初中数学专题讲解：一元二次方程(二)
推导一元二次方程的求根公式。
解一元二次方程：02=++c bx ax 。 推导：c a
b a b x a b x a
c x a b x a c bx ax c bx ax -=-+??+?-=+?-=+?=++])2()2(22[)(0222222 2222222222222444)2(4)2(4)2(]4)2[(a b a ac a b x a b a c a b x a c a b a b x c a b a b x a +-=+?+-=+?-=-+?-=-+? 222222222244244244)2(44)2(a
ac b a b x a ac b a b x a ac b a b x a b ac a b x -±=+?-±=+?-=+?+-=+? a
ac b b x a ac b a b x a ac b a b x 24242242222-±-=?-±-=?-±=+?。 结论：一元二次方程02
=++c bx ax 的求根公式：a ac b b x 242-±-=。 判别式?与一元二次方程解的个数的关系：
判别式：ac b 42-=?。 第一种：当040402
2>-?>-?>?ac b ac b 时：a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=。 一元二次方程有两个解。 第二种：当0404022=-?=-?=?ac b ac b 时：a
b x a b x 220-=?±-=
。 一元二次方程有一个解。 第三种：当ac b ac b 404022-?<-?
一元二次方程没有解。
例题一：解下列一元二次方程。
①0322=--x x ；②02522=-+-x x ；③03832=++-x x ；④02532=+-x x 。
解答：①0322=--x x 。
第一步：计算判别式?。
?>=+=-??--=?016124)3(14)2(2方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
3262422421216)2(1==+=?±=?±--=x x ，12
22422-=-=-=x 。 所以：方程0322=--x x 的解：31=x ，12-=x 。
②02522=-+-x x 。
第一步：计算判别式?。
091625)2()2(452>=-=-?-?-=??方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
2
142435435)2(2951=--=-+-=?-±-=-?±-=x x ，2484352=--=---=x 。 所以：方程02522=-+-x x 的解：211=
x ，22=x 。 ③03832=++-x x 。
第一步：计算判别式?。
010036643)3(482>=+=?-?-=??方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
3
16261086108)3(210081-=-=-+-=?-±-=-?±-=x x ，361861082=--=---=x 。 所以：方程03832=++-x x 的解：3
11-=x ，32=x 。 ④02532=+-x x 。
第一步：计算判别式?。
012425234)5(2>=-=??--=??方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
166615615321)5(1==+=?±=?±--=x x ，3
2646152==-=x 。 所以：方程02532=+-x x 的解：11=x ，3
22=
x 。 例题二：解下列一元二次方程。 ①01432=--x x ；②0222=++-x x ；③012212=-+-x x ；④012
32=-+x x 。 解答：①01432=--x x 。
第一步：计算判别式?。
0281216)1(34)4(2>=+=-??--=??方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
37237267243228)4(1+=?±=±=?±--=x x ，3
722-=x 。 所以：方程01432=--x x 的解：3721+=
x ，3
722-=x 。 ②0222=++-x x 。
第一步：计算判别式?。 012842)1(422>=+=?-?-=??方程有两个解。
第二步：用求根公式解方程。
31312
322)1(21221+=?±=-±-=-?±-=x x ，312-=x 。 所以：方程0222=++-x x 的解：311+=x ，312-=x 。 ③0122
12=-+-x x 。
第一步：计算判别式?。
0224)1()2
1(422>=-=-?-?-=??方程有两个解。 第二步：用求根公式解方程。
2222122)2
1(2221+=?±=-±-=-?±-=x x ，222-=x 。 所以：方程0122
12=-+-x x 的解：221+=x ，222-=x 。 ④012
32=-+x x 。 第一步：计算判别式?。
0761)1(2
3412>=+=-??-=??方程有两个解。 第二步：用求根公式解方程。
3713712
32711+-=?±-=?±-=x x ，3712--=x 。 所以：方程012
32=-+x x 的解：3711+-=x ，3712--=x 。 例题三：解下列一元二次方程。
①0122=+-x x ；②0962=-+-x x ；③091242=+-x x ；④043432=-+-x x 。 解答：①0122=+-x x 。
第一步：计算判别式?。
044114)2(2=-=??--=??方程有一个解。
第二步：用求根公式解方程。
122202120)2(==±=?±--=
x 。
所以：方程0122=+-x x 的解：1=x 。 ②0962=-+-x x 。
第一步：计算判别式?。
?=-=-?-?-=?03636)9()1(462方程有一个解。 第二步：用求根公式解方程。
32
6206)1(206=--=-±-=-?±-=x 。 所以：方程0962=-+-x x 的解：3=x 。 ③091242=+-x x 。
第一步：计算判别式?。
0144144944)12(2=-=??--=??方程有一个解。 第二步：用求根公式解方程。
2
38128012420)12(==±=?±--=x 。 所以：方程091242=+-x x 的解：2
3=x 。 ④043432=-+-x x 。
第一步：计算判别式?。 ?=-=-?-?-=?04848)4()3(4)34(2方程有一个解。 第二步：用求根公式解方程。
3
326346034)3(2034=--=-±-=-?±-=x 。 所以：方程043432=-+-x x 的解：332=
x 。 例题四：解下列一元二次方程。
①0322=+-x x ；②02322=-+-x x ；③053212=+-x x ；④0652
32=---x x 。 解答：①0322=+-x x 。
计算判别式?<-=-=??--=?08124314)2(2方程没有解。 ②02322=-+-x x 。
计算判别式?<-=-=-?-?-=?07169)2()2(432方程没有解。 ③0532
12=+-x x 。 计算判别式?<-=-=??--=?0110952
14)3(2方程没有解。 ④0652
32=---x x 。 计算判别式?<-=-=-?-?--=?0113625)6()2
3(4)5(2方程没有解。