2020届山东省菏泽一中高三下学期在线数学试题(原卷版)

高三数学试题

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,1),(0,1)，则1

2

z z =（ ） A. 1i +

B. 1i -+

C. 1i --

D. 1i -

2.已知集合(1,3]A =-，201x B x x ??

+=≤??-??

，则A B =（ ）

A. [2,1)-

B. (]1,1-

C. (1,1)-

D. [2,3]-

3.在二项式5

21x x ??- ??

?的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）．

A. 10-

B. 5-

C. 10

D. 5

4.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A.

5

9

B.

4

9

C.

716

D.

916

5.已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

6.在ABC ?中,2AB AC AD +=,20AE DE +=,若EB xAB y AC =+,则( ) A .

2y x =

B. 2y x =-

C. 2x y =

D. 2x y =-

7.已知双曲线C :22

22

1x y a b

-=,(0a >,0b >)的左?右焦点分别为1

F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一

象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),2

12PF PF m ?=,则双曲线

C 的渐近线方程为( ) A. 12

y x =±

B. 2

y x =±

C. y x =±

D. y =

8.已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则( )

A. 233231log 224g g g --?????

?>> ? ? ???????

B. 233

231log 224g g g --??????>> ? ? ???????

C. 2

3323122log 4g g g --?????

?>> ? ? ???????

D. 233

23122log 4g g g --??????>> ? ? ???????

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分.

9.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )

A. 直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于

4

π

B. 点C 到面11ABC D 的距离为

22

C. 两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为

4

π D. 三棱柱1111AA D BB C -310.要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π??

=+

??

?

图象2C 怎样变化得到( ) A. 将sin 23y x π??

=+

??

?

的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π

个单位

B. 将sin 23y x π??

=+

??

?

的图象2C 沿x 轴方向向右平移

1112

π

个单位 C. 先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512

π

个单位 D. 先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12

π

个单位

11.已知集合()(){}=

,M x y y f x =,若对于()1

1

,x y M ?∈,()2

2

,x y M ?∈,使得12

120x x

y y +=成立,则

称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}2

1,1M x y y x =

=+;(

){2

,M x y y ==

;(){}3,x

M x y y e =

=;

(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )

A. 1M

B. 2M

C. 3M

D. 4M

12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇

怪的函数” ()1,0,R x Q

y f x x C Q ∈?==?∈?

其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,

正确的为( ) A. 函数()f x 是偶函数

B. 1x ?,2R x C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立

C. 任取一个不为零的有理数T ,f x T

f x 对任意的x ∈R 恒成立

D. 不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()

33C x f x ，,使得ABC ?为等腰直角三角形

第II 卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ?为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；

14.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =

15.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间Ｔ(单位:年)的衰变规律满足

573002

T

N N -=?(

0N 表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的______;经过测定,良

渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的3

7

至

1

2

,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到

______年之间.(参考数据:lg20.3

≈,lg70.84

≈,lg30.48

≈)

16.已知ABC

?

的顶点A∈平面α,点B,C在平面α异侧,且2AB=,3AC=,若AB,AC与α所成的角分别为

3

π

,

6

π

,则线段BC长度的取值范围为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①3(cos)sin

b C a

c B

-=；②22cos

a c

b C

+=；③sin3sin

2

A C

b A a

+

=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在ABC

?中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，23,

b=4

a c

+=，求ABC

?

的面积.

18.设数列{}n a的前n项和为n S,已知11

a=,

1

21

n n

S S

+

-=,n*

∈N.

(1)证明:{}1

n

S+为等比数列,求出{}n a的通项公式;

(2)若n

n

n

b

a

=,求{}

n

b的前n项和

n

T,并判断是否存在正整数n使得1

250

n

n

T n

-

?=+成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.

19.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111

ABC A B C

-中,AB AC

⊥.

(1)求证:四棱锥11

B A ACC

-阳马;

(2)若12

C C BC

==,当鳖膈

1

C ABC

-体积最大时,求锐二面角

11

C A B C

--余弦值.

20.李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大

力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =，如表所示：

已知6

1

1606i i y y ===∑.

（1）若变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）的线性回归方程

???y

bx a =+； （2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值i y .当销售数据(),i i x y 对应的残差

的绝对值?1i i y

y

-≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数ξ

的分布列和数学期望()E ξ.

（参考公式：线性回归方程中??

,b

a 的估计值分别为1

2

2

1

???,)n

i i

i n

i

i x y nxy

b a

y bx x

nx =-=-==--∑∑. 21.给定椭圆C :22

221x y a b

+=(0a b >>),称圆心在原点O ,的

圆是椭圆C 的“卫星圆”.若

椭圆C 的离心率

2

,点(在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;

(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且

1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.

22.已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数. (1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点; (2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.