解答题专项训练6
解答题专项训练六
1.[2015·XX 高考]某工厂36名工人的年龄数据如下表：
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；
(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?
解 (1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n －2，n ＝1,2，…，9.其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)x ＝44＋40＋…＋379
＝40.
由方差公式知，s 2
＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2
]＝1009
.
(3)因为s 2
＝1009，所以s ＝10
3
∈(3,4)，
所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于在区间[37,43]内的人数，
即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为23
36
≈63.89%. 2．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．
解 (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )
＝A 33C 25A 44＝140
. 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1
40
.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44
C 25A 4
4
＝110
. 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P (E －)＝1－P (E )＝910
.
(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件{X ＝2}是指有两人同时参加
A 岗位服务，则
P (X ＝2)＝C 25A 33
C 25A 44＝14
.
所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝3
4
，X 的分布列是
X 1 2 P
34
14
3．按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)…第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)设m ，n 表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m －n |>2”的概率．
(2)根据有关规定，成绩小于16秒为达标，如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如附表：
根据表中数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？
附：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
.
P(K2≥k0)0.0500.0100.001
k0 3.841 6.63510.828
设为a，b，
成绩在[17,18]的人数有：50×0.06＝3人，
设为A，B，C，m，n∈[13,14)时有ab一种情况．
m，n∈[17,18]时有AB，AC，BC三种情况．
m，n分别在[13,14)和[17,18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况．
基本事件总数为10，事件“|m－n|>2”由6个基本事件组成．
所以P(|m－n|>2)＝6
10＝3 5
.
(2)依据题意得相关的2×2列联表如下：
K 2＝50×(24×12－6×8)2
32×18×30×20
≈8.333>6.635，
故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”． 故可以根据男女生性别划分达标的标准．
4．[2016·潍坊二模]甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下： ①连续竞猜3次，每次相互独立；
②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记作a ，再由乙猜甲写的数字，记为b ，已知a ，b ∈{0,1,2,3,4,5}，若|a －b |≤1，则本次竞猜成功；
③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖． (1)求甲、乙两人玩此游戏获奖的概率；
(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X ，求X 的分布列和期望．
解 (1)记“甲、乙两人一次竞猜成功”为事件A ，则P (A )＝6＋5×2C 16·C 1
6
＝49.
则甲、乙两人获奖的概率P ＝C 23
? ?????492×59＋? ????
?493＝304729
.
(2)由题意知，6人中选取4人，双胞胎的对数X 的所有可能取值为0,1,2.
P (X ＝0)＝C 12·C 1
2·C 22
C 4
6＝415， P (X ＝1)＝C 12(C 22＋C 12·C 12)
C 4
6＝1015＝23， P (X ＝2)＝C 22·
C 2
2C 46＝115
，
故X 的分布列为
E (X )＝0×415＋1×3＋2×15＝5
.
5．[2015·高考]A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A 组：10,11,12,13,14,15,16；
B 组：12,13,15,16,17,14，a .
假设所有病人的康复时间相互独立．从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a ＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
解 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”， 事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2，…，7. 由题意可知P (A i )＝P (B i )＝1
7
，i ＝1,2， (7)
(1)由题意知 ，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝3
7
.
(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，
C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.
因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049
.
(3)a ＝11或a ＝18.
6．某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一X ．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一X 票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为1
3，且三
人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两X “获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望．
解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两X “获奖”票，或者获三X “获奖”
票．
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一X 票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为1
3
，且三人投票相互没有影响，
∴P (A )＝C 23
? ?????132? ?????231＋C 33? ?????133
＝727
.
(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3.
P (X ＝0)＝? ?????133＝127；P (X ＝1)＝C 13? ?????231? ?????132
＝627；
P (X ＝2)＝C 23
? ?????232? ?????131＝1227；P (X ＝3)＝? ?????233＝8
27
.
因此X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
127
627
1227
827
∴X 的数学期望为E (X )＝0×27＋1×27＋2×27＋3×27＝2.
7．[2016·XX 模拟]为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．
若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在
175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生(人数很多)中选3人，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16
，
所以选中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×1
6＝
3人．
用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A －
表示“没有‘高个子’被选中”，
则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝7
10
.
因此，至少有1人是“高个子”的概率是7
10
.
(2)依题意，抽取的30名学生中有12名是“高个子”，所以抽取1名学生是“高个子”的频率为1230＝2
5，频率作为概率，那么从所有高
中生中抽取1名学生是“高个子”的概率是2
5，又因为所取总体数量较
多，抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验，于是，ξ服从二项
分布B ?
????
?3，25，ξ的取值为0,1,2,3.
P (ξ＝0)＝C 0
3
?
?????1－253＝27125，P (ξ＝1)＝C 1
3·25? ?????1－252＝54125，
P (ξ＝2)＝C 2
3
? ?????252? ?????1－25＝36125，P (ξ＝3)＝C 33? ?????253
＝8125
.
因此，ξ的分布列如下：
所以E (ξ)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5
.
8．[2016·XX 模拟]某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困，救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区，L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是1
2；L 2巷道有B 1，B 2
两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，3
5
.
(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率． (2)若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
解 (1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件
A ，则P (A )＝C 0
3
×? ??
???123＋C 1
3×12×? ?????122＝12.
(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.
P (X ＝0)＝?
?????1－34×? ?????1－35＝1
10，
P (X ＝1)＝34×?
?????1－35＋? ?????1－34×35＝9
20，
P (X ＝2)＝34×35＝9
20
.
所以，随机变量X 的分布列为：
E (X )＝0×10＋1×20＋2×20＝20
.
解法一：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3.P (Y
＝0)＝C 0
3
×? ?????123＝18，P (Y ＝1)＝C 13×12×? ?????122＝38，P (Y ＝2)＝C 2
3×? ?????122×12
＝
38
， P (Y ＝3)＝C 33
×? ??
???123
＝18.
所以，随机变量Y 的分布列为：
E (Y )＝0×8＋1×8＋2×8＋3×8＝2
，因为E (X ) L 2巷道为抢险路线为好． 解法二：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ? ???? ?3，12， 所以E (Y )＝3×12＝3 2 . 因为E(X)