无穷小与无穷大培训资料

无穷小与无穷大

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1.4 无穷小与无穷大

1.4.1 无穷小

1．无穷小量的定义

定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。

例如：因为0)1(lim 1

=-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为01lim =∞

→x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为011lim =--∞

→x x ，所以函数x -11是当x →－∞时的无穷小。 以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小，

n 1，n 3

2 都是n →∞时的无穷小。 注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。

⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。

⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。

2.无穷小的性质

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在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：

⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。

⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。

⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。

⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。

例1．求x

x x sin lim ∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim =∞→x

x

∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 ∴x

x x sin lim ∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系

定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。

4．无穷小的比较

例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x

x 1sin 2都是无穷小。

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观察各极限：

032

0lim =→x

x x x 2比3x 要快得多 1sin lim 0

=→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x

x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1sin lim lim 0

220→→= 不存在 不可比

极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。

得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果α

β

lim ＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果α

βlim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果α

βlim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果αβlim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。

例2．比较当x →0时，无穷小

x x ---111与x 2阶数的高低。 解：因为

111)1()1()1)(1(1111lim lim lim lim 02202020=-=---+-=---→→→→x

x x x x x x x x x x x x x x

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---111～x 2

例3．当x →1时，无穷小1－x 与1-x 3是否同阶，是否等价？ 解：31)1)(1(11121

31lim lim =++--=--→→x x x x x x x x 故同阶但不等价。

常用的等价无穷小：

当x →0时，sinx ～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ；

1-cosx ～22

1x ，ln(1+x)～x ; e x -1～x ；(1+x)a ～1-ax 1.4.2无穷大

1．无穷大量的定义

如果当x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的绝对值无限增大,那么函数f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。 注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数x 1是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。

⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x →x 0(或x →∞)

时极限为常数本身，并不是无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系