2019年重庆市初中数学竞赛试题

2019年重庆市初中数学竞赛试题

一、选择题：（32分）

1.从1到120的自然数中,能被3整除或被5整除的数共有( )

(A)64个. (B)48个. (C)56个. (D)46个.

2.已知135

x y z z x

==

++

,则

2

2

x y

y z

-

+

的值为( )

(A)1 (B)3

2

(C)-

3

2

(D)

1

4

3.设方程2x2+ax－2=0的两根之差的绝对值为,则a等于( )

(A)3 (B)－5 (C)±3 (D)±5.

4.一轮船逆水航行30公里需3小时,如果把航速每小时提高5公里,则逆水航行30公里需( )小时.

(A)22

3

(B)2

1

2

(C)2 (D)1

3

4

5.如图1,从一个2×3的矩形中,挖去一个直径是1的圆,

下面4个数中最接近阴影部分的面积是( )

(A)4 (B)4.5 (C)5 (D)5.5

6.三进位制数201可用十进位制数表示为2×32+0×31+1=19;二进位制数1011可用十进位制数表示为

1×23+0×22+1×21+1=11。前者按3的降幂排列，后者按2的降幂排列。现有三进位制数a=221,二进位制数b=10111,则a与b的大小关系为( )

(A)a>b. (B)a=b. (C)a

7.如图2,梯形ABCD中,AB∥DC,E是AD的中点.有以下4个命题:

①如果AB+DC=BC,那么∠BEC=900;②如果∠BEC=900,那么AB+DC=BC;

③如果BE平分∠ABC,那么∠BEC=900;④如果AB+DC=BC,那么CE平分∠DCB.

其中真命题有( )

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

8.如图3,直角ΔABC中,∠C=900,AC=CD=BD,DE⊥AB于E,

设AE=a,BE=b,则a

b

等于( )

(A)3∶2 (B)4∶3 (C)5∶4 (D)6∶5.

二、填空：（32分）

1.已知0

2.n 边形的内角和加上一个外角的总和为15000,则n=______.

3.因式分解:4x 2－4x －y 2+4y －3=__________________________________.

4.今年参加数学竞赛的人数比2000年增加了30%,其中男生增加了20%,女生增加了50%.设今年参加数

学竞赛的总人数为a,其中女生人数为b,则b a

=__________. 5.如图4,已知AG ⊥BD,AF ⊥CE,BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB 。

若BF=2，ED=3，GC=4，则ΔABC 的周长为________.

6.如图5,ABCD 是正方形,E 、F 是AB 、BC 的中点，连结EC 交DB 、DF 于

G 、H ，则EG ∶GH ∶HC=___________.

7.关于x 的不等式(2a －b)x>a －2b 的解是x<52

,则关于x 的不等式ax+b<0 的解是_____________.

8.若a 2－3a+1=0,则3a 3－8a 2+a+2

31a =_______. 三、（18分）父亲和儿子在100米的跑道上赛跑，已知儿子跑5步的时间父

亲能跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等。现在儿子站在100

米的中点处，父亲站在100米的起点处同时开始跑,问父亲能否在100米的终

点处超过儿子?并说明理由.

四、(18分)如图6,在ΔABC中,D、E是AC、BC的中点，BF=1

3

AB，BD与FC相交于G，连结EG。

（1）求证：EG∥AC。（2）求SΔBFG∶SΔBEG的值。

五、（20分）一盒录影带可录制2集电视剧加一个小品，或录制2个小品加3首流行歌曲。某同学准备录制7集电视剧、11个小品和20首流行歌曲，他最少需要多少盒录影带？（注：每集电视剧时间相同，每集小品时间相同，每首流行歌曲时间相同，每集小品时间大于每首流行歌曲时间）

参考答案

一、

1.被3整除,每10个中有3个,共有3×12=36个;被5整除,每10个中有2个,共有2×12=24个;除去既能被3整

除又能被5整除,即能被15整除的数8个(每15个中有1个),所以选C.(因为36+24－8=56)

2.选B.(先用x表示y、z,再代入求值的分式)

3.选C.

4.选C.(原来V逆=10,提速后V逆=15)

5.选C.[2×3－π()2≈5]

6.选A。三进位制数221化为十进位制数:2×32+2×31+1×30=25.

二进位制数10111化为十进位制数:1×24+0×23+1×22+1×21+1×20=23。

7.选D.(延长BE、CD交于F)

8.选A.(设BD=DC=CA=1,由ΔBED∽ΔBCA有b∶2=1∶)

二、

1.a－b.(取a=0.5,b=－0.5可知)

2.n=10.[1500÷180，商8，余60，所以15000=（10－2）×1800+600]

3.(2x+y－3)(2x－y+1).

4.因为总人数a人,女生b人,男生(a－b)人,所以(a－b)×+b×=a×,

即13b=5a.故b∶a=5∶13.

5.30。提示:先证ΔBDA≌ΔBDG,得BA=BG,AD=DG;同理CA=CF,AE=EF,所以DE是ΔAFG的中位

线,FG=6,BA=6+2,CA=6+4.

6.设正方形边长为2,先证ΔBEC≌ΔCFD,进一步有CE⊥DF;由射影定理:CH==.

由ΔGEB∽ΔGCD有EG=GC,设EG=x,则GC=2x,(3x)2=12+22，易得EG∶GH∶HC=5∶4∶6.

7.由题意,有2a－b<0,且=.

化简得b=8a,从而2a－8a<0,即a>0.

将b=8a代入ax+b<0,得ax+8a<0(其中a>0),所以x<－8.

8.由题意,有a2=3a－1,a2+1=3a,a+=3.

所以,原式=3a(3a－1)－8a2+a+=a2－2a+=(3a－1)－2a+=a+－1=3－1=2.

三、设儿子每分钟跑a步,则父亲每分钟跑a步;设儿子每步b米,则父亲每步b米.

所以,父亲跑100米的时间为100÷(b×a)=(分),

儿子跑50米的时间为50÷(ab)=(分).

因为<,所以父亲能在100米的终点处超过儿子.

四、（1）取AF的中点M，连结MD。因D为AC中点，所以DM∥CF，且DM=CF。

因为BF=AB，所以BF=FM，所以BG=GD，因为BE=EC，所以GE∥DC。

（2）因为GE是ΔBDC的中位线，所以，SΔBEG=SΔBDC=SΔABC.

SΔBFG=SΔBGA=SΔBAD=SΔABC.

所以,SΔBFG∶SΔBEG=2∶3.

五、设每盒录影带长度为s，每个电视剧、小品、歌曲所占录影带的长度分别为a、b、c, 则s=2a+b=2b+3c(b>c),化为a=,c=.

所以,总长w=7a+11b+20c=+11b+=

=9s+(c－b)=8s+=7s+.

因为c0.

所以,7s

当13c－3b>0时,8s

当13c－3b≤0时,7s