数列通项公式经典例题解析

求数列通项公式

一、公式法

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+?两边除以1

2n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113

222

n n n n

a a ++-=，故数列{}2n n a 是以12

22a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)

22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+?转化为

11

3

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

练习题：

1.已知数列{}n a 满足113231

3n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 2. 已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。 二、累乘法

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故13211221

12211(1)(2)21(1)

1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332

5!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?????=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+?转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出

13211221

n n n n a a a a a a a a a ---????? ，即得数列{}n a 的通项公式。 例4 已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-=

则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???=

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知

11a =，则21a =，代入③得!

13452

n n a n =?????=

。 所以，{}n a 的通项公式为!.2

n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

1

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出

132122

n n n n a a a a a a a ---???? ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 练习题：

1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 1

1+=+，求n a 2.已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a

三、待定系数法

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5 已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

15

2(5)n n n n a x a x +++?=+?

将1235n

n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n

n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得135525

n n n

x x +?+?=?，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1

156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则1

1525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n

n n a a +=+?转化为1

15

2(5)n n n n a a ++-=-，

从而可知数列{5}n

n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列

{}n a 的通项公式。

练习题1 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 练习题 2 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 过关练习：

1 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a

2 在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

四、数学归纳法

例6已知数列{}n a 满足11

228(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由122

8(1)

(21)(23)

n n n a a n n ++=+

++及189a =，得

2122

3222

43228(11)88224

(211)(213)992525

8(21)248348

(221)(223)25254949

8(31)488480

(231)(233)49498181a a a a a a +?=+

=+=?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=

?+?+? 由此可猜测22(21)1

(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212

(211)18

(211)9

a ?+-==?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，

122

8(1)

(21)(23)k k k a a k k ++=+

++

22222222

222222

2

2

22

222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)

(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=

++++-+++=

++++-+=

+++-=

+++-=

++2

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

其他类型

类型 4 n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或

1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q

，得：

q q a q p q

a n n n n 1

1

1+?=++引入辅助数列{}n b （其中n

n

n q

a b =），得：q b q p b n n 1

1+=

+再待定系数法解决。 课后练习题 已知数列{}n a 中，651=a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解

法

：

这

种

类

型

一

般

利

用

??

?≥???????-=????????????????=-)

2()1(11n S S n S a n n n 与

)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n

a 进行求解。

课后练习题 已知数列{}n a 前n 项和2

2

14---=n n n a S .

（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

类型6 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为

{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

课后练习题 设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .