伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解(广义积分)【圣才出品】

伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解

第8章广义积分

8.1复习笔记

一、无穷积分的基本概念与性质1．无穷积分的概念

（1）设函数上有定义，并且对于上可积．①如果极限

存在，则称无穷积分收敛，此时称函数f（x）在上可积，并记

②如果极限

不存在，则称无穷积分

发散．

（2）设函数f （x）在上有定义，并且对于在区间[X，b]上可积．①如果极限

存在，则称无穷积分收敛，此时称函数f（x）在上可积，并记

②如果极限

不存在，则称无穷积分发散．

（3）设函数上有定义，且在任何的闭区间[a，b]上可积．任取

①若无穷积分与都收敛，则称无穷积分收敛，并

记

②若无穷积分中至少有一个发散，则称无穷积分

发散．

2．无穷积分的基本性质

（1）若函数f（x）在[a，＋∞）上有原函数F（x），并形式地记

则有

（2）若f（x）在（－∞，b]上有原函数G（x），记，则

（3）若上有原函数H（x），则

（4）无穷积分换元公式设函数上有定义，且对于在区间

上可积，再设函数

在区间上连续可微，严格单调上升，并且满足

则有以下的换元公式：

（5）无穷积分分部积分公式设函数上连续可微，且极限

存在，则有以下分部积分公式

二、无穷积分敛散性的判别法

1．柯西准则

设函数上有定义，对于在区间上可积，则无穷积分

收敛的充分必要条件是：对于时，有

2．绝对收敛的无穷积分

（1）定义

设函数上有定义，对(x)

f在区间[a，X]上可积．

①若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛；

②若无穷积分收敛，但无穷积分发散，则称无穷积分

条件收敛．

（2）定理

设函数f（x）在上有定义，对于在区间[a，X]上可积．若无穷积分

绝对收敛，则无穷积分必收敛．

3．非负函数的无穷积分的敛散性问题

（1）定理

设非负函数f（x）在[a，＋∞）上有定义，对于在[a，X]上可积，则无穷积分

收敛的充分必要条件是：存在0

A ，使得对一切X≥a，有

（2）比较定理

设非负函数上有定义，且对于在[a，X]上可积．若存在常数

使得当时，成立不等式

则可得出下述结论：

①若收敛，则也收敛；

②若发散，则也发散．

（3）推论

设非负函数上有定义，且对于在区间[a，X]上可

积．若则

①当时，同时收敛或同时发散；

②当时，若收敛，则收敛；

③当时，若发散，则发散．

4．条件收敛的无穷积分

（1）狄利克雷判别法

设函数f（x），g（x）在[a，＋∞）上有定义，且满足下面两个条件：

①对于在区间上可积，并且使得对有

②单调，并且则无穷积分收敛．

（2）阿贝尔判别法

设函数在上有定义，并且满足下面两个条件：

①对于在上可积，并且收敛；

②在[a，＋∞）单调有界，

则无穷积分收敛．

三、瑕积分

1．瑕积分的概念

（1）x0是f（x）的一个瑕点即是指f（x）在x0的某个去心（左或右）邻域内有定义，

但在该去心（左或右）邻域内无界．

（2）设函数f（x）在区间（a，b]上有定义，a是f（x）的一个瑕点．

①若对于在区间上可积，且极限

（8-1）

存在，则称瑕积分收敛，并记

②若极限（8-1）不存在，则称瑕积分发散．

（3）设函数f（x）在区间[a，b）上有定义，如果b为函数f（x）的瑕点，定义

．

（4）当为f（x）在[a，b]上的唯一瑕点时，称收敛是指瑕积分

同时收敛．

2．瑕积分敛散性的判别法

（1）柯西准则

瑕积分（b是瑕点）收敛的充分必要条件是：对于

时，有

（2）比较定理

设非负函数在区间上满足：存在正常数使得当