均分76.9分且高于中位数77.5分，位于中上等，而八年级学生的成绩低于平均分且低于中位数，位于中下等. ∴七年级学生的排名更靠前.

（4）估计七年级400人成绩超过平均分76.9分的人数为：400×

515850

++=224人

答：七年级成绩超过平均数76.9分的人数是224人.

【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数. 19．（2019河南省，19，9）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎

帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度.(精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，

tan34°≈0.67，3 1.73≈)

【思路分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意构造直角三角形.先在Rt △ACE 中，利用三角函数求出AC ，然后求出BC 的长，最后在Rt △BCD 中，利用三角函数求出CD 的长，从而可求DE 的长. 【解题过程】解：

由题意可得：CE =55,AB =21，∠A =34°，∠CBD =60°; 在Rt △ACE 中：

∵tan A =

CE AC =55

AC 即tan34°=55

AC

≈0.67

∴AC ≈82.1

∴BC=AC -AB ≈82.1-21=61.1 在Rt △BCD 中：

∵tan ∠CBD =

CD BC =61.1CD

即tan60°=61.1

CD

≈1.73

∴CD ≈61.1 1.73≈105.7 ∴DE=CD-CE ≈105.7-55≈51

答：炎帝塑像DE 的高度约为51m.

【知识点】解直角三角形的应用，仰角和俯角

20．(2019河南，20，9)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品。已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元。 （1）求A 、B 两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A 、B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的

1

3

，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由。 【思路分析】（1）分别根据“购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元”、“ 购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元”列出方程组并求解即可得出A 、B 两种奖品的单价；

（2）设学校准备购买A 种奖品m 个，则B 种奖品购买()30m -个，由“A 奖品的数量不少于B 奖品数量的

13

”可列出不等式，求得m 的取值范围；设学校购买A 、B 两种奖品所需的钱数为w 元，写w 出m 与之间的函数关系式，由函数的增减性即可求出最省钱的购买方案。 【解题过程】解：（1）设A 、B 两种奖品的单价分别为x 元、y 元，依题意，得：

3212054210x y x y +=??

+=?，解得：30

15x y =??=?

。 答：A 、B 两种奖品的单价分别为30元、15元。

（2）设学校准备购买A 种奖品m 个，则B 种奖品购买()30m -个，则：

()1

303

m m ≥

-，解得7.5m ≥； 设学校购买A 、B 两种奖品所需的钱数为w 元，则：

()30153015450w m m m =+-=+，因150m =>，所以w 随m 的增大而增大，故当m =8时，购买A 、B 两

种奖品所需的钱数最少，此时购买A 种奖品8个，B 种奖品22个。

【知识点】二元一次方程组及解法；一元一次不等式及其解法，一次函数的性质

22. (2019河南，21，9)模具厂计算生产面积为4，周长为m 的矩形模具.对于m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x ，y ，由矩形的面积为4，得4xy =，即4

y x

=；由周长为m ，得()2x y m +=，即2

m

y x =-+

.满足要求的（x ，y ）应是两个函数图象在第象 限内交点的坐标。 （2）画出函数图象

函数()40y x x =

>的图象如图所示，而函数2

m

y x =-+的图象可由直线y x =-平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y x =-.

（3）平移直线y x =-，观察函数图象

①当直线平移到与函数()4

0y x x

=

>的图象有唯一交点（2，2）时，周长m 的值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m 的取值范围；

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m 的取值范围为 。 【思路分析】（1）根据实际意义，矩形的长和宽不可能是0或负数，所以满足要求的（x ，y ）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；

（2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）①交点（2，2）在函数2

m

y x =-+

的图象上，代入可求得周长m 的值； ②观察图象，不难发现，在直线的平移过程中，除了两个函数图象有唯一交点（此时8m =）外，交点的个数还有其它两种情况：一是无交点，此时08m <<；二是有两个不同的交点，此时8m >；

（4）观察图象，当两函数图象有交点时，能生产出面积为4的矩形模具，其周长周长m 的取值范围为8m ≥。 【解题过程】解：（1）一； （2）如图所示：

（3）①交点（2，2）在函数2m y x =-+

的图象上，所以222

m

=-+，解得8m =，故填8； ②直线在第一象限内平移的过程中，其与函数的图象交点的个数还有两种情况：一是无交点，二是有两个不同

交点个数

无交点

有唯一交点

有两个不同的交点

m 的取值范围 08m << 8m = 8m >

（4）。

【知识点】一次函数与反比例函数的应用；函数的性质；函数图象的画法；

22．（2019河南省，22，10）在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的 任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP . (1)观察猜想

如图1，当α＝60°时，BD

CP

的值是 .

直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是: . (2)类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出BD

CP

的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由.

(3)解决问题

当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时

AD

CP

的值.

备用图

图2

图1

B

A

【思路分析】第（1）问中，利用“SAS”可以证得△ACP ≌△ABD .可得BD=CP ,BD 与CP 的夹角等于∠BAC.

第（2）问中,模仿（1）中的思路，可以利用两边成比例且夹角相等来证明△ACP ∽△ABD ，BD 与CP 的夹角仍然等于∠BAC . 第（3）问中,画出对应的图形后，找出有关的角度即可解决问题. 【解题过程】)

(1) 1；60° （证得△ACP ≌△ABD 即可）

(2) 2BD CP

=,直线BD 与CP 相交所成的角度是45°,

理由如下：

假设BD 与CP 相交于点M ，AC 与BD 交于点N ， 由题意可知，△PAD 是等腰直角三角形

∴∠DAP ＝45，

2

PA AD

=

∵CA ＝CB ，∠ACB ＝α＝90° ∴△ACB 是等腰直角三角形 ∴∠CAB ＝45°，

2

AC AB

=

∵∠CAP ＝∠PAD+∠CAD ＝45°+∠CAD ， ∠BAD ＝∠BAC+∠CAD ＝45°+∠CAD ∴∠PAC ＝∠DAB

又

∵

2

PA AC AD

AB

=

=

∴△APC ∽△ADB

∴2

BD AC CP

AB

==

∠PCA=∠ABD. ∵∠ANB=∠DNC. ∴∠CMN=∠CAB=45°

即直线BD 与CP 相交所成的角度为45°.

综上所述：

2

BD CP

=

,直线BD 与CP 相交所成的角度是45°.

（3

）

2解法提示：如图2，设CP=a ，由（2）则可得

.设CD 与AB 相交于点Q ，由平行线分线段成比例则可得PQ=CP=a.可证∠DQB=∠DBQ=67.5°，则

，易得2AD a =

=

所以

2AD CP

=.

如图3，可设AP=DP=b ，则

.由EF ∥AB ，∠PEA=∠CAB=45°，可证∠ECD=∠EAD=22.5°，易得

，

CP=

+b,

所以

2AD CP

=.

综上所述：

2AD CP

=图 1

B

图 2

图

3

【知识点】等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理

23．（2019河南省，23，11）如图，抛物线2

1

2y ax x c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线1

22

y x 经过点A ，点C .

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线AC 于点M ,设点P 的横坐标为m . ①当△PCM 是直角三角形时，求点P 的坐标；

②作点B 关于点C 的对称点B ,则平面内存在直线l ,使点M,B ,B 到该直线的距离都相等.当点P 在y 轴右侧的抛

物线上，且与点B 不重合时，请直接写出直线l :y kx b 的解析式.(k,b 可用含m 的式子表示).

备用图

【思路分析】【思路分析】（1）根据一次函数求出点A 和点C 的坐标，代入抛物线解析式联立成方程组求解即可解决；

（2）①是直角三角形存在性问题，因为PMC OCA 这个角确定不变，所以分090MPC 和090PCM 两种情况讨论即可，再结合对称性特点或构造一线三直角相似建立方程即可求出点P 的坐标； ②三个不同的点到直线l 的距离都相等，所以直线l 一定过任意两点的中点，这样的直线l 有三条，由于点C 为BB 的中点，所以只需确定MB 和MB 的中点坐标，两个点确定一条直线，任意两个中点坐标利用待定系数法则直线l 的解析式就可确定。

【解题过程】（1）∵1

22

y x 经过点A ，点 C ∴A （-4,0），C （0,-2） ∵2

1

2

y ax x c 过点A 和点 C ∴2

1

16(4)0

2

c

a c ∴

21=

4

c

a ∴抛物线的解析式为：211242

y

x x （2）①∵PM ⊥x 轴 ∴PMC OCA ∵ △PCM 为直角三角形 ∴只有两种情况：090MPC 或090PCM

当090MPC 时 ∴PM ⊥PC ∴PC x 轴 ∴点P 和点C 关于211

242

y x x 的对称轴对称 ∵211

242y

x x 的对称轴为1x ，C

（0,-2） ∴P （-2,-2）

当090PCM 时，过点C 作AC 的垂线交抛物线与点P ，即为所求，如图： 第一种方法（几何法）过点P 作PE ⊥y 轴与点E ，过点M 作MF ⊥y 轴与点F.

∵P 211

42

（m,m +m-2）

∴M 12（m,-m-2），E 21142（0,m +m-2），F 1

2（0,-m-2）

，C （0,-2） ∴PE=m , EC=22

111

14242m m m m +-2-(-2)=, CF =11

22-2-(-m-2)=m , MF =m ∵△PEC ∽△CFM ∴

PE EC CF

FM 即2114212

m m m m

m

∴

112

42

m

∴6m ∴P （6,10）

第二种方法（代数法） CP ⊥AC ，直线AC 的解析式为1

22

y x ∴直线CP 的解析式为22y x ∴由222

11

242

y x y x x 得21

1

2224

2

x x ∴1

2

0,6x x ∴P （6,10）

. （3）直线l 的解析式为4224m y

x m ，4224m y x m ，3

24

y x m . 提示：由（1）可得点B （0,2） ∵ C （0,-2） 又∵点B 和点B 关于点C （0,-2）对称∴由中点坐标公式可得(2,4)B ∵P 21142（m,m +m-2）(m>0) ∴M 12

（m,-m-2）

连接MB ，取MB 的中点Q ∵M 12（m,-m-2），B （0,2） ∴Q m+21

24（,-m-1）

连接MB ，取MB 的中点G ，M 12（m,-m-2），(2,4)B ∴G m 21

24

-（,-m-3）

∵点B 、点B 和点M 到直线l 的距离相等 ∴直线l 是过△MBB 的中位线所在的直线. ∴当直线l 过点C （0,-2）和Q m+21

24

（

,-m-1）

时，

∴有

02

m+21

24

k b

k+b=-m-1

∴

2

4

24

b

m

k

m

=

∴直线l 的解析式为42

24

m

y x

m

,

当直线l过点C（0,-2）和G m21 24 -

（,-m-3）时，

∴有

02

m 21

24

k b

k

-

+b=-m-3

∴

2

4

24

b

m

k

m

=-

∴直线l 的解析式为42

24

m

y x

m

,

当直线l过点Q m+21 24

（,-m-1）和G m21 24 -

（,-m-3）时，

∴有

m+21

24

m 21

24

k

k

+b=-m-1

-

+b=-m-3

∴

3

2

4

b m

k=1

∴直线l的解析式为32

4

y x m,

综上所述，这样的直线有

4

2

24

m

y x

m

，

4

2

24

m

y x

m

，

3

2

4

y x m.

【知识点】二次函数；方程组；两点间距离公式；中点坐标公式；直角三角形；相似三角形；分类讨论；中位线；数形结合。