吉林省长春市2020届高三数学一模考试试题文(含解析)

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吉林省长春市2020届高三数学一模考试试题 文（含解析）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数2z i +=-，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C 【解析】

试题分析：复数2z i =-+的共轭复数为2z i =--，在复平面内对应点的坐标为，

所以位于第三象限。选C 考点：复数的概念及运算

2.已知集合{|2,2}A x x x =-或≥≤，2

{|30}B x x x =-> ，则A B =I ( )

A. ?

B. {|3,x x >或x ≤2}-

C. {|3,x x >或0}x <

D. {|3,x x >或2}x ≤

【答案】B 【解析】 【分析】

先将B 集合中表示元素x 的范围求出，然后再求两个集合的交集. 【详解】{|2,2}A x x x =-或≤≥，2{|30}{|0,3}B x x x x x x =->=<>或 ∴A B =I {|3,x x >或x ≤2}- 故选：B.

【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.

3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 515S =，45a = ，则9S =( ) A. 45 B. 63 C. 54 D. 81

【答案】B 【解析】 【分析】

根据给出条件求出3a ，利用3a ，4a ，5a 成等差数列计算5a ，再根据前n 项和性质计算9S 的值.

【详解】由515S =得33a =，45a =,∴57a = ∴95963S a == 故选：B.

【点睛】等差数列性质：2(2)m n p q c a a a a a m n p q c +=+=+=+=； 等差数列前n 项和性质：12121()(21)

(21)2

n n n a a n S n a --+-==-.

4.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.

【详解】{|1}x x >Y{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件, 故选：B.

【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：

p 是q 的充分不必要条件则有：A B ü； p 是q 的必要不充分条件则有：B A ü.

5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1

到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线?13.7433095.7y

x =+，其相关指数

2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

【答案】D 【解析】 【分析】

根据?b

和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据?b 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.

【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选：D.

【点睛】回归直线方程中的?b 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系

数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.

6.已知直线0x y +=与圆22

(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )

A. 3-

B. 1

C. 3-或1

D.

52

【答案】C 【解析】

根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.

=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 故选：C.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.

7.已知3

1

()3

a =，1

33b =，

13log 3c =，则( )

A. a b c <<

B. c b a <<

C. c a b <<

D. b c a <<

【答案】C 【解析】 【分析】

分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.

【详解】因为3

11

()()133

a <<=，1

03331>=，

1133log 3log 10<=，

所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<， 故选：C.

【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.

8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④

C. ①③

D. ①④

【答案】D

【分析】

①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.

【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选：D.

【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.

9.函数2sin()y x ω?=+(0,||)2

π

ω?><

的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( )

A. ()2sin(2)6

f x x π

=+ B. ()2sin()6

f x x π

=+ C. ()2sin(4)6

f x x π

=+

D. ()2sin()6

f x x π

=-

【答案】A 【解析】 【分析】

（1）通过(0,1)以及?的范围先确定?的取值，再根据()f x 过点11(,0)12

π

计算ω的取值. 【详解】由2sin(0)1,||2π

ω????+=

， 由

11111124

2sin()0,,,002121261211

k k Z T πωπ?ωππωπωω?

+=?+=∈>>∴<<=Q ∴

即2sin(2)6

y x π

=+

，

即为()f x 解析式.

【点睛】根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意：（1）根据周期求解ω的值；（2）根据图象所过的特殊点求解?的值；（3）根据图象的最值，确定A 的值.

10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51

2

-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )

A. (35)π-

B. 51)π

C. 51)π

D.

(52)π

【答案】A 【解析】 【分析】

根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.

【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，

则

51

αβ-=

，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：211

22

S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.

11.已知F 是抛物线2

4y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60?的直线分别交抛物线于,A B （A

在x 轴上方）两点，则

||

||

AF BF 的值为( )

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将||

||

AF BF 表示出来，然后代入相应值计算即可.

【详解】||1cos60p AF =

-?，||1cos60p

BF =+?

∴

||10.5

3||10.5

AF BF +==-. 【点睛】焦点在x 轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为θ的直线与抛物线交于,A B 两点，且||||AF BF >，则有||1cos p AF θ=-，||1cos p BF θ=+，22||sin p

AB θ

=.

12.

已知函数1(0)

()(0)

x e x f x x -?-≤?=>，若存在0x R ∈ 使得00()(1)1f x m x --≤成立，则实

数m 的取值范围为( ) A. (0,)+∞

B. [1,0)(0,)-+∞U

C. (,1][1,)-∞-+∞U

D.

(,-∞-∞U 1](0,+)

【答案】D 【解析】 【分析】

数形结合去分析，先画出()f x 的图象，然后根据直线过(1,1)-将直线旋转，然后求解满足条件的m 取值范围.

【详解】如图, 直线0(1)1y m x =--过定点(1,1)P -,m 为其斜率，0m >满足题意，

当0

m<时，考虑直线与函数1

x

y e-

=-相切，此时

(1)11

x

x

m x e

m e

-

-

?--=-

?

=-

?

，解得

1

m

x

=-

?

?

=

?

，此时直线与1

x

y e-

=-的切点为(0,0)，∴1

m≤-也满足题意.选D

【点睛】分段函数中

的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题.

二、填空题.

13.已知

1

sin cos

225

αα

-=，则sinα=_____.

【答案】

24

25

【解析】

【分析】

将所给式子平方，找到sinα与sin cos

22

αα

-的关系.

【详解】

1

sin cos

225

αα

-=平方得

24

2sin cos

2225

αα

=

∴

24

sin

25

α=.

【点睛】sin cos

αα

±与sin cos

αα的关系：2

(sin cos)12sin cos

αααα

±=±；

14.设变量,x y满足约束条件

34

20

x y

x y

x

-≤

?

?

+≤

?

?+≥

?

，则3

z x y

=-的最小值等于_____.

【答案】8

-

【解析】

【分析】

作出不等式组表示的可行域，采用平移直线法计算对应直线的截距，从而得到z的最值.

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【详解】画出可行域如图，3z x y =-变形为11

33

y x z =

-， 过点A （-2，-2），z 取得最大值4，过点C(-2,

2)取得最小值8-.

【点睛】本题考查线性规划的内容，难度较易.线性规划问题，如果是线性的目标函数采用平移直线法是常规的选择；如果是非线性的目标函数，则需要分析目标函数所表示的几何意义.

15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥,10PA =2,2AB AC ==，则

三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____. 【答案】16π 【解析】 【分析】

根据题设位置关系，可知以,,AB AC PA 为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，根据这一特点进行计算.

【详解】设外接球的半径为R ，则2

2

2

2

(2)16R PA AB AC =++= ∴16S π=

【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径.

16.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若

(,)m b c a b =--u r ,(sin ,sin sin )n C A B =+r ，且m n ⊥u r r

，则A =____;若△ABC 的面积为

3ABC 的周长的最小值为_____.

【答案】 (1).

3

π

(2). 6

【解析】 【分析】

先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解A 的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.

【详解】由m n ⊥u r r

得(,)(sin ,sin sin )()sin ()(sin sin )0m n b c a b C A B b c C a b A B ?=--?+=-+-+=u r r

()()()0b c c a b a b -+-+=得2

2

2

a b c bc =+-,∴2221

cos 22b c a A bc +-==∴3

A π=；

1

sin 2

S bc A ==4bc =又222224a b c bc b c =+-=+-

所以6a b c b c ++=+（当且仅当2b c ==时等号成立）

【点睛】（1）1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，若a b ⊥r r 垂直，则有：12120x x y y +=；

（2）22

2(0,0)a b ab a b +≥>>取等号的条件是：a b =.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列{}n a 中，12a =，1

122n n n a a ++=+，设2n

n n

a b =

. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列1

1

{

}n n b b +的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1

11

n S n =-+ 【解析】 【分析】

（1）证明1n n b b c --=（c 为常数）即可；

（2）将1

1

n n b b +采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解n S .

【详解】（Ⅰ）证明：当2n ≥时，11

1121222

n n n n n n n n n a a a a b b ------=

-== 11b =，所以{}n b 是以为1首项，为1公差的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，n b n =，所以

+11111

n n b b n n =-+，

所以1111111122311

n S n n n =-

+-++-=-++L L . 【点睛】常见的裂项相消形式： （1）

111(1)1n n n n =-++；（2）11

n n n n =-+++；

（3）

1111

()(21)(21)22121

n n n n =--+-+； （4）11

2311

(31)(31)3131

n n n n n ++=-----g .

18.环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果.

（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率. 【答案】（Ⅰ）图略，中位数在区间[36,38).（Ⅱ）3

5

【解析】 【分析】

（1）画出频率分布直方图后，找到频率总和为0.5时对应的分组区间；

（2）先利用分层抽样计算每组内抽取的辆数，然后对车辆进行标记，利用古典概型计算目标事件的概率.

【详解】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：

前3组频率总和为2(0.030.050.1)0.36++=，第4组频率为20.150.3?=，且

0.360.30.5+> ，则由图可知，中位数在区间[36,38).

（Ⅱ）由题意，设从[38,40)中选取的车辆为,,A B C ，从[40,42)中选取的车辆为,a b ， 则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为

,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab ，

其中符合条件的有6种，,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ，所以所求事件的概率为3

5

. 【点睛】中位数计算方法：

（1）找到频率总和为0.5所在的区间段；

（2）计算前几组频率总和，记为a ，频率总和为0.5所在的区间段的频率记为b ； （3）计算

0.5a

b

-?组距，记为c ； （4）频率总和为0.5所在的区间段的左端点值c +得到的结果即为中位数.

19.在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC 、平面1ACC A 、平面11BCC B 两两垂直.

（Ⅰ）求证：1,,CA CB CC 两两垂直；

（Ⅱ）若1CA CB CC a ===，求三棱锥11B A BC -的体积. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）3

16

a 【解析】 【分析】

（1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证1,,CA CB CC 中任意一条直线垂直于另外两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线；

（2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计算体积. 【详解】（Ⅰ）证明：在ABC ?内取一点P ，作,PD AC PE BC ⊥⊥，

因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，其交线为AC ，所以PD ⊥平面11ACC A ，1PD CC ⊥， 同理1PE CC ⊥，所以1CC ⊥平面ABC ，11,CC AC CC BC ⊥⊥， 同理AC BC ⊥，故1,,CC AC BC 两两垂直.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥11A BCB -的高为11A C a =，

12111

22

BCB S BC BB a ?=

?=，所以三棱锥11B A BC -的体积为316a . 【点睛】（1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；

（2）计算棱锥的体积时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a

20.已知点(1,0),(1,0)M N -，若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=.

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）

过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.

【答案】（Ⅰ）

2

2

143

x y

+=；

（Ⅱ）AOB ?面积的最大值

为，此时直线l 的方程

为3

x y =±

. 【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；

（2）设出直线方程后，采用1

||2

AB d ??（d 表示原点到直线AB 的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.

【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.

因此椭圆的方程为22

143

x y +=.

（Ⅱ）设直线l

的方程为x ty =-与椭圆22

143x y +=交于点11(,)A x y ，

22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x

可得22(34)30t y +--=，

即122

34

y y t +=

+，122334y y t -=+. AOB ?

面积可表示为1211

||||22

AOB S OQ y y =

?-=△

2216

223434t t ===++

u =，则1u ≥

，上式可化为266

33u u u u

=++≤

当且仅当u

=

t = 因此AOB ?

l

的方程为x y =-【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：

（1）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||2PM PN a +=且22a c >，则P 的轨迹是椭圆；

（2）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||||2PM PN a -=且22a c <，则P 的轨迹是双曲线.

21.设函数1

()ln x f x x x

+=+

. （Ⅰ）求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若(0,1)x ∈时，不等式

1ln 2(1)

x

x a x +<--恒成立，求实数a 的取值范围.

【答案】（Ⅰ）()2f x =极小值，无极大值；（Ⅱ）01a <≤ 【解析】 【分析】

（1）求导后，求解导函数零点，并用列表法分析极值；

（2）对所给不等式进行变形，将ln x 分离出来便于求导，同时构造新函数

2(1)

()ln (01)1

a x g x x x x -=

-<<+，分析(0,1)x ∈时，()0>g x 恒成立时a 的范围.

【详解】解：（Ⅰ）令

21

()0x f x x

-'=

=，1x =

()= (1)2f x f ∴=极小值，无极大值；

（II ）由题意可知，0a >，则原不等式等价于

2(1)

ln 01

a x x x -->+，

令2(1)

()ln (01)1

a x g x x x x -=-<<+，22((24)1)()(1)x a x g x x x -+-+'=+，

①当01a <≤时，2

(24)10x a x +-+≥，()0g x '

≤，()g x 在(0,1)上单调递减，

()(1)0g x g >=，成立；

②当1a >时，2

000(0,1),(24)10x x a x ?∈+-+=，

使得当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，

当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，故当0(,1)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不成立； 综上所述，01a <≤.

【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的问题常用的方法：

（1）分类讨论法（所给不等式进行适当变形，利用参数的临界值进行分析）； （2）参变分离法（构造新的函数，将函数的取值与参数结合在一起）.

22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为12x y ?

=??

?

?=??

（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2

4cos 3ρρθ-=. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ?的值.

【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为2

2

430x y x +--=.（Ⅱ）2 【解析】

分析】

（1）求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθ

ρθ=??

=?

互化即可.

（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ?的值. 【详解】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为2

2

430x y x +--=. （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得

22(1)(2)4(1)30++---=， 化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ?==.

【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

；

（2）直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：

||||||AB PA PB g 、，则有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =g

.

23.已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；

（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(,5][1,3]-∞--U ；（Ⅱ）最小值为2 【解析】 【分析】

（1）采用零点分段的方法解不等式；

（2）计算出()f x 的最大值，再利用基本不等式求解+a b 的最小值.

【详解】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3

()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-????

=+---≤≤=+-≤≤????+-->>??

当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-.

当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.

综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U .

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即2

3()(

)2

a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立， 可得2

(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2.

【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时x 的值，再逐段分析；

（2）注意利用||||||x a x b a b -+-≥-，||||||x a x b a b ---≤-求解最值.