历年四川卷数学高考题部分(完整资料).doc
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（2012?四川）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内
可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x
R ，x
Q
，利用
，即可确定的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，
化简可得3x2﹣y2﹣3=0
而点（2，±3）在曲线3x2﹣y2﹣3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴，∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（x
Q ，y
Q
），（x
R
，y
R
），
∵|PQ|＜|PR|，∴x
R =2m+，x
Q
=2m﹣，
∴==
∵m＞1，且m≠2
∴，且
∴，且
∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）（2015?新课标II）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ= ．
【分析】利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．
【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），
所以，解得；
故答案为：．
（2013?四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x ≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．
【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f （x+2），
则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，
即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，
所以|x+2|＜5，
解得﹣7＜x＜3，
所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．
故答案为：（﹣7，3）．
（2015?新课标II）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）
A．0 B．2 C．4 D．14
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a＞b，则a变为14﹣4=10，
由a＞b，则a变为10﹣4=6，
由a＞b，则a变为6﹣4=2，
由a＜b，则b变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选：B．
（2015?四川.15）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其
中a∈R）．对于不相等的实数x
1、x
2
，设m=，
n=．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x
1、x
2
，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x
1、x
2
，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x
1、x
2
，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x
1、x
2
，使得m=﹣n．
其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．
【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．
【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x
1）﹣f（x
2
）=g（x
1
）﹣g（x
2
），
即为g（x
1）﹣f（x
1
）=g（x
2
）﹣f（x
2
），
考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=﹣n，可得f（x
1）﹣f（x
2
）=﹣[g（x
1
）﹣
g（x
2
）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．
故答案为：①④．
（2013?四川）已知函数，其中a是实数，
设A（x
1，f（x
1
）），B（x
2
，f（x
2
））为该函数图象上的点，
且x
1＜x
2
．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
且x
2＜0，求x
2
﹣x
1
的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；
（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切
线互相垂直，可得，即（2x
1+2）（2x
2
+2）
=﹣1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；
（III）当x
1＜x
2
＜0或0＜x
1
＜x
2
时，∵，
故不成立，∴x
1＜0＜x
2
．分别写出切线的方程，根据两
条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．
【解答】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增；
当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．
（II）∵x
1＜x
2
＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x
1
），
f′（x
2
），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，
∴（2x
1+2）（2x
2
+2）=﹣1．
∴2x
1+2＜0，2x
2
+2＞0，
∴=1，当且仅
当﹣（2x
1+2）=2x
2
+2=1，即，时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且
x 2＜0，求x
2
﹣x
1
的最小值为1．
（III）当x
1＜x
2
＜0或0＜x
1
＜x
2
时，∵，
故不成立，∴x
1＜0＜x
2
．
当x
1＜0时，函数f（x）在点A（x
1
，f（x
1
）），处的切线
方程为
，即．
当x
2＞0时，函数f（x）在点B（x
2
，f（x
2
））处的切线
方程为，即．
函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是
，
由①及x
1＜0＜x
2
可得﹣1＜x
1
＜0，
由①②得=．
∵函数，y=﹣ln（2x
1
+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，
∴a（x
1
）=在（﹣1，0）上单调递减，且
x 1→﹣1时，ln（2x
1
+2）→﹣∞，即﹣ln（2x
1
+2）→+∞，
也即a（x
1
）→+∞．
x 1→0，a（x
1
）→﹣1﹣ln2．
∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．
（2015?新课标II）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
D．（0，1）∪（1，+∞）
【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x?g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′
（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0
?或，
?0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．
（2015?新课标II）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线
段OP互相平分，即x
P =2x
M
，建立方程关系即可得到结
论．
【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A
（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），M（x
M
，y
M
），
将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，
则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x
1+x
2
=，则x
M
==，y
M
=kx
M
+b=，
于是直线OM的斜率k
OM
==，
即k
O M
?k=﹣9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点（，m），
∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
即k2m2＞9b2﹣9m2，
∵b=m﹣m，
∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，
即k2＞k2﹣6k，
则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，
设P的横坐标为x
P
，
由得，即x
P
=，
将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，
即l的方程为y=kx+，
将y=x，代入y=kx+，
得kx+=x
解得x
M
=，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP
互相平分，即x
P =2x
M
，
于是=2×，
解得k
1=4﹣或k
2
=4+，
∵k
i ＞0，k
i
≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．
（2011?四川）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；
（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a=，
椭圆的方程为，
当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，C（x
1，y
1
），D（x
2
，y
2
），
将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，
则x
1+x
2
=﹣，x
1
?x
2
=﹣，
∴|CD|== ==，
解得k=．
∴直线l的方程为y=x+1；
（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，
设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x
1，y
1
），
D（x
2，y
2
），
∴P点的坐标为（﹣，0），
由（Ⅰ）知x
1+x
2
=﹣，x
1
?x
2
=﹣，
且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，
将两直线联立，消去y得，
∵﹣1＜x
1，x
2
＜1，∴与异号，
=
=，
y 1y
2
=k2x
1
x
2
+k（x
1
+x
2
）+1==﹣，
∴与y
1y
2
异号，与同号，
∴=，解得x=﹣k，
故Q点坐标为（﹣k，y
），
=（﹣，0）?（﹣k，y
）=1，故为定值．
（2015?新课标II）设函数f（x）=e m x+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x
1，x
2
∈[﹣1，1]，都有|f（x
1
）﹣f（x
2
）
|≤e﹣1，求m的取值范围．
【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．
【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e m x﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e m x﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e m x﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x
1，x
2
∈[﹣1，1]，|f（x
1
）﹣f（x
2
）|≤e
﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g （t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．
当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m ＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是[﹣1，1]
（2015?新课标II）在直角坐标系xOy中，曲线C
1
：
（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C
2：ρ=2sinθ，C
3
：ρ
=2cosθ．
（1）求C
2与C
3
交点的直角坐标；
（2）若C
1与C
2
相交于点A，C
1
与C
3
相交于点B，求|AB|
的最大值．
【分析】（I）由曲线C
2
：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把
代入可得直角坐标方程．同理由C
3
：ρ=2cos
θ．可得直角坐标方程，联立解出可得C
2与C
3
交点的直
角坐标．
（2）由曲线C
1
的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C
2
：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．
同理由C
3
：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，
解得，，
∴C
2与C
3
交点的直角坐标为（0，0），．
（2）曲线C
：（t为参数，t≠0），化为普通方程：
1
y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C
上，
1
∴A（2sinα，α），B．
∴|AB|==4，
当时，|AB|取得最大值4．
（2015?新课标II）若x，y满足约束条件，则
z=x+y的最大值为．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，
由得D（1，），
所以z=x+y的最大值为1+；
故答案为：．
（2015?新课标II）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，
AP==，
此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，
如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，
∴OQ=﹣，
∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，
∴PA+PB=，
当x=时，PA+PB=2，
当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x=对称，
且f（）＞f（），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
（2015?新课标II）设S
n 是数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=
﹣1，a
n+1=S
n
S
n+1
，则S
n
= ．
【分析】通过a
n+1=S
n+1
﹣S
n
=S
n
S
n+1
，并变形可得数列{}
是以首项和公差均为﹣1的等差数列，进而可得结论．
【解答】解：∵a
n+1=S
n
S
n+1
，
∴a
n+1=S
n+1
﹣S
n
=S
n
S
n+1
，
∴=﹣=1，
即﹣=﹣1，
又a
1
=﹣1，即==﹣1，
∴数列{}是以首项和公差均为﹣1的等差数列，
∴=﹣1﹣1（n﹣1）=﹣n，
∴S
n
=﹣，
故答案为：﹣．
（2013?四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．
【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．
【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，
由图可知所求的概率为：=
故选C