线性规划常见题型及解法均值不等式(含答案)

线性规划常见题型及解法

一．基础知识：

(一)二元一次不等式表示的区域

二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.

由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。（二）线性规划

(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行

(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设z =0，画出直线l 0.

3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.

然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.

线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

例1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤??

≤??+≥?

，则z=x+2y 的取值范围是

（）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5]

二、求可行域的面积

x y O

2 x=2

y =2 x + y =2

例2、不等式组

260

x y

+-≥

+-≤

?≤

表示的平面区域的面积为（）

A、4

B、1

C、5

D、无穷大

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）

A、9个

B、10个

C、13个

D、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于

2(0,0)

2(0,0) x y x y

x y x y

+≤≥≥

?-≤≥

-+≤≥?

?--≤

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x、y满足以下约束条件

x y

+≥

-+≤

?≤

，使z=x+ay(a>0)

取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）

A、－3

B、3

C、－1

D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D

五、求非线性目标函数的最值

例5、已知x、y满足以下约束条件

220

240

330

x y

+-≥

-+≥

?--≤

，则z=x2+y2的

最大值和最小值分别是（）

A、13，1

B、13，2

C、13，4

D 、13，

解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，

故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0

的距离的平方，即为4

，选 C

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）

A、（-3,6）

B、（0,6）

C、（0,3）

D、（-3,3）

解：|2x－y＋m|＜3等价于

230

x y m

-++>

-+-<

由右图可知

2x – y = 0

2x – y + 3 = 0

x + y = 5

x – y + 5 = 0

x=3

2x + y - 2= 0

= 5

x – 2y + 4 = 0

3x – y – 3 = 0

习题精选精讲

故0＜m ＜3，选 C

线性规划的实际应用

在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。

例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3

，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?

产品木料(单位m 3

) 第一种

第二种圆桌 0.18

0.08 衣柜

0.09

0.28

解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么????

???≥≥≤+≤+0

05628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .

如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,

此时z =6x +10y 取最大值解方程组?

??=+=+5628.008.072

09.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100

个,能使利润总额达到最大.

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 (2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).

2.线性规划问题的一般数学模型是:已知???????≤+++≤+++≤+++n

m nm n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212*********(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”

或“=”号)

其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.

(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

线性规划中整点最优解的求解策略

在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .

1．平移找解法

作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l ，直线l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.

例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3

，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 产品木料(单位m 3

) 第一种

第二种圆桌 0.18 0.08 衣柜

0.09

0.28

解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么????

???≥≥≤+≤+0

05628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如图所示,

作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离

最大,此时z =6x +10y 取最大值。解方程组?

=+=+56

28.008.072

09.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产

衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x +0.09y =72和0.08x +0.28y =56的交点M 。

例 2 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于3

配套，怎样截最合理？

解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，

总数为z 根。根据题意，得，

目标函数为

，

作出如图所示的可行域内的整点，

作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B （8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y 为正整数，知（8，0

）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，

使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．

点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B （8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。

从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数

又较少，但作图要求较高。

二、整点调整法

先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．

A B

x y O 1l

3l 2l

习题精选精讲

例3．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->??

，求使x y +取最大值的整数,x y ．

解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153

(

,)84

A ，(0,3)

B -，7512(

,)1919

C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为

6319，但不是整数解，又由75019

x <<知x 可取1,2,3，当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；

当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =??

=?或3

1x y =??=-?

． 3.逐一检验法

由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．

例4 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm 与698mm 的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率．

解：设甲种毛坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材的利用率为

P ，则

①，目标函数为

②，线性约束条件①表示的可行域是

图中阴影部分的整点．②表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。所以使P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000的整点坐标．如图看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入②进行校验，可知当x=5,y=2时，

．

答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%．

解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.

高考线性规划归类解析

线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x 、y 满足约束条件??

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函

数z 最大值为18

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220x x y x y ≥??

-+≤??--≤?

则22x y +的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件0

x y y x s y x ≥??≥??

+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围

是（）

A.[6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线2

4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??

+≤??≤≤?

(C)

003x y x y x -≤??

+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??

+≥??≤≤?

解析：双曲线2

4x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域（如图4所示）时有0

003x y x y x -≥??

+≥??≤≤?

。

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例5已知变量x ，y 满足约束条件14

22x y x y ≤+≤??

-≤-≤?

。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅

在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为。

解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+?=-+其表示为斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线

y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.a a -<-?>则a 的取

值范围为(1,)+∞。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

图

图1

习题精选精讲

例６在平面直角坐标系中，不等式组20

200x y x y y +-≤??-+≥??≥?

表示的平面区域的面积是（）

(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20

200x y x y y +-≤??-+≥??≥?

表示的平面区域是一个三角形。

容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11

||||42 4.22

S BC AO =?=??=从

而选Ｂ。

七、研究线性规划中的整点最优解问题

??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件

则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

解析：如图７，作出可行域，由101010

z x y y x =+?=-+，它表示为斜率为1-，纵截

距为10

z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119

(,)22A z 取得最大值。因为,x y N ∈，

故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z = 点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

用均值不等式求最值的方法和技巧

均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

一、几个重要的均值不等式

①，、)(2

R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，

、)(222

∈??

? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3

333

+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

④)(333

∈??

? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：

a 112

a b

ab +≤≤≤2

2b a +。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。例1、求函数2

(1)2(1)y x x x =+

>-的最小值。

解析：

21(1)2(1)y x x x =+

>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2

111

1(1)222(1)

x x x x --=+++>- 3

111

31222(1)

x x x --≥??+-312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是

。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：

①2

(32)(0)2

y x x x =-<<

②2sin cos (0)2y x x x π=<<

解析：

①30,3202x x <<

-> ∴，∴23

(32)(0)(32)2

y x x x x x x =-<<=??- 3(32)[]13

x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②

0,sin 0,cos 02

x x x π

>> ∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。

242sin cos y x x =?222sin sin cos x x x =??2221

(sin sin 2cos )2

x x x =??

22231sin sin 2cos 4

()2327

x x x ++≤?=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2x π<

中的“=”号成立，故此函数最大值是23

。

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

3、用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +

∈R ，求4

()f x x x

)10(≤

x x ≥?+5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此

函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

4、条件最值问题。例4、已知正数x 、y 满足

1x y

+=，求2x y +的最小值。解法一：（利用均值不等式）

2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=++1610218x y

y x ≥+?=,当且仅当81

116x y x y

x ?+=????=??即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）

习题精选精讲

由

811x y

+=得

x y x =

-，由

008

x y x x x >?>>?-又则2x y +22(8)161616

2(8)108888x x x x x x x x x x -+=+

=+=++=-++----162(8)10188

x x ≥-?+=-。当且仅当1688x x -=

-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：

8181

2()(2)228x y x y x y x y x y

+=++≥???=。原因就是等号成立的条件不一致。

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。解法一：由

0,0

x y >>，则3x y x y =++32xy x y xy

?-=+≥，即

()230

x y x y -

+≥解得13xy xy ≤-≥(舍)或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

又

x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ?+-+-≥2()6x y x y ?+≤-+≥舍或，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞

解法二：

由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++?-=+知1x ≠，

则31x y x +=

-，由3

0011

x y x x +>?

>?>-，则： 2233(1)5(1)44

(1)51111x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=?===-++----42(1)59

1x x ≥-?+=-，当且仅当

1(0)31

x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

314444

1(1)22(1)2611111x x x y x x x x x x x x x x +-++=+=+=++=-++≥-?+=-----，当且仅当

)31

x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、添、减项（配常数项）

例1 求函数

2216

32y x x =+

+的最小值.

222

2216

20,3216

3(2)6216

23(2)6

2836x y x x x x x x +>=++=++

-+≥+?-+=-解：当且仅当

22163(2)2x x +=

+，即2

4323x =-时,等号成立. 所以y 的最小值

是836-.

2、配系数（乘、除项）

例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.

220,0

32lg lg lg()lg

132112lg lg 6262lg 6

x y x y x y xy x y >>?+==????+????≤=????

? ?????????????=解：

当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.

评注本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用

2a b ab +??

≤ ?

??来解决. 3、裂项

例3 已知1x >-，求函数

()()

521

x x y x ++=

+的最小值.

分析在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.

()()141110,144(1)52(1)511

x x x y x x x x x ++++????????+>=

+=++

+≥+?+++=解：

当且仅当4

11x x +=

+，即1x =时，取等号. 所以min 9y =.

4、取倒数

例4 已知

102x <<

，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.

解由

02x <<

，得10x +>，120x ->.

取倒数，得

1(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x

x x x x --==??+++-??

??++≤=??????

习题精选精讲

当且仅当31211x x

x -=

++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12. 5、平方

例5 已知0,0x y >>且2

283y x +=求2

62x y +的最大值.

分析条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式

62x y +平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.

222(62)(62)32(1)

32(1)9333()22y x y x y x y x +=+=?+??++??≤=??

??????解：当且仅当

2(1)3y x =+，即32x =，42

2y =

时，等号成立. 故2

62x y +的最大值是9

32.

评注本题也可将x 纳入根号内，即将所求式化为2

62x y +，先配系数，再运用均值不等式的变式.

6、换元（整体思想）

例6 求函数

25x y x +=

+的最大值.

222,0,2,

(0)

00;112014

22212

2=.

232

24x t t x t t y t t t y t y t t t

t t t x +=≥

=-=≥+==>=

≤

==-解：令则当时，当时，当且仅当，即时，取等号所以时取最大值为

7、逆用条件

例7 已知19

1(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（） .

190,0,

1199()()10

10169,4,12.16.

x y x y y x

x y x y x y x y

y x

x y

y x x y x y

x y >>+=+=++=++≥?+====+解：由，得当且仅当

即时，等号成立故的最小值是

评注若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求

x y +

的最大值，则同样可运用此法. 8、巧组合

例8 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 .

分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用2a b ab +≥+b 来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值423-，于是就可以利用均值不等式了.

2,,0,2()()2()()22423232,,31.223 2.

a b c a b c a b a c a b a c a ab ac bc b c b c a a b c >++=+++≥++=+++=-=-===--++-解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为

9、消元

例9、设

,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2

y xz 的最小值是.

222

3,0,,29666=3,443,,=3

3.x z

x z y y x z xz xz xz xz xz xz

x z x y z y xz +>=

+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.

故的最小值为

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为．4.下列函数中，最小值为22的是（） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 +

6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值为． 8.若1>=+y x y x 则y x 2 1+的最小． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．4 1 已知312,0,0=+>>y x y x ,则y x 11+的最小．若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ （） A ．8 B ．4 C ．22 D ．4 22 和定,积有最大(和定的判断依据:相反符号) 1.设 , 20<

线性规划常见题型全集

绝密★启用前 2014-2015学年度???学校8月月考卷试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413 a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D

【解析】根据 22 x y x y y -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a，自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01 a <≤时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当 4 1 3 a <<时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当 4 3 a≥时， 22 x y x y y x y a -≥ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?+≤ ? 表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y满足约束条件 20 1 70 x y x x y -+≤, ? ? ≥, ? ?+-≤, ? 则 y x的取值范围是( ) A． 9[6] 5 ,B．9 (][6) 5 -∞,?,+∞C．(3][6) -∞,?,+∞D．(3,6]

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为． 4.下列函数中，最小值为22的是（） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为． 8.若1>=+y x y x 则 y x 2 1+的最小． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．4 1 总结:常见倒数关系 x x a a -与 a b b a log log 与

线性规划常见题型大全

线性规划常见题型大全 Revised by BETTY on December 25,2020

绝密★启用前 2014-2015学年度?学校8月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释） 1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、0 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8 考点：线性规划. 2．若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（） A.43a ≥ B.01a <≤ C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥ 【答案】D

【解析】根据0220x y x y y -≥??+≤? ?≥??? 画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，纵截距为a ，自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当413a <<时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥? ?+≤ ?表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当43a ≥时，0 220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D. 图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 3．已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤, ?? ≥,??+-≤, ? 则y x 的取值范围是( ) A ．9[6]5, B ．9(][6)5-∞,?,+∞ C ．(3][6)-∞,?,+∞ D ．(3,6] 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域， y x 可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（59,22），（1,6）则可知k ＝y x 的范围是9[6]5,. 考点：线性规划，斜率. 4．（5分）（2011?广东）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组给定．若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为，则 z=的最大值为（）

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x )1时，log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0 log a g (x )?f (x )0，g (x )>0. 2．五个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2 ≥0(a ∈R )． (2)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a 、b ∈R )． (3) a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)． (4)ab ≤(a ＋b 2)2 (a ，b ∈R )． (5) a 2＋ b 22 ≥ a ＋b 2 ≥ab ≥ 2ab a ＋b (a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．