整数和整除第一讲

第一讲整数和整除

教学目标

1、整数和整除的意义

2、因数和倍数

3、能被2，3，5，9整除的数重点和难点能被2，3，5，9整除的数的意义

因数、倍数等的相关概念，

知识框架

一、整数和整数的意义

1、零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数

2、整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

用式子表示:如果 a÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。（区分两种表述）

注意整除的条件：

(1)除数、被除数都是整数；

(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。

被除数和除数商整除

都是整数，除数不等于0 商是整数，余数为0 除尽

不一定是整数，除数不等于0 商是整数或有限小数，没有余数

3、整除的条件:

1）除数，被除数都为整数

2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

4、能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8

能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5

能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0

能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除

能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除

【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”？

【典型例题2】

用0、1、5、6四个数字，按要求排成没有重复数字的四位数：

（1）能被3整除，但不能被5整除。

（2）能被2整除，但不能被5整除。

（3）既能被3整除，又能被5整除。

（4）能同时被2、3、5整除。

思考：

有最大的正整数吗？有最小的正整数吗？

有最大的负整数吗？有最小的负整数吗？

有最大的自然数吗？有最小的自然数吗？

例题讲解

1、下列算式中表示整除的算式是（）

（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3

2、下列各组数中，均为自然数的是（）

（A）1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）23 ，34 ，45 （D）2，4，6 3、下列说法正确的是……………………………………………（）

（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1

（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是1

4、判断：

（1）零是整数，但不是自然数；

（2）-1是最大的负整数；

（3）32÷4=8，则4能被32整除；

（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。

5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？

6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。

【拓展题1】

1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数

2、试证明：能被3整除的三位数各数位上数的和能被3整除。

二、因数和倍数

1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)

因数、倍数是互相依存的。不能说a是倍数、b是因数！

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数。

最大公约数：也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

最小公倍数：几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。

性质：

一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数。

1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数。

0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。

【典型例题】

能被18整除的数的因数至少有几个？为什么？

1、下列说法正确的是（）

（A）1没有因数，也没有倍数（B）一个整数的因数的个数有限

2、在80以内，24的因数和倍数分别有（）

（A）2，3，4，6，8，12；48，72 （B）2，3，4，6，8，12，48，72 （C）1，2，3，4，6，8，12，24，48，72

（D）1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，72

3、24的因数有（）个。

（A）6 （B）只有1和本身（C）无数多个（D）8

4、100以内(不包括100)5的倍数有（）个。

（A）10 （B）18 （C）19 （D）20

5、一个数既是30的倍数，又是120的因数。下列说法中，正确的是（）。（A）这样的数只有一个（B）这样的数有限个。

（C）这样的数有无数多个（D）这样的数不存在

6、能被48整除的数一定是下列（）的倍数。

（A）18 （B）24 （C）36 （D）96

7、正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数。下列说法中，正确的是（）。（A）甲乙两数大小相等（B）甲小于乙

（C）甲是乙的因数（D）乙是甲的因数

8、填空：50以内7的倍数有（）

9、对于任意整数m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么数？

10、下列说法错误的是 ( )

A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身

B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身

C. 12在100以内的倍数共有10个

D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16

三、奇数和偶数

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数．

举例常见的奇偶数：

奇数 1,3,5,7,9,11,13,……… 偶数 2,4,6,8,10,12,14,…

能被2、5整除的数的特征：

个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除．

个位上是0或者5的数都能被5整除

1、两个连续的偶数的和是122，这两个数分别是。

2、100以内11的倍数有。

3、一个偶数与一个奇数的和是；差是；积是；

4、能同时被

5、7 整除的最小的偶数是；能同时被3、11整除的最小偶数是

5、一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）．

（A） 120个（B） 90个（C） 60个（D） 30个

6、20以内的自然数中，奇数共有（）

（A）7个（B）8个（C）9个（D）10个

7、下列说法正确的是（）

（A）奇数不可能被2整除（B）5不可能整除偶数

（C）25.5的末位数是5，故它能被2整除

（D）0.4÷2＝0.2，没有余数，所以0.4是偶数

8、下列个数中既能被2整除又能被5整除的数是（）

（A）120 (B) 45 （C）16 （D）24

9、下列说法正确的是（）

（A）只有末位数是5的整数才能被5整除（B）不能被2除尽的数是奇数（C）偶数能被2整除（D）偶数不可能被5整除

10、既能被2整除又能被5整除的最大的三位数是（）

（A）900 （B）990 （C）995 （D）998

11、下列说法正确的是（）

（A）两个偶数之和为奇数（B）两个奇数之和为奇数

（C）偶数一定能被2整除（D）两个奇数与奇数之积为偶数

12、下列说法中错误的是（）

（A）任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数；

（B）一个正整数，不是奇数就是偶数；

（C）任何一个奇数加上1之后，得到的都是一个偶数；

（D）偶数不能被任何一个奇数整除

13、3569加上（）就能被2、3、5整除。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

14、既能被2又能被5整除，但不能被3整除的最大的二位数是（）。

（A）95 （B）90 （C）85 （D）80

15、三个连续的偶数中，最大的是a，最小是（）．

【拓展题】

1、找出50以内能被6整除，且被5整除余2的数？

2、一个两位数，它的两个数位上的数之差是2，且能同时被2，3整除，这个两位数最小是多少？最大是多少？

3、228减去一个数后，能同时被2，3，5整除，减去的这个数最小的是几？

4、教室里有男女同学若干人，男生校服上有5粒纽扣，女生校服上有4粒纽扣．如果学生人数是奇数，纽扣总数是偶数，那么女生人数是奇数还是偶数？为什么？

课后练习题

1、用36个相同大小的正方形，拼成长方形，有多少种不同的拼法？

2、48名同学参加义务植树，需平均分成若干组，每组不少于两人，也不多于30人，

应该怎样分组？

3、小纪念册每本5元，大纪念册每本7元，张军买了这两种纪念册共花了142元，

求两种纪念册最少买了几本？

4、一个三位数，十位上的数字是3，而且这个数能同时被2，3，5整除，则这个三

位数可以是_____

5、三位数A2A能同时被2 ,3整除，求数字A

6、已知一个三位数能被2整除，且各个数位上的数之和为8的倍数，那么这个三位

数最大是几？

7、夏令营活动，午餐时每人发一个饭碗，恰好能每两人发一个菜碗，每三人发一个

汤碗，一共用去88个碗，这次夏令营共有多少人参加？

8、用91个苹果分给十几人，如果没人得到的苹果个数都相等，那么每人拿到______

个苹果。

9、如果（m）表示m的全部因数的和，如（4）=1+2+4=7，则（18）-（21）=___________

10、一堆水果，3个一份多一个，4个一份还多一个，5个一份也多一个，则这堆苹果至少有______个。

11、某年级人数在200`~300之间，若3让你一组余1人，若5人一组余2人，若7人一组余3人，该年级有_____名学生。

12、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B相同的因数有哪些？

13、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数。

（1）能被2整除，但不能被5整除；

（2）能被5整除，但不能被2整除；

（3）既能被2整除，又能被5整除；

14、如果一个长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积是24平方厘米，想一想，这个长方形的周长可以多少？

15、一个数既是100的因数，又是10的倍数，它不能被4整除，那么这个数是什么？

16、有一批零件，设计了三种不同的方法装箱，第一种每箱装18个，第二种每箱装24个，第三种每箱装42个，结果都没有多余。这批零件最少有多少个？

专题02 数的整除性

专题02 数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称 b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

1.1 整数的整除

第一章数论初步 1.1 整数的整除【知识精讲】 1.整除的定义：设a，b是两个整数,且b≠0,如果存在一个整数q,使等式a=bq成立,则称a能被b整除或b整除a，记作b︱a，又称b是a的约数，a是b的倍数.若d不能整除a，则记作d?a，如2|6，4?6. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除0. ±）称为它2．最大公约数的定义：设a，b不全为零，同时整除a，b的整数（如1 a,不全为零，故同时整除a，b的整数只有有限多个，其中最大的一个们的公约数，因b 称为a，b的最大公约数，用符号（a，b）表示.显然，最大公约数是一个正整数. ±）时，则称a与b互素（互质）. 当（a，b）＝1（即a，b的公约数只有1 若a与b互素，则存在两个整数s，t，使得as＋bt＝1. 3.最小公倍数的定义：设a，b是两个非零整数，一个同时为a，b倍数的整数称为它们的公倍数，a，b的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个正数称为a，b的最小公倍数，记作[a，b]. 显然a与b的任一公倍数都是[a，b]的倍数. 4．质数与合数（1）正整数分为三类： ①单位数1； ②质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称为质（素）数； ③如果一个正整数有大于1而小于其本身的因数，则称这个正整数为合数. (2)100以内的质数有25个，即2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97. (3)偶质数只有2. (4)质数有无穷多个. p|或（a，p）＝1. (5) 若p是质数，a为任一整数，则必有a 5.整除的性质:设a，b，c均为非零整数.

整数的整除性

整数的整除性竞赛讲座02 －．的有关概念、性质整除的定义：对于两个整数a、d，若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。若d不能整除a，则记作da，如2|6，46。性质）若b|a，则b|，且对任意的非零整数有b|a ）若a|b，b|a，则|a|=|b|; ）若b|a，c|b，则c|a ）若b|ac，而=1=1表示a、b互质，则b|c；）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；）若c|a，c|b，则c|，其中、n为任意整数例1x，y，z均为整数，若11｜，求证：11｜。证明∵4+3=11 而11｜11, 且11｜, ∴11｜4 又=1 ∴11｜.

整除性问题的证明方法利用数的整除性特征例2设72｜的值。解72=8×9，且=1，所以只需讨论8、9都整除的值。若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。若9｜，则9｜，得a=3。利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。例3证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数. 又∵ n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质， ∴是能被3整除的整数.

故被3除时余2. 例4一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除. 证明∵a2+23=+24，只需证a2-1可以被24整除即可. ∵2.∴a为奇数.设a=2+1, 则a2-1=2-1=42+4=4. ∵、+1为二个连续整数，故必能被2整除， ∴8|4，即8|. 又∵，a，为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a=a，∵3a，∴3|.3与8互质,∴24|,即a2+23能被24整除. 利用整数的奇偶性下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题. 例5求证:不存在这样的整数a、b、c、d使： a?b?c?d-a=① a?b?c?d-b=② a?b?c?d-c=③ a?b?c?d-d=④ 证明由①，a=. ∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数. 同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a必为偶数，与①式右端为奇数

整数的整除特征

整数的整除特征 1.尾系的整除特征（1）2、5：末一位能被2、5整除：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位是0和5的数能被5整除。（2）4、25：末两位能被4、25整除：如1764、123456能被4整除；17850、98765475能被25整除。（3）8、125：末三位能被8、125整除：如1760、123456能被8整除；27750、98765625能被125整除。推而广之，末n位能被2n、5n整除。 2.和系的整除特征：从末位（右）→首位（左）（1）3、9：一位一截，各位的数字和能被3（或9）整除：如8649→8＋6＋4＋9＝27，能被3或9整除；还可以采用更方便的弃3（9）法，如987654321，3、6、9、1＋2、4＋5、8＋7都是3的倍数可以弃去，和是0，所以987654321可以被3整除。采用弃9法，弃去1＋8、2＋7、3＋6、4＋5、9，和是0，所以987654321可以被9整除。（2）11、33、99：两位一截，数段和能被11、33、99整除：如260535→26＋5＋35＝66，66÷11＝6，66÷33＝2，66÷99＝0 ┅ 99，所以260535能被11和33整除，但不能被99整除；3.差系的整除特征：从末位（右）→首位（左）（1）11：奇偶位差法：一位一截，奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。如110220→奇数段0＋2＋1＝3，偶数段2＋0＋1＝3，3－3＝0，0能被11整除，所以110220能被11整除。（2）7、11、13：三位一截，这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被7、11、13整除：如1121876→1┆121┆876，奇数段的和是876＋1＝877，偶数段是121，它们的差是877－121＝756，用这个差除以7、11、13：756÷7=108，756÷11=68....8，756÷13=58...2，所以1121876能被7整除，1121876除以11余8，1121876除以13余2。是11的倍数。注意：如果出现不够减的情况，则奇数位加上7、11、13（或它们的倍数）后再减。如654333→654┆333，差654－333＝321不够减，333可以加上11的30倍再减，333＋330－654＝9，即余数是9。如果用奇偶位差法，奇数位的和是3＋3＋5＝11，偶数位的和是6＋4＋3＝13，11减13不够减，这时奇数位的和加上11再减偶数位的和：11＋11－13＝9，即余数是9。

整数的整除小故事讲课稿

整数的整除小故事今天下午备课时偶然想到一个小故事，顺手写了下来，赶紧就发出来了。。。有一天，小7遇见9，说：“兄弟”。 9是个傲慢的家伙，对小7说：“谁和你是兄弟，叫你乱叫”，就把小7揍了一顿，小7就哭着回家了，第二天9遇到11和13炫耀说：“我昨天把小7揍了一顿，嘿嘿”。 11和13二话没说，抓住9狂扁一顿，扁完之后，9愤愤的说：“你们为什么扁我”。 11和13说：“别以为你和我们是连续的就和我们亲近，再敢欺负我们的兄弟小7，有你吃的”。 9还是不明白，小7为什么比他与11和13更加亲近。过了几天，11出去玩，在一条小溪边远远的看到了正在喝水的37和9 99，11平素就是个精明透顶的人，悄悄的转身退到草丛里躲了起来，打算等37和999走了之后再出来。可是，过了一会，13大大咧咧哼着歌就走过来了，也就被37和999注意到了，他们不动声色，等到13走到河边时，就把13拦住了，13这时也就看到了他们，13似乎忘记了前天狂扁9的事情了，就问：“你们为什么要拦住我的去路呢？ 37和999笑着说，为什么，我们的表弟9上次被你和11扁了一顿，难道你忘记了？ 13纳闷的说：“怎么9是你们的亲戚呢？”

13一边说，一边飞快的往回跑，37和999在后面紧追不舍。说时迟，那时快，就在这时，27飞身而至，挡在了13的面前。 13心里已经害怕到了极点，因为999功力之深厚，远近闻名，但看起来却毫无惧色，虽然明知自己免不了一顿扁。笑嘻嘻的站在三人中间，霎时，战云密布，一股煞气，笼罩在数字山庄。 11看到13要吃亏，就暗暗给7发了短信，然后跑出来，同13站在了一起，13看到11来了，心里多少踏实了一些，7收到11的短信，深感999功利深厚，虽然自己知道7,11,13可以幻化出摩天大阵，但这次也是凶多吉少，所以想到了和平解决这件事情，也就想到了99，就拉着99一起跑来。河边的对峙，也引起了9的注意，所以9也跑了过来这是河边局势：一边是9，37，999 一边是7，11，13，99 999功力深厚，所以光芒四射。这时，99说话了，由于99与两个家族的特殊关系以及他的地位，99这时是最有说话资格的了 99说：“你们两家都是我的亲戚，我还是希望你们能和睦相处” 99咳了一声接着说：“这件事情的起因是由于脾气暴躁的9引起的，当然11家族的处理办法也不合理，所以，9，你出来，向小7陪个礼，道个歉，11和13，你也出来，你们不要以为武力就可以解决一切，向9到个歉”

整数与整除的基本性质一

第一讲整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+?,四位数1254可以写成41051021012 3+?+?+?,同样地用字母表示的两位数ab b a +?=10,三位数f e d def +?+?=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.1010 1211121a a a a a a a n n n n n n n ++?+?=----- 经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（） )A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401 解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B 例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（） )A 26 )B 28 )C 36 )D 38 解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3， 227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排

整数(整除)性问题

整数（整除）性问题【探究拓展】探究1：（1）已知二项式) 1 n x ，其中n ∈N ，且20123≤≤n ，在其二项展开式中，若存在连续三项的二项式．．．系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？解：连续三项的二项式系数分别为1-k n C 、k n C 、1+k n C （11-≤≤n k ），由题意 112+-+=k n k n k n C C C ，依组合数的定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ，故 2 9 8142,1+±+= k k n ，则 2)12(98+=+m k 2 22-+=?m m k ，代入整理得 2)1(21-+=m n ，222-=m n ，1936442=Θ，2025452=，故n 的取值为2442-， 2432-，…，232-，共42个（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式）（2）已知)1 31 1(3 1+- =n T n ，问是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得 T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由？解：∴31)1311(3 1<+- =n T n 1 3+= n n n T ∴1 3,411+= =m m T T m ，31n n T n =+ ∵n m T T T ,,1成等比数列．∴ 1211341)13( 2<+=+n n m m ，所以?? ? ??+∈2321,232-1m 又∵m 为正整数且2≥m ，∴2=m ，n ＝16，且1

第26讲整数整除的概念和性质

第二十六讲整数整除的概念和性质对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n

整数和整除的意义

整数和整除 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1．理解并掌握整数、整除的概念； 2．理解并掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系； 3．知道一个数的因数和倍数的求法。

1.整数（1）零和正整数统称为自然数；（2）正整数、零、负整数，统称为整数。正整数自然数整数零负整数思考题：(1)是否有最小的自然数？ (2)是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？ (3)有多少个自然数？正整数？负整数？ 2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. 例如：24÷2＝12，我们就说24能被2整除，或者说2能整除24. 注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数；（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为0. 3.除尽与整除（1）相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除；（2）不同点：整除中被除数、除数和商都是整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定是整数，余数为零. 4.因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在, 5.一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身. 6.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.

整数的整除性与同余(教案)

整数的整除性与同余（教案）教学内容整除与同余教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质; 2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题. 教学过程一、整数的整除性 1、整除的定义：对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ?=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a. 2、整除的性质 1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am; 2) 若b|a ，c|b ，则c|a 3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ； 4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ； 5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 6）连续整数之积的性质任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z) 例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3 例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 2 1n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。

数的整除性规律

数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5 整除【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3 和9整除时，这个数便能被3或9整除。例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3|24，则3|1248621。又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9|27，则9|372681。【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。例如， 173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。 43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。例如， 32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。 214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。

整数与整除

【知识点1】 1、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数； (2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数. 3.除尽没有余数 4.整除与除尽相同点：都没有余数；除尽中包含整除不同点：整除中，被除数、除数和商都是整数，余数为0；除尽中，被除数、除数和商不一定是整数，余数为0. 【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。【基本习题限时训练1】 1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3 2、下列各组数中，均为自然数的是（）（A）1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）2 3，3 4 ，4 5 （D）2，4，6 3、下列说法正确的是……………………………………………（）

（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1 （C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是1 4、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248 ÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。 5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？ 6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。【拓展题1】 1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。 2、试证明：能被3整除的三位数各数位上数的和能被3整除。一、填空题 1.统称为自然数。 2.统称为整数。 3.用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句。（1）2 整除4 （2）2 整除5 （3）5 被2整除（4）6 被2整 4.把下列各数填在指定的圈内：

2019数的整除性讲解(一)

2019数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。（8x99因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。

整数的整除性1

竞赛培训专题6---整数的整除性 1整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。（2）性质 1)若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am 2)若a|b，b|a，则|a|=|b|; 3)若b|a，c|b，则c|a 4)若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c； 5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； 6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而11｜11(3x-2y+3z), 且11｜(7x+2y-5z), ∴ 11｜4(3x-7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴11｜(3x-7y+12z). 2.整除性问题的证明方法 (1) 利用数的整除性特征（见第二讲）例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。

若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。（2）利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数. 又∵， 2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质， ∴是能被3整除的整数. 故被3除时余2.

四年级数学整数及整除知识点整理

四年级数学整数及整除知识点整理四年级数学整数及整除知识点整理 1、整数的意义：自然数和0都是整数。 2、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b(b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的.约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

人教版初中数学《整数的整除性》竞赛专题复习含答案

人教版初中数学《整数的整除性》竞赛专题复习含答案 §19．1整除 19.1.1★证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．解析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．设三个连续的奇数分别为21n -、21n +、23n +（其中n 是整数），于是 () ()()()2 2 2 22121231121n n n n n -+++++=++．所以 ()()()222 12|212123n n n ??-++++?? ．又()2111n n n n ++=++，而n 、1n +是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以()1n n +是偶数，从而21n n ++是奇数，故 ()()()22224212123n n n ??-++++?? ?． 19．1．2★★若x 、y 为整数，且23x y +，95x y +之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．解析设23u x y =+，95x y =+．若17|u ，从上面两式中消去y ，得 3517v u x -=． ① 所以 17|3v ．因为（17，3）=1，所以17|v 即17|95x y +．若17|v ，同样从①式可知17|5u ．因为（17，5）=1，所以17|u ，即17|23x y +． 19.1.3★★设n 是奇数，求证： 60|6321n n n ---．解析因为260235=??，22、3、5是两两互质的，所以只需证明22、3、5能整除6321n n n ---即可．由于n 是奇数，有 22|62n n -，22|31n +，所以22|6231n n n ---；又有3|63n n -，3|21n +，所以3|6321n n n ---；又有5|61n -，5|32n n +，所以5|6321n n n ---．所以60|6321n n n ---．评注我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k 表示，奇数常用21k +表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a 被3除时，余数只能是0、1、2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k 、31k +、32k +这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理． 19．1．4★★设n 为任意奇正整数，证明：15961000270320n n n n +--能被2006整除．解析因为200621759=??，所以为证结论成立，只需证n 为奇正整数时，15961000270320n n n n +--能被2、17、59整除．显然，表达式能被2整除．应用公式，n 为奇数时， ()()121n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++， ()()121n n n n n a b a b a a b b ----=-++ +. 由于159610005944+=?，2703205910+=?，所以15961000270320n n n n +--能被59整除. 又159627013261778-==?，10003206801740-==?，所以15961000270320n n n n +--能被17整除．

整数整除的概念和性质

整数整除的概念和性质对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n

高中数学竞赛讲座整数的整除性

竞赛讲座02 －整数的整除性 1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。（2）性质 1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am 2）若a|b，b|a，则|a|=|b|; 3）若b|a，c|b，则c|a 4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c； 5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c； 6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而 11｜11(3x-2y+3z), 且 11｜(7x+2y-5z), ∴ 11｜4(3x-7y+12z) 又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z). 2.整除性问题的证明方法

(1) 利用数的整除性特征（见第二讲）例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。（2）利用连续整数之积的性质 ①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。 ②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。证明 ∵为连续二整数的积,必可被2整除. ∴对任何整数n均为整数, ∵为整数,即原式为整数.

数的整除特性

2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。一、整除判定在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。被2、3、4、5、8、9整除的判断依据（1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。（2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。（3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。（4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。（5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。（6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？ A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 中公解析：此题答案为B。此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。考虑被3、4整除的判断依据。能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。所以四个选项中，首先排除D项。能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。因此密码为2222232。【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。 ①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除； ②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除； ③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。【推理过程】： 2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。