不等式知识点归纳
新课标——回归教材
不等式
典例:1)对于实数,,a b c 中,给出下列命题:①22a b ac bc >?>;②22ac bc a b >?>;
③220a b a ab b <>>;④110a b a b <
<;⑤0b a
a b a b <>; ⑥0||||a b a b <>;⑦0a b c a b c a c b >>>?>
--;⑧11
,0,0a b a b a b
>>?><. 其中正确的命题是 ②③⑥⑦⑧ .
2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是[1,7]; 3)已知a b c >>,且0,a b c ++=则
c a 的取值范围是1(2,)2
--. 2、不等式大小比较的常用方法:
(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式);
(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;
(7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.
典例:1)设01,0a a t >≠>且,比较11
log log 22
a a t t +和的大小
答案:①当1a >时,11
log log 22a a t t +≤ (在1t =时取“=”);
②当01a <<时,11
log log 22
a a t t +≥(在1t =时取“=”);
2)已知0,1a a >≠,试比较3
2
11
,a a p a q a ++==的大小.( 答:p q >)
3)设2a >,1
2
p a a =+
-,2422a a q -+-=,试比较,p q 的大小(答:p q >); 4)比较1+log 3x 与2log 2(01)x x x >≠且的大小.
答:当01x <<或4
3
x >时,1+log 3x >2log 2x ;
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当413x <<
时,1+log 3x <2log 2x ;当4
3
x =时,1+log 3x =2log 2x 5)若,,a b c R +∈,且0.50.522log ,(0.5)log ,(0.5)log a b c a b c ===,比较,,a b c 的大小.(答:c b a >>)
3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”. 典例:1)下列命题中正确的是( B )
A.1y x x =+
的最小值是2 B.4
23(0)y x x x =-->
的最大值是2-
C.2
y =的最小值是2 D.4
23(0)y x x x =-->
的最小值是2-;
2)若21x y +=,则24x y +
3)已知,x y R +∈,且1x y +=,则82
x y
+的最小值为18; 变式①:已知01x <<,则
82
1x x +
-的最小值为 18 ; ②:已知,x y R +∈,且41
9x y
+=,则x y +的最大值为 1 ;
③:已知,x y R +∈,且4xy x y =+,则x y +的最小值为 9 ;
4.常用不等式有
2
112a b a b
+≥≥+(,,a b R +∈当a b =时取=号) (2)2
2
2
()2(,,2
a b a b ab a b R ++≥≥∈当a b =时取=号)
上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.
(3)真分数性质定理:若0,0a b m >>>,则
b b m
a a m
+<
+(糖水的浓度问题). 典例:若,a b R +∈,满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是[)9,+∞.
5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法.
比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.)
常用的放缩技巧有:21111111
1(1)(1)1n n n n n n n n n
-
=<<=-++--(右边当2n ≥时成立)
=
<<=典例:1)已知a b c >>,求证:222222a b b c c a ab bc ca ++>++ ; 2)已知,,a b c R ∈,求证:222222()a b b c c a abc a b c ++≥++;
3)已知,,,a b x y R +∈,且11
,x y a b
>>,求证:x y x a y b >++; 4)若,,a b c 是不全相等的正数,求证:lg
lg lg lg lg lg
22
a b b c c a a b c +++++>++; 5)若*n N ∈,求证(1)n +<
n ;
6)求证:2221111223n
+
+++< . 6.常系数一元二次不等式的解法:判别式-图象法
步骤:(1)化一般形式:20(0)ax bx c ++≥<,其中0a >;
(2)求根的情况:200(0,0)ax bx c ++=?????→?>=<能否因式分解
;
(3)由图写解集:考虑2(0)y ax bx c a =++>图象得解.
典例:解不等式2620x x --+≤.(答:21
,)32
x ∈(-∞,-]?[+)
注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点).
典例:若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|,}(0)x x m x n n m ><<<或,解关于x 的不等式20cx bx a -+>.(答:11
{|,}x x x n m
<->-或)
7.简单的一元高次不等式的解法:标根法:
其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;
(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回); (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集.
典例:1)解不等式2(1)(2)0x x -+≥.(答:{|1x x ≥或2}x =-);
2)不等式(0x -的解集是{|3,1}x x x ≥=-或;
3)设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<,()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x ?>的解集为(,1)[2,)-∞+∞ ;
4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足不等式
2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是81[7,
)8
. 8.分式不等式的解法:
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母. 典例:1)解不等式
25123
x
x x -<---(答:(1,1)(2,3)- );
2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞,则关于x 的不等式
02
ax b
x +>-的解集为(,1)(2,)-∞-+∞ .
注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.
9.绝对值不等式的解法:(了解)
(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集) 典例:解不等式31
|2|2||42
x x -
≥-+;(答:x R ∈); (3)利用绝对值的定义;(3)数形结合;
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典例:解不等式|||1|3x x +->;(答:(,1)(2,)-∞-+∞ ) (4)两边平方
典例:若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围为4{}3
10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.” 注意:①解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”.
②按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.
典例:1)若2log 13a
<,则a 的取值范围是21,03a a ><<或; 2)解不等式
2
()1
ax x a R ax >∈-. (答:0a =时,{|x 0}x <;0a >时,1
{|x x a
>或0}x <;0a <时,1{|0,x x a <<或0}x <)
含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.
一般地,设关于x 的含参数a 的一元二次形式的不等式为:2()()()0(0)f a x g a x r a ++≥<. (1)第一级讨论:讨论二次项系数()f a 是否为零;
(2)第二级讨论:若()0f a ≠时,先观察其左边能否因式分解,否则讨论?的符号;
(3)第三级讨论:若()0,0f a ≠?>时,先观察两根12,x x 大小是否确定,否则讨论两根的大小. 注意:每一级的讨论中,都有三种情况可能出现,即“>”,“=”,“<”,应做到不重不漏. 典例:1)解关于x 的不等式220()ax x a a R -+<∈.
答:①当1a ≥时,x ∈Φ;②当01a <<时
,x ∈; ③当0a =时,(0,)x ∈+∞;④当10a -≤<时
,)x ?+∞ ⑤当1a <-时,x R ∈
2)解关于x 的不等式222()ax x ax a R -≥-∈.
答:①当0a >时,2
,)x a
∈(-∞,-1]?[+∞;②当0a =时,(,1]x ∈-∞-
③当20a -<<时,2[,1]x a ∈-;④当2a =-时,{1}x ∈-;⑤当2a <-时,2
[1,]x a
∈-
提醒:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示.
11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法.
1).恒成立问题★★★
若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >
若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 典例:1)设实数,x y 满足22(1)1x y +-=,当0x y c ++≥时,c
的取值范围是)
1,+∞; 2)不等式43x x a -+->对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围1a <;
3)若221(1)x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立,则x 的取值范围; 4)若不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是3
[2,)2
-
5)若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤恒成立,则m 的取值范围12
m >-
2).能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >; 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 注意:若方程()()a f x x D =∈有解,则等价于{|(),}a y y f x x D ∈=∈
典例:1)已知43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集,求实数a 的取值范围1a > 2)已知1
{|
2},2
P x x =≤≤函数22log (22)y ax x =-+的定义域为Q . ①若P Q ?≠Φ,求实数a 的取值范围.(答:4a >-)
②若方程22log (22)2ax x -+=在1[,2]2内有解,求实数的取值范围.(答:3
[,12]2
a ∈)
3). 恰成立问题
若不等式()f x A >在区间D 上恰成立,则等价于不等式()f x A >的解集为D ;
若不等式()f x B <在区间D 上恰成立,则等价于不等式()f x B <的解集为D . 12..简单的线性规划问题:
(1)二元一次不等式(组)表示平面区域
①一般地,二元一次不等式0(0)Ax By C ++><在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线;
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为a b ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1 +=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18.
高中不等式知识点总结
1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=?? ?? 分()()()102030 情况分别解之。 3.一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)|
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当 b a =时取“=” (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=,求证:2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲
高中数学必修5基本不等式知识点总结
高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值
不等式知识点汇总
不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②(传递性),a b b c a c >>?> ①(对称性)a b b a >?> ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑦(开方法则)0,1)a b n N n >>?∈>且 ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性) 0,0a b a b c d c d >>< > ⑥(平方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则)b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ②(基本不等式) 2 a b +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>(当且仅当a b c ==时取到等号). ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式: 22 .2 a b ab +≤
④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈,(当且仅当a b c ==时取到等号). ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3 ()a b c R + ∈、、(当且仅当 a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号)0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 2 2 .x a x a a x a -<< ⑦ b a n b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>,,规律:小于1同加则变大, 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式: 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈, (当且仅当a b =时取 ""=号).(即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式:2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式:222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式:2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式:222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++
必修五-不等式知识点总结
不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式:转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0).
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式:
基本不等式知识点归纳
向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小)
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽
视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例:求函数224y x =+的值域。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=>(2)12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数(1)y x x = -.;3.203 x <<,求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。
最新高中数学不等式知识点归纳汇总
最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一:绝对值三角不等式 1.定理1:如果a ,b 是实数,则|a +b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab ≥0时,等号成立. 2.定理2:如果a ,b ,c 是实数,那么|a -c|≤ |a -b|+ |b -c|,当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.知识点二:绝对值不等式的解法 1.不等式|x|a 的解集: 不等式 a>0a =0a<0|x|a {x|x>a ,或x<-a}{x|x ≠0}R 2.|ax +b|≤c(c>0)和|ax +b|≥c(c>0)型不等式的解法: (1)|ax +b|≤c?-c ≤ax +b ≤c; (2)|ax +b|≥c?ax +b ≤-c 或ax +b ≥c. (3)|x -a|+|x -b|≥c(c>0)和|x -a|+|x -b|≤c(c>0)型不等式的解法: 巩固专区:典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析:由|x+1|+ |x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2,故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1| 1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)正确理解题目中的关键词语,如:多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义; (3)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)x a <表示小于a 的全体实数,在数轴上表示a 左边的所有点,不包括a 在内。 (2)x a ≥表示大于或等于a 的全体实数,在数轴上表示a 右边的所有点,包括a 在内。 (3)()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。 1、不等式的基本性质 (1)基本性质1:若a b <,b c <,则a c <。(不等式的传递性) (2)基本性质2:不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立。 ①若a b >,则a c b c +>+,a c b c ->-;②若a b <,则a c b c +<+,a c b c -<-。 (3)基本性质3:①不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得的不等式仍成立; 若a b >,且0c >,则ac bc >, a b c c >。 ②不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得的不等式成立。 若a b >,且0c <,则ac bc <,a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质 1、一元一次不等式的概念:不等号的两边都是整式,而且只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法:步骤如下 (1)去分母:在不等式两边同乘分母的最小公倍数;(根据基本性质3) (2)去括号:把所有因式展开;(根据单项式乘多项式法则) (3)移项:把含未知数的项移到不等式的左边,不含有未知数的项移到不等式的右边;(根据基本性质2) (4)合并同类项:将所有的同类项合并,得ax b >或ax b <(0a ≠)的形式; (5)系数化为1:不等式两边同除以未知数的系数,或乘未知数系数的倒数。(根据基本性质3) 4、一元一次不等式的应用:解有关应用题步骤如下 (1)审题:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,抓住题设中的关键字眼,如“大于”、“不小于”等; (2)设:设出适当的未知数; (3)找:找出不等关系; (4)列:根据题中的不等关系,列出不等式; (5)解:解出所列不等式的解集; (6)答:写出答案,并检验答案是否符合题意。 四、列一元一次方程解应用题的步骤有: 1、审清题意:应认真审题,分析题中的数量关系,找出问题所在。 2、设未知数:用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系:可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程:根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 5、解方程:求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性:不但要检查方程的解是否为原方程的解,还要检查是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 7、作答:正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题: 1、和差倍分问题: (1)增长量=原有量×增长率; (2)现在量=原有量+增长量 2、等积变形问题: 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但面积不变。 (1)圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S ·h = r 2h (2)长方开的面积 周长=2×(长+宽) S=长×宽 3、数字问题: 一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a , 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题:( 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ) (1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=商品利润商品成本价 ×100% (3)售价=成本价×(1+利润率) (4)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (5)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (6)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折: 折后价(售价)=标价×10 x 计算。 5、行程问题:路程=速度×时间; 时间=路程÷速度; 速度=路程÷时间。 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 6、工程问题: (1)工作总量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作总量÷工作时间 (2)完成某项任务的各工作总量的和=总工作量=1 (3)各组合作工作效率=各组工作效率之和 (4)全部工作总量之和=各组工作总量之和 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; 授课教案 ③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇, 1 -= n n S S 偶 奇 (4)常用公式:①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n a ; 5,55,555,…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 (1)性质 当m+n=p+q 时,a m a n =a p a q ,特例:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…,当2n=p+q 时,a n 2 =a p a q ,数列{ka n },{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{a n }为等差数列,则{n a a }为等比数列(a>0且a ≠1); 若{a n }为正数等比数列,则{log a a n }为等差数列(a>0且a ≠1)。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,其中1k a ,2k a ,…,n k a 恰为等比数列,若k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和,求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且1a S 2n n +=,求: (1) 数列{a n }的通项公式; (2) 设1n n n a a 1b += ,数列{b n }的前n 项的和为B n ,求证:B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中,前m 项的和为77(m 为奇数),其中偶数项的和为33, 且a 1-a m =18,求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列,n a n )21(b =,已知b 1+b 2+b 3=821,b 1b 2b 3=8 1 ,求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2),则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项,它的前2n 项之和为100,后2n 项之和为200,则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ,b ,c 成等比数列,则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0,公比q>-1(q ≠1),设数列{b n }的通项高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
一元一次不等式知识点汇总
一元一次不等式知识点总结
基本不等式知识点归纳教学内容
不等式知识点归纳与总结