高三数学考前的话

高三数学总复习

前言：高考命题方向与科学备考

同学们进入了高三，应以快乐战斗的精神，充满信心地迎接高考的挑战。在人生的旅途上，这是你竞争向上的重大机遇！我们在正式复习之前，应做好科学备考的思想准备，为此，在前言中我们探讨两个问题：

问1：高考究竟考什么？

有人开口便答：“高考考基础、考能力、考应用”。——这种回答，地球人都知道了！它停留在问题的表层上。我们深入地分析高考命题的深层结构，根据国际数学教育改革的大方向和中国教育部考试中心近几年高考命题的改革实验，将高考命题的新走向概括为

“四考能力”和“一个中心”

“四考能力”是什么呢？

·1．在基础中考能力；

·2．在综合中考能力；

·3．在应用中考能力；

·4． 在研究性课题中考能力（或说在新型题中考能力）。

这“四考能力”围绕着的“一个中心”就是数学思想。

这就是说，高考命题专家要以数学思想为中心来命题，以所述“四考能力”来选拔创新能力和实践能力较高的考生。

下面以“题型示例”分述：怎样以数学思想为

中心四考能力。

1．在基础中考能力

高考命题不再单纯地考查基础知识，而是以基础知识为载体考能力、考数学思想方法。 “选择题”和“填空题”是以基础考能力的主要题型，并且由于考生能力素质相差悬殊，造成傻解与巧解、

快与慢的巨大差异，使“选择、填空”的区分度越来

越大，“选择、填空”成为考生夺取“高分”的关键。

例1 在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80°，sin80°），B （cos20°，sin20°） ，则|AB|的值是 ( ) （20XX 年，高考北京卷）

（A ）21

（B ）22 （C ）23 （D ）1

评注： “解法一”：应用两点间距离公式，二数差的平方公式：1cos sin 22=+θθ，

cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)，1cos602=等基础知识。 这个小题考查了诸多知识点，并且是知识点的有序综合。因此，本题体现了“在基础中考能力”的命题立意，即命题者提倡的“小题大题化”、“小题综合化”、“小题要新与活”、“小题也要考思想方法”。

多数考生用上述的“解法一”，但在数学思想的高度来看，解法一就是“傻解”，就是“慢法”。

本题的最快解法是“参数方程法”。

解法二：由圆的参数方程cos sin x y θθ

=??=?，知点A 、B 都在单位圆O 上，

且∠AOB=80-20°=60°，结合圆O 的图形可知|AB|=r=1（不必画图，只需想象），因此选（D ）。答题时间t< 1分钟，一望而知。

因此，本题的解法二体现了“小题考思想方法”，数学思想是解题能力的中心。

例 2 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则________。” （20XX 年高考天津卷）

评注：

把“平面”中的一维元素“边（长）”类比到“空间”中的二维元素“面（积）”，我们就猜想出“空间直角三棱锥A-BCD 中的勾股定理”：2222BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++。答题完毕！

答题时间t<1分钟，因为是填空题，又有科学猜想的支持，所以不必当场证明。

下面类比“平面勾股定理”的变式

1cos cos 22=+βα（BC AB =αcos ，BC AC =βcos ）

给出本题的巧妙证明：

如图三棱维A-BCD ，三个侧面两两垂直，可推出AB 、AC 、AD 也是

两两垂直的

证明：设底面BCD 与三个侧面ABC 、ACD 、ADB 所成的角分别为α、

β、γ，则

1cos cos cos 222=++γβα ①

由面积射影定理，得

BCD ABC S S ??=αcos ，ABCD ACD S S ?=βcos ，BCD ADB

S S ??=γcos

把它们代入①，并去分母，即得

2222BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++。

本例体现了“在基础中考能力”，而且考查的能力是高级的类比能力，数学猜想的能力。从而表明，高考命题不但在基础中考能力，而且注重考查创新能力。本例同时也是“在研究性课题中考能力”。

2．在综合中考能力

当今国际数学教育已由“以单纯的知识传授为中心”转向“以问题解决为中心”。“问题解决”就是综合能力和创造性能力的问题。没有综合便没有应用，没有综合便有创新。因此，在高考问题解决中综合能力是重点和难点！一进入高三总复习，综合能力训练就特别重要。 还要特别注意：高考命题专家一再地强调：在

知识网络的交汇点设计试题，在综合中考查能力，力图实现全面考查数学基础和数学素质的目标。

下面我们指出综合训练的三个要点：

第一，明确高考命题的主干知识及其主要交汇点。

主干知识有九大块：

旧六块： 1．函数；2．不等式；3．数列；4．复数；

5．曲线与方程（解几）；6．空间图形（立几）；新三块：

7．导数；8．概率与统计；9．向量。

九块主干在高考命题中的主要综合（交汇点）是：“函数、方程与不等式的综合”、“函数与数列的综合”、“解析几何与几何、代数、三角的综合”、“导数的应用”、“向量的应用”。 第二，数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是综合能力的中心。因此，在总复习中，要自觉地、及早地自我领悟自我总结数学思想方法，更要善于学习老师关于数学思想方法的评讲。

第三，在单元基础复习中也要进行综合练习，做到“综合题、应用题常见面”。

例 3 已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：

f(a ·b)=af(b)+bf(a)。

（Ⅰ）求f(0)，f(1)的值；

（Ⅱ）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅲ）若f(2)=2，)()2(N n n f u n n ∈=-，求数列}{n u 的前n 项的和n S 。

（20XX 年高考北京卷）

评注：本例是函数与数列综合题，并且考查猜证结合思想的新型题。如果按照传统的演绎证明来推理，那就困绕在演绎魔圈之中，本题就成为最难的怪题。但按照现代的猜证结合来解，本题就变成了“容易”且“有趣”。

第（Ⅰ）、（Ⅱ）两问用特殊化猜想，即对已知恒等式f(a ·b)=af(b)+bf(a)猜令a ，b 的特值，即可得答案：

（Ⅰ）f(0)=f(1)=0；

（Ⅱ）f(x)是奇函数。

略去（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答过程，我们只给出第（Ⅲ）问的两个现代的猜证结合方法： （Ⅲ）的解法一（先猜后证）：

)2(11-=f u ，由f(2)=2及

22)2(2)2(2)2(2)22()1(011111?+=+=?==-----f f f f f ，

得 21)2(1-=-f ∴112

u =- 2111122212)2(221)22(21)2(21-=??=?==-----f f f u 因此，猜想

n n u 21

-=。再用数学归纳法证明：略。

∴121211)211(2

1-=---=n n n S 。

（Ⅲ）的解法二（构造辅助数列）： 同解法一求得21)2(1-=-f 由n n n n n n f f f f f 21)21(21)21(21)21(21)2121()21(1111-=+=?=---- 得1)21(2)21(211-=--n n n n f f 设)21(

2n n n f t =，则11-=-n n t t ∴数列

}{n t 是等差数列，其1)2(211-==-f t ，公差为-1 从而n n t n -=--+-=)1)(1(1 即得n n n f 2)21(-= ∴

n n n n f u 21)2(-==-， 从而11(1)12211212

n n n S --==--。 上面所给的“先猜后证”和“构造辅助数列”（即“辅助函数法”）是解决数列综合题的两大通法。从中，我们看到：不但考知识的综合，而且更考解题策略（数学思想）的综合运用。

3．在应用中考能力

数学学习的目的全在于应用，所以我们必须“在用中学”，高考命题也必“在用中考”！由于旧教学只讲练“单纯练习题式的常规试题”，脱离实际，所以考生得了“应用题恐惧症”！但近年高考命题专家想造成一种“人人爱解应用题，人人快乐应用”、“应用题好解，容易得分”，以便造成一个全民族的数学应用意识，使得中华大众数学时代迅速到来！因此，今后高考注意考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题，适当降低难度，立意考查大众数学。在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探案能力。

例4 一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些

信息，以下关于该家庭用电量与气温同关系的叙述中，正确的是（）

A ．气温最高时，用电量最多

B ．气温最低时，用电量最少

C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加

D ．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 （20XX 年高考 上海卷） 本例就是“大众数学”，80岁老太也能快乐地解答本题，只要她是现代人，有一副信息时代的头脑。本题的最快解法是联系生活原型：冬天因有暖气（非用电取暖），用电量不随气温降低而增加；而夏天因无暖气，只靠空调机（用电）除温，所以当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加，因此选答（C ）。答题时间t<1分钟。但你要善于回到生活中，用生活的原理解题，而不被纯数学所困绕！通过本例，还要注意提高解答应用题的能力，如阅读能力、图表语言能力。

4．在研究性课题中考能力：

高考命题逐年加大考新型题的力度，稳中求新，稳中求改，积极进行新型题的改革试验，在新型题中考查探究能力。所以我们要加强探究学习，注意新型题的训练。这些新型题包括：应用题、开放题、探索题及小发现块题。

例5 关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的解；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的解，其中正确判断的序号是______ （注：把你认为正确判断的序号都填上）

（20XX 年高考 北京卷）

评注：高考命题专家指出：填空题是新型题的试验窗口。北

京卷的这道试验题别有特色，“把空间想象能力的考查与逻辑推

理、模型化方法相结合，体现了运动变化的解题方法”（北京市命

题者原话）。

我们给出本题的一个直觉猜想解法：

考生可随手做一个正方形纸片ABCD ，把纸片绕对角线AC 旋转，考察直角BAD 和直角CBA 在水平桌面α内的射影，旋转轴AC 始终平行于桌面α，当纸片ABCD 由平行于桌面α旋转至纸片垂直于桌面α时，∠BAD 的射影111D A B 由直角经锐角到0°的角，∠CBA 的射影111A B C 由直角经纯角到180°的角。因此题目给出的五个判断都正确，故答： ①②③④⑤ 。

解法中，射影的极端情形“直角”→“0°的角”， “直角” →“180°的解”是显然的，分别必然经过“锐角”、“钝角”则是连续运动的直觉猜想，这其中妙在跳开了演绎证明的“魔圈”！在高考考场中，用正方形纸片操作求解非常轻松快捷，答题时间t<1分钟。我的上述解法叫做“模型动画与直觉猜想”。于是，这道优美试题，一反解题常规，将运动和

辩证法引入了高考。

例6 对于任意两个复数i y x z 111+=，i y x z 222+=（1x ，2x ，1y ，2y 为实数），定义运算“⊙”为：1z ⊙2z =2121y y x x +，设非零复数1w ，2w 在复平面内对应的点分别

为1P 、2P ，O 为坐标原点，如果1w ⊙02=w ，那么在21OP P

?中，21OP P ∠的大小为____________。 （20XX 年北京春季高考题）

评注： 这是信息迁移的新型题，命题者创设了陌生的情境，主要考查考生的阅读能力，迁移能力和创造性思维能力，我们给出两个解法：

解法一：

设i y x w 111+=，i y x w 222+=，则),(111y x P

，),(222y x P ，于是1OP ，2OP 的直线方程分别是

011=-y x x y ， )(1OP

022=-y x x y 。)(2OP

由1w ⊙0))((000212121212=--+?=+?==x x y y y y x x w

?=∠?⊥?902121OP P OP OP （答）

解法二：

如果学习了向量的数量积（新课程），那么题目定义的运算“⊙”就是向量→1OP

与→

2OP 的数量积。因为已知021=→

?→OP OP

，所以?=∠9021OP P 。 解法一和解法二的主要能力是类比能力。

问2 怎样进行科学备考？

因为高考命题专家要以数学思想为中心来“四考能力”，所以我们的科学备考也要以数学思想为中心，盯住三个目标：

1．盯住“优化基础”，建构少而精，最好用的“基础知识系统”，使基础知识熟练化和系统化。这里的“优化基础”与旧办法的“打基础”迥然不同，我们强调用数学思想优化基础，提高思维层次，而不是机械地打基础。

2．盯住“综合训练”、“大众应用”和“探究新题”，总结与提炼五种数学思想（猜证结合思想、化归思想、分合思想数形结合思想、函数与方程思想），建构“数学思想方法系统”，使解题策略与方法明确化和系统化。

3．盯住“语言转换和逻辑表述”，使其数学化和简明化，学会数学地交流。

考试中心的权威指出：“高考命题要使老办法复习考不好”！现在就来探讨高考复习的“老办法”和“新办法”，这是科学备考的主体，其核心是数学学习方法的问题。

什么是“老办法”？老办法就是“以基础知识为中心的机械记忆、机械模仿和机械练习（题海战术）”，这就是旧社会——工业社会的传统数学，我们称它为“机械数学”，它是逝

去了的工业社会的产物，而“新办法”与此相反，“新办法”是以“问题解决——数学思想”为中心的探究学习，其学习方法是归纳式：

“解题实践——学习与探究——反省与总结”

它要求学习者主动参与和创造，自我建构“基知系统”和“数学思想方法系统”，并善于学习与吸收老师与解题专家的辅导，自觉地开发智力，学会数学地思维和数学地交流。我们把这种当今信息社会所需要的数学叫做“智能数学”。所以，我提倡高考数学学习的方法就是所述“智能数学”的方法。智能数学解题的口号是“三最”：

推理最高，

解决最快，

表述最简！

高考问题解决是一种即时性的问题解决，其主要矛盾由过去的“平凡的会与不会的矛盾”发展为“巧解与傻解、快法与慢法的矛盾”。在智能数学看来，不论高考命题如何改变，高考试题的解决都有傻解与巧解、慢法与快法之分。产生这种巨大差别的根源在于考生数学思想的贫困和富有，中学数学思想主要是前述五种数学思想，学习方法的首要问题就是领悟和总结数学思想，开发大脑，即用数学思想武装自己的大脑，擦亮自己的眼睛。

如果你愿意跟我学，即用“智能数学”的方法进行高三总复习，那么还要做到“四学”：1．“问中学”：

本教程在“知识和方法”的理论学习上，采用“问中学”的方法，明确地提出问1、问2、……这也是对你的理论测试，希望你自我归纳，学会抓矛盾抓问题抓住主要问题的学习方法，带着问题学，掌握理论体系。当你不会了，就要“从头问起”。

2．“例中学”：

本教程设置“范例评注”，供你“例中学”。学习任何学问必须“胸有范例”。本教程各节提供精彩范例，请你特别注意“探路”与“评注”。应该先独立思考，自我探路，自我评注一番，然后再对照范例中的“探路”与“评注”。

“评注”是自我总结的重要环节，而自我总结是战胜题海战术的法宝。每做一题必须总结，题要越做越少而不要越做越多。希望你学习25个题而能会解250个题，不要学习了250个题却解不出25个题。

3．“做中学”：

要努力实践，独立解题，数学是做会的，而不是听会的。本教程每节设置“自我检测”，它是挑战高考的样题，请你做实战演练，做一做就知道自己是老几了！

4．“用中学”：

多做应用题，早做应用题，在用中才能学会真本领，学会发现，尝到乐趣。

祝愿你创造出自己的学习方法，争取更大的成功。