第2课时 全等三角形

25一、选择题第 2 课时全等三角形1.．如图，在△ ABC ，△ADE 中，BAC DAE = 90 °，AB = AC ，AD =AE ，点C，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD =C E ；②BD ⊥CE；③ACE DBC= 45 °；④BE 2 2（AD2 AB2），其中结论正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4第1 题第2 题第3 题第4 题2.．如图，已知边长为4 的正方形ABCD ，P 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AP ，作PE ⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于 E ．设BP = x ，△PCE面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( )A．y =2 x+1 B．y =1x -2x2 C．y =2 x-1x 2 D．y =2x2 23.．在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D、E 分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论有( )．A．1 个B．2 个C．3 个D．4个4.．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，且都等于 1 ，若等腰直角△ ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则AB 的长是() A．2 B．C．D．5.△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点P 是BC 边上的动点，过点P 作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE 的长是( )A．4.8 B．4.8 或3.8 C．3.8 D．56.．在锐角△ ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接CE 、BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：① BG =CE ；②BG ⊥CE ；③ AM 是△AEG 的中线；④ EAM ABC，其中正确结论的个数是()A．1 个B．2个C．3 个D．4个第6 题10B二、 填空题 7. ． 长为 l 的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边 x 的取值范围为 ．8. ．如图，等边△ABC 的边长为 3，F 为 BC 边上的动点，FD ⊥AB 于 D ，FE ⊥AC 于 E ， 则 DE 长的最小值为 ．第 8 题 第 9 题第 10 题9. ．如图，BA 1 和 CA 1 分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2 是∠A 1BD 的角平分线， CA 2 是∠A 1CD 的角平分线，BA 3 是∠A 2BD 的角平分线，CA 3 是∠A 2CD 的角平分线，若 ∠A 1=α，则∠A 2013 为 ． 10. ． 如图， Rt △ ABC 中， ∠ ACB = 90 °， AC = 4 ， 将斜边 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 °至 AB ′， 连接 B ′C ， 则△ AB ′C 的面积为 ． 三、 解答题 1. 如图，已知∠ABC ，分别以 AB 和 BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接 AE ，CD ．(1) 求证：AE =CD ；(2) 若 DB 垂直平分 CE ，求∠ABC 的大小．CEAD2 12. ． 已知∠ ACD = 90 °， MN 是过点 A 的直线， AC = DC ， DB ⊥ MN 于点 B ，如图（ 1 ） 易证 BD + A B = CB ， 请根据提示完成证明： 证明： 过点 C 作 CE ⊥ CB 于点 C ， 与 MN 交于点 E（ 1 ） 当 MN 绕 A 旋转到如图（ 2 ） 和图（ 3 ） 两个位置时， BD 、 AB 、CB 满足什么样关系式， 请写出你的猜想， 并对图（ 2 ） 给予证明． （ 2 ） MN 在绕点 A 旋转过程中， 当∠ BCD = 30 °， BD = CB =___．时， 则 CD =___，213.．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（0 °＜α＜60 °），将线段BC 绕点 B 逆时针旋转60 °得到线段BD ．（1 ）如图 1 ，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2 ）如图2 ，∠BCE = 150 °，∠ABE = 60 °，判断△ ABE 的形状并加以证明；（3 ）在（2 ）的条件下，连接DE ，若∠ DEC = 45 °，求α 的值．12 ．过程如下：过点C 作CE ⊥ CB 于点C ，与MN 交于点E∵∠ACB + ∠BCD = 90 °，∠ACB + ∠ACE= 90 °，∴∠BCD = ∠ACE ．∵ 四边形ACDB 内角和为360 °，∴ ∠ BDC +∠ CAB = 180 °．∵∠EAC + ∠CAB= 180 °，∴∠EAC = ∠BDC ．又∵ AC = DC ，∴ △ ACE ≌ △ DCB ，∴ AE =DB，CE = CB ，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE =CB ．又∵BE = AE + AB ，∴BE =B D +A B ，∴BD +A B =CB ．（1 ）如图（2 ）：AB BD2CB ．证明：过点C 作CE ⊥ CB 于点C ，与MN 交于点 E ，∵∠ACD = 90 °，∴∠ACE = 90 °- ∠DCE ，∠BCD = 90 °- ∠ECD ，∴∠BCD = ∠ACE ．∵DB ⊥MN ，∴∠CAE = 90 °- ∠AFC ，∠D = 90 °- ∠BFD ，∵∠AFC = ∠BFD ，∴ ∠ CAE = ∠ D ，又AC = DC ，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE = DB ，CE = CB ，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE =CB ．又BE =AB -AE ，∴BE = AB - B D ，∴AB -B D =CB ．如图（3 ）：BD - A B =CB．证明：过点C 作CE ⊥ CB 于点C ，与MN 交于点 E ，∵∠ACD = 90 °，∴∠ACE = 90 °+ ∠ACB ，∠BCD = 90 °+ ∠ACB ，∴∠BCD = ∠ACE ．∵DB ⊥MN ，∴∠CAE = 90 °- ∠AFB ，∠D = 90 °- ∠CFD ，∵∠AFB = ∠CFD ，∴ ∠ CAE = ∠ D ，又AC = DC ，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE = DB ，CE = CB ，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE =CB ．又BE =AE -AB ，∴BE =BD -A B ，∴BD -AB =CB ．（2 ）MN 在绕点 A 旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，∴ 综合了第一个图和第二个图两种情况若是第1 个图：易证△ ACE ≌ △ DCB ，CE =CB ，∴ △ ECB 为等腰直角三角形，∴∠AEC = 45 °= ∠ CBD ，过D 作DH ⊥ CB ．则△ DHB 为等腰直角三角形．BD =BH ，∴BH = DH = 1 ．直角△ CDH 中，∠ DCH = 30 °，∴CD = 2 D H =2，CH =．∴CB =+ 1若是第二个图：过 D 作DH ⊥CB 交CB 延长线于H ．解法类似上面，CD = 2 ，但是CB = ﹣1 ．13 ．（1 ）解：∵AB =A C ，∠A =α，∴∠ABC =∠ACB=（180 °﹣∠A ）= 90 °﹣α，∵∠ABD = ∠ABC ﹣∠DBC ，∠DBC =60 °，即∠ABD =30 °﹣α；（2 ）△ABE 是等边三角形，证明：连接AD ，CD ，ED ，∵ 线段BC 绕B 逆时针旋转60 °得到线段BD ，则BC = BD ，∠ DBC = 60 °，∵ ∠ABE = 60 °，∴∠ABD =60 °﹣∠DBE = ∠EBC =30 °﹣α，且△BCD 为等边三角形，在△ ABD 与△ ACD 中∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD =∠CAD = ∠BAC =α，∵∠BCE = 150 °，∴∠BEC =180 °﹣（30 °﹣α）﹣150 °= α=∠BAD ，又∵ ∠ EBC =∠ABD ，BD = BC ，∴△ABD ≌△EBC （AAS ），∴AB = BE ，∴ △ ABE 是等边三角形；（3 ）解：∵∠BCD = 60 °，∠BCE = 150 °，∴∠DCE = 150 °﹣60 °= 90 °，∵∠DEC = 45 °，∴ △ DEC 为等腰直角三角形，∴DC = CE= BC ，∵∠BCE = 150 °，∴∠EBC =（180 °﹣150 °）= 15 °，∵∠EBC =30 °﹣α=15 °，∴α=30 °．。