2013最新高考数学权重体系赵先举最新修订版(函数部分)
高考数学权重体系—函数体系
第一部分 基本初等函数（I ）
题型一、函数的定义
1设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是( )
2.与函数y=)
12lg(1
.0-x 的图象相同的函数是 ( )
A 121()2y x x =->
B 121y x =-
C 11()212y x x =>-
D 1|21|
y x =- 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f (x )=2x ，g (x )=33x ； （2）f (x )=
x x |
|，g (x )=?
??<-≥;01,01x x
（3）f (x )=1212++n n x ，g (x )=(12-n x )2n －
1（n ∈N *）； （4）f (x )=x
1+x ，g (x )=x x +2；
（5）f (x )=x 2－2x －1，g (t )=t 2－2t －1
4.(1)(2012高考安徽卷)下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ） A.()f x x = B.()f x x x =- C.()f x x =+1 D.()f x x =-
(2)(2012高考江西卷)若函数???>≤+=1
,lg 1
,1)(2x x x x x f ，则f (f (10)=( )
A.lg101
B.2
C.1
D.0
(3)(2010高考陕西卷)已知函数221,1,
(), 1.
x x f x x ax x ?+
A.
12 B.4
5
C.2
D.9 5 已知函数f （x ）=??
?<-≥-),
2(2
),
2(2
x x x 则f （lg30－lg3）=________；不等式xf （x －1）＜10
的解集是___________
6 定义“符号函数”f （x ）=sgn x =??
???<-=>,01,00,01x x x 则不等式x +2＞
（x －2）sgn x
的解集是___________ 7已知函数f (x )=1(1)3(1)
x x x x +≤??
-+>?,则5
(())2f f =
8.设f （x ）=12
1
4+-x x －2x +1，已知f （m ）=2，求f （－m ）
9.(2012高考江苏卷)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，
上， 0111()201
x x ax f x bx x <+-??
=+??+?≤≤≤，
，，，其中a b ∈R ，
．若1322f f ????
= ? ?????
，则3a b +的值为 ． 10.(2011高考江苏卷)已知实数0≠a ，函数?
??≥--<+=1,21
,2)(x a x x a x x f ，若
)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________.
题型二 定义域与值域
一、定义域题型
(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：
()0f x ≥；在
()
()
g x f x 中，()0f x ≠；在l o g ()a
f x 中，()0f x >；
在tan ()f x 中，()2
f x k π
π≠+
；在0()f x 中， ()0f x ≠；在
x a 与log a x 中0a >且
1a ≠，列不等式求解.
(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同.
二、 值域题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段.
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)cx d y ax b +=+(0)a ≠ ：则c y a
≠且y R ∈.
(2)(2)cx d
y x ax b
+=≥+：利用反表示法求值域.先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的
范围.
(3)2223261
x x y x x +-=--：
(21)(2)21()(21)(31)312x x x y x x x x -++==≠-++ ，
则
1y 13
y ≠≠且且y R ∈. (4)求
2
211
x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值
域.2
211
x y x x -=
++?2
(2)10yx y x y +-++=， 2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域.
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围. 一、定义域问题
1.求下列函数的定义域：
(1)y =1
|1|32
---x x x ; (2)y =x x cos ln 252+-
2(2008高考江西卷)若函数()y f x =的定义域为[0,2],则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域为( )
A.[0,1]
B.[0,1)
C.[0,1)?(1,4]
D.(0,1) 3已知函数f (x )=
3
1
32
3
-+-ax ax x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A 13>
B 120a -<<
C 120a -<≤
D 13
a ≤ 4.(2012高考江西卷)下列函数中，与函数31
x
y =
定义域相同的函数为( ) A ．x y sin 1= B. x
x y ln = C.y=x
xe D. x x y sin =
5(2012江苏高考题)函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．
6.已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) 2
()23f x +;
(2)2y =
7.已知函数1()1x
f x x
+=
-的定义域为A ，函数()y f f x =????的定义域为B ，则( ) A.A B B = B.A B ? C.A B = D.A B B = 8.(2011高考广东卷)函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 9.(2011高考江西卷)若)
12(log 1)(2
1+=
x x f ，则)(x f 定义域为
A. )0,21(-
B.]0,21(-
C. ),2
1
(+∞- D.),0(+∞ 10.(2010高考湖北卷)
函数y =
的定义域为( )
A.(
34,1) B.(3
4,+∞) C.（1，+∞）
D. (
3
4
,1)∪（1，+∞） 二 值域问题 1.求下列函数的值域
① y=3x+2(－1≤x ≤1) ②x x f -+=42)(
③1+=
x x y ④x
x y +=
2.求下列函数的值域：
（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）31
2
x y x +=-；
（4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；
（7）22221
x x y x x -+=++； （8）2211
()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x y x -=-
3求下列函数的值域:
(1) 2
2
11x y x -=+; (2) 12sin 1sin x y x -=+.
4求下列函数的值域：
(1) y =122++-x x x x ; (2) y =x x 21--; (3) y =-2
22++x x x
.
5.已知函数f (x )=lg (x 2-2mx +m +2)
(1).若f (x )的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2).若f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围
6若函数y =x 2
-3x -4的定义域为[0,m ],值域为25
[,4]4
-
-,则m 的取值范围是 .
7已知f (x )的值域为34[,]89
,试求y =f (x )+)(21x f -的值域
8函数y =|x –3|–|x +1|的最大值是
9已知
112t ≤≤,则2
t t
-的最大值是 10函数y = –x 2–2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是
11在区间1[,2]2上函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=2x +
21
x
在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间1[,2]2
上的最大值是
12.(2010高考天津卷)设函数2()2()g x x x R =-∈,()4()
()()()
g x x x g x f x g x x
x g x ++
则()f x 的值域是( )
A.9,0(1,)4??-
?+∞???? B.[0,)+∞ C.9[,)4-+∞ D.9,0(2,)4??
-?+∞????
13.(2008高考江西卷)若函数()y f x =的值域为1
[,3]2
,则函数1
()()()
F x f x f x =+的值域为( )
A.1[,3]2
B.10[2,
]3 C.510[,]23 D.10[3,]3
14.(2007高考浙江卷)函数2
2()1
x f x x =+的值域为 .
15.(2010高考山东卷)函数2()log (31)x f x =+的值域为( )
A.(0,)+∞
B.[0,)+∞
C.(1,)+∞
D.[1,)+∞
16.(2010高考重庆卷)函数y =的值域为( )
A.[0,)+∞
B.[0,4]
C.[0,4)
D.(0,4)
题型三 解析式的求解
(一x 2
+ 3x + 5，求f (3-7x )， (设2x + 3=3-7t ).
(二221
x
x +=，求f (x ). (三y=Asin(ωx +?) + C 中系数
(四. (五x 、y 互换.
习题精练
1若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于（ ） A 2－sin2x B 2+sin2x C 2－cos2x D 2+cos2x
2已知f （x x
+-11）=2
211x
x +-，则f （x ）的解析式可取为（ ） A
2
x
B －
212x x + C 2
2x
D －
2
1x x
+ 3.(1)已知3
3
11
()f x x x
x +=+，求()f x ；
(2)已知2(1)lg f x x
+=，求()f x ；
(3)已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
(4)已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x
4 如果f ［f （x ）］=2x －1，则一次函数f （x ）=___________
5已知2
2
11
()f x x x
x -=+
,则()f x = . 6函数()f x 是一个偶函数,()g x 是一个奇函数,且1
()()1
f x
g x x +=
-,则()f x = ,()g x = .
7(2011高考湖北卷)若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=,
则()g x = .
8.(2013届翔龙高考预测题)若定义在R 上的函数()f x 满足对任意的实数,x y 都有
2
()()224
f x y f y x xy x -+=+-+,则(0)f = ,()f x = ,()f x 的值域为 .
题型四 函数的性质（一） 奇偶性 (一)定义：如果()()f x f x -=,则()f x 为偶函数；如果()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数.
这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称. (二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ：
(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f (x )与f (-x )正负. (2).看图像对称性：关于y 轴对称为偶，关于原点对称为奇.
(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数. 2.利用奇偶性：
(1).利用公式：f (-x )=- f (x )，f (-x )= f (x )，计算或求解析式. (2).利用复合函数奇偶性结论：
F(x )=f (x )g (x )，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇
F(x )=f (x )+g (x )，当f (x )为奇，g (x )为偶时，代入－x 得：
F(－x )=－f(x )+g(x ),两式相加可以消去f (x ),两式相减可以消去g (x ),从而解决问题. 3.奇偶函数图像的对称性
偶函数：关于y 轴对称?若()()f a x f b x +=-?，则f (x )关于2
b
a x +=对称. 奇函数：关于原点对称?若()()2f a x f
b x m ++-=， 则f (x )关于点(
2
b
a +，m ) 对称. （一） 判断函数的奇偶性 1.以下五个函数： （1）)0(1
≠=
x x
y ；（2）14+=x y ； （3）x y 2=；（4）x y 2log =； （5）)1(log 22++=x x y ，
其中奇函数是_____________，偶函数是______________，非奇非偶函数是 ____________ 2.判断下列函数的奇偶性：
（1）2
|2|1)(2-+-=x x x f ； （2）2
21()lg lg f x x x =+；
（3）x
x
x x f -+-=11)1()(
3.(2012高考福建卷)设函数,01)(??
?=为无理数
，为有理数
，x x x D 则下列结论错误的是( )
A.D(x )的值域为{0,1}
B. D(x )是偶函数
C. D(x )不是周期函数D
D.(x )不是单调函数
4.函数2lg(1)
()22
x f x x -=--（ ）
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数 5．（2006高考辽宁卷）设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．f (x )?f (-x )是奇函数 B ．f (x )?︱f (-x )︱上奇函数 C ．f (x )-f (-x )是偶函数 D ．f (x )+f (-x )是偶函数
6．（2011高考广东卷）设函数()f x 和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A ．()f x +| g (x )|是偶函数
B ．()f x -| g (x )|是奇函数
C ．|()f x | + g (x )是偶函数
D ．|()f x |- g (x )是奇函数
7.(2011高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足
()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f ( )
A.2 B .
415 C.4
17 D.2
a 8．由方程0x x y y +=确定的函数()y f x = 在(,)-∞+∞上是______________（奇函
数，偶函数，增函数，减函数）
9．函数lg y x =，是________（偶函数，奇函数），在(,0)-∞上单调_______(递增，递减) ；在(0,)+∞上单调_______(递增，递减)。 10．已知)2
1
121()(+-=x
x x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f
(二) 奇偶性的应用 <一>求系数与函数值
1．如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____ 2.若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a _____ 3．定义在)1,1(-上的奇函数1
)(2
+++=
nx x m
x x f ，则常数=m ____,=n _____ 4．设21
()12x x
a f x ?-=+是R 上的奇函数，求a 的值
5．定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围.
6．(2007高考江苏卷）设2
()lg(
)1f x a x
=+-是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是（ ） A ．（-1，0） B ．（0，1） C ．（-∞，0） D ．（-∞，0）∪（1，+∞）
7．（2004年高考全国卷）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x
x
x f 则若（ ） A ．b B ．－b
C ．
b 1 D ．－b 1
8．已知函数f (x )=x 2+lg (x +12
+x ),若f (a )=M,则f (-a )等于 （ ） A.2a 2-M B.M -2a 2 C.2M -a 2 D.a 2-2M
9．已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则
=)7(f _______
10.(2012高考上海卷) 已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，
则=-)1(g .
<二>求解析式 1．（2006北京朝阳区模拟）若奇函数y =f (x )(x ≠0)，当x ∈(0，+∞)时f (x )=x -1，则不等式f (x -1)<0的解集为（ ）
A ．{x |x <0或1 B ．{x |x <-l 或0 C ．{x |x <-2或-l D ．{x |x <0} 2．（2006广东汕头模拟）若f (x )是偶函数，当x ∈[0，+∞）时，f (x )=x -1，则f （x -1）<0的解集是（ ） A ．{x ︱0 B ．{x ︱-2 C ．{x ︱-1 D ．{x ︱l ≤x <2} 3．若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______ 4. 如果函数23,(0) (),(0) x x y f x x ->?=? 5.(2013高考翔龙预测试题)已知定义在R 上的非常数函数()f x 对任意实数x ,y 满足 ()()()f x y f x f y +=+,且当0x ≥时,2()24f x x x b =-+(其中b 为常数),则实数b 的值 为 ,当0x <时,()f x = ,函数()f x 在区间[1,2]-上的值域为 . 题型五 函数的性质（二） 单调性与最值 (一) 定义：在给定区间范围内，如果x 越大y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越大y 越小，那么原函数为减函数. (二) 单调性题型： 1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间. 复合函数法： 2 11x -- ： 当0 < x <1时，x ↑，x 2↑，- x 2↓， ↓， 1 ↑， 1 -↓. 2.判断单调性 (1).求导函数：()0f x '≥为增函数，()0f x '≤为减函数. (2).利用定义：设x 1 3.利用函数单调性： (1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断. (2).比较函数值的大小：画图看. (3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式. 增函数1212()()x x f x f x >?>或1212()()f x f x x x >?> 减函数1212()()x x f x f x >?<或1212()()f x f x x x >?< (4).求系数:利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数. 习题精练 1判断函数f (x )= 21 ax x -(a ≠0)在区间(-1,1)上的单调性 2已知函数f (x )= ()2 x x a a a a ---(a >0,且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围 3设函数f (x )=ax x -+12(a >0),求a 的取值范围，使函数f (x )在区间[0,+∞)上是单调函数 4函数y=322-+x x 的递减区间是 . 5求y =log 07(x 2-3x +2)的单调区间及单调性. 6求y =8+2log 05x -log 052x 的单调区间及单调性. 7函数y =lncos ( 34 x π +)的递减区间是 . 8函数y =log a (2-ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是 . 9已知奇函数f (x )在定义域[-2,2]上递减，求满足f (1-m )+f(1-m 2)<0的实数m 的取值范围 10.(2011高考重庆卷)下列区间中，函数()f x =ln(2)x ∣-∣在其上为增函数的是( ) A.(－,1∞] B.41,3??-??? ? C.)30, 2 ??? D.[)1,2 11.(2012高考上海卷)下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是( ) A.y =ln(x +2) B.y C.y =(12)x D.y =x +1x 12写出函数f (x )=log 05|x 2-x -12|的单调区间. 西安翔龙教育,专业补习数学 咨询热线:(029)82551428 13.(2012高考上海卷)已知函数| |)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函 数，则a 的取值范围是 . 14.(2012高考山东卷)设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”，是“函 数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15设奇函数f (x )在[0,+∞）上是增函数，若对于任意实数x ，不等式f (kx )+f (x -x 2-2)<0恒成立，求实数k 的取值范围 16函数f(x)=log 05|sinx -cosx|的单调递增区间是 单调递减区间是 题型六 指对幂函数运算法则及其图像 （一） 指数运算法则 ①m n m n a a a +?= ②m n m n a a a -÷= ③()m n mn a a = ④()m m m a b ab = 运用指数运算法则，一般从右往左变形. （二） 对数运算法则 同底公式：①log a b a b = ②log log log ()a a a M N MN += ③log log log a a a M M N N -= ④log log n a a M n M = 运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形. 不同底公式：①log log log m a m N N a = ②log log m n a a n b b m =,③1log log a b b a = 运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底. （二） 指对幂函数的图像 常规函数图像主要有： 指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转， 底数越来越大 底数越来越小 幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。 习题精练 1. 设0x >且1x x a b <<,,(0,)a b ∈+∞, 则a 、b 的大小关系是( ) A. 1b a << B. 1a b << C. 1b a << D. 1a b << 2. 如果01a <<, 那么下列不等式中正确的是( ) A. 1132 (1)(1)a a ->- B. (1)log (1)a a -+ C. 32(1)(1)a a ->+ D. (1) (1) 1a a +-> 3. 已知x 1是方程lg 3x x +=的一个根, 2x 是方程103x x +=的一个根, 那么12x x +的值是( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 4. 234342423log log log log log log log log log 0,x y z ===则x y z ++的值为 ( ) A. 50 B. 58 C. 89 D. 111 5.(2011高考四川卷)计算121 (lg lg 25)100=4--÷_______． 6.(2012高考全国卷)已知x =ln π,y =log 52,2 1-=e z ,则( ) A.x ＜y ＜z B.z ＜x ＜y C.z ＜y ＜x D.y ＜z ＜x 7偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增，则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( ) A.(1)(2)f a f b +≥+ B.(1)(2)f a f b +<+ C.(1)(2)f a f b +≤+ D.(1)(2)f a f b +>+ 8.如图，指出函数①y =a x ;②y =b x ;③y =c x ;④y =d x 的图象，则a ,b ,c ,d 的大小关系是 A a