数列相关概念与方法总结

数列相关概念与方法总结

二、数列通项的求法

（一）若已知数列为等差数列或等比数列，则直接利用等差数列或等比数列公式求解。 （二）常用递推关系求通项

1.累加法：形如)(1n f a a n n =-+（注意：如果)(n f 是常数，就直接用等差数列通项公式了，不用累加） 例：.),11ln(,211n n n a n

a a a 求++==+

2.累乘法：形如

)(1

n f a a n

n =+（注意：如果)(n f 是常数，就直接用等比数列通项公式了，不用累乘） 例：.,2,211n n n

n a a a a 求==+

3.构造法：

（1）形如)1,,(*

1≠∈+=+p q p N n q pa a n n 为常数，且

解题思路：构造公比为p 的等比数列{}λ+n a 。

设)(1λλ+=++n n a p a ，则λ)1(1-+=+p pa a n n ，利用待定系数法，得.1

,)1(-=

=-p q

q p λλ即则数列???

?

??-+1p q a n 是首项为11-+

p q a ，公比为p 的等比数列，再求通项。 例：.,32,111n n n a a a a 求+==+

（2）形如))(,1,)((*

1为任意函数为常数，且

n f p p N n n f pa a n n ≠∈+=+ 解题通法：

11111)()(++++++=+=n n n n n n n p n f p pa p a n f pa a ，得由，即111)(++++=n n n n n p n f p a p a ，则1

11)

(+++=-n n n n n p n f p a p a ，从而转化成前面用“累加法”所求解的模型。

特殊地，当)(n f 为一次函数模型或指数函数模型时，还有其他解法如下：

①形如),,(*

1为常数d k N n d kn pa a n n ∈++=+（)(n f 为一次函数模型）

解题思路：构造公比为p 的等比数列{}B An a n ++。

设)()1(1B An a p B n A a n n ++=++++，则A B p An p pa a n n --+-+=+)1()1(1，利用待定系数法，得

??

?=--=-d

A B p k

A p )1()1(，解出A 、

B ，则数列{}B An a n ++是首项为B A a ++1，公比为p 的等比数列，再求通项。

例：.,32,111n n n a n a a a 求++==+

②形如)1,,(*

1≠∈+=+p q p N n q pa a n n n 为常数，且

（)(n f 为指数函数模型） （i ）若q p =，则只能用通法求解。

解题思路：11111++++++=+=n n

n n n n n

n n p

q p pa p a q pa a ，得由，即p p a p a n n n n 111+=++，则p p a p a n n n n 111=-++，从而转

化为等差数列?

??

???n n p a 求n a .

（ii ）若q p ≠，则可以用通法或构造等比数列方法，但利用构造等比数列{}

n

n Aq a +的方法求解更方便。

解题思路：设)(1

1n n n n Aq a p Aq a +=+++，得n

n n q q p A pa a )(1-+=+，利用待定系数法，得1)(=-q p A ，

解得q

p A -=1.则数列{}

n

n Aq a +是首项为Aq a +1，公比为p 的等比数列，再求通项。

4.倒数法：形如1(,,)n

n n pa a p q d qa d

+=

+为常数

（i ）若p d =，则1,n n n n n pa pa a qa d qa p +=

=++111,n n n n qa p q a pa p a ++==+所以111,n n q

a a p

+-=所以从而可

转化为等差数列：1n a ??????

是以11a 为首项，q

p 为公差的等差数列。

（ii ）若p d ≠，则111,n n n n qa d q d a pa p p a ++==+所以

即111n n d q

a p a p

+=+，此时转化成形如1()n n a pa f n +=+的结构，再用构造法求解.

例：已知数列{a n }中a 1＝1且a n ＋1＝

a n

a n ＋1

，求数列的通项公式．

例：已知数列{a n }中a 1＝1且a n ＋1＝

a n

a n ＋1

，求数列的通项公式．

5.利用n a 与n S 的关系：

121n n n S a a a a -=++++，1121n n S a a a --=+++

12n n n n a S S -∴≥=-当时，；111n a S ==当时，.

11,1,2

n n n S n a S S n -=?∴=?-≥?

题型一：已知n S ，直接利用以上关系求n a . 例：已知{}n a 的前n 项和为32n

n S =+，求.n a

题型二：已知n S 与n a 的关系，将n S 转成n a . 例：已知{}n a 的前n 项和为2n

n n S a =+，求.n a

题型三：已知n S 与n a 的关系，将n a 转成n S .

例：已知{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111

20(2),..2

n n n n a S S n a a -+=≥=求

三、特殊数列求和法

（一）分组求和法

适用：数列中每一项可拆成几项，重新分组，转化为等差、等比或常数列的求和问题。

例：若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n

＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为________．

（二）倒序相加法

适用：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用正着写与倒着写的两个和式相加。 即：已知 =+=+=+--23121n n n a a a a a a

121n n n S a a a a -=++++① 121n n n S a a a a -=++

++②

①+②，得12112()()()n n n n S a a a a a a -=++++

++

12111()()()

()

2

2

n n n n n a a a a a a n a a S -++++

+++∴=

=

（三）错位相减法

适用：已知数列{}n a ，n n n a b c =（其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列），求{}n a 的前n 项和.

推广：错位相减法所得到的结论必定能化成()n

n S An B q B =+-这种形式，由12

2

()(2)S A B q B S A B q B =+-??=+-?可解出A 、B ，所以，做大题时，可用此结论检验结果正确性，做小题时，可直接利用此方法求.n S

例：求数列??????

n 2n 的前

n 项和．

（四）裂项相消法常见裂项：

（1）

1111

()

()

n n k k n n k

=-

++（2）

1111

()

(21)(21)22121

n n n n

=-

-+-+

（3）

1111

[]

(1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n

=-

+++++（4

1

k

=

例求和：

①S n＝

1

1×2

＋

1

2×3

＋…＋

1

n（n＋1）

；

②S n＝

1

1×3

＋

1

2×4

＋…＋

1

n（n＋2）

；

③S n＝

1

1×3

＋

1

3×5

＋…＋

1

（2n－1）·（2n＋1）

.