圆,垂径定理,圆周角圆心角,切线性质及判定

圆，垂径定理，圆周角圆心角，切线性质及判定

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端

点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做

半径。

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

例题：

1．到点A的距离等于5cm的所有点组成的图形是____________。

2.两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm。

2、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

（2）直径

经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）

直径等于半径的2倍。

直径所对的圆周角等于90度。

（3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

3、点和圆的位置关系（3分）

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d

d=r?点P在⊙O上；

d>r?点P在⊙O外。

例题：

1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．

2.已知⊙O的周长为8πcm,若PO=2cm,则点P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______.

课堂练习：

1．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是 4.如果⊙O

的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：①点P 在⊙O 外，则______； ②______ 则d =r ；③______则d

2．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为9cm ，则这圆的半径是 cm ． 3．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ． 4．⊙O 的半径是3cm ，P 是⊙O 内一点，PO=1cm ，则点P 到⊙O 上各点的最小距离是 ． 5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2cm ，BC=4cm ，CM 为中线，以C

为圆心，

cm

为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．

6.如图，Rt △ABC 的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r 1=2cm ，r 2=2．4cm ，r 3=3cm 为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系．

7.已知：如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，∠AOC=∠BOC ，M 、N 分别为OA 、OB 的中点．求证：MC=NC ．

4、垂径定理及其推论：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦

直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧

符号表示垂径定理及推论：

符号语言：∵AB 是⊙O 的直径 又∵CD AB ⊥

∴DE CE =

5

符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵DE

CE=

∴CD

AB⊥

例题：

1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，

求证：AC＝BD。

2、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径。

3、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．（求弦长）

4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．

5、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求△ABC 的周长。

课堂练习：

1．(1).圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。

(2)．如右图，____________是直径，___________是弦，

____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。

(3)．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。

(4)．确定一个圆的两个条件是__________和_________。

2．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，?错误的是（ ）．

A ．CE=DE

B ． BC

BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD

(1) (2) (3)

3．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

4．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，?则下列结论中不正确的是（ ）

A ．A

B ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD

C ． A

D BD

= D ．PO=PD 5. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ）

A. 3≤OM ≤5

B. 4≤OM ≤5

C. 3＜OM ＜5

D. 4＜OM ＜5

6. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）

A ．5米

B ．8米

C ．7米

D ．

5米

7. 如图，AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=，求BC 的长；

8、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF

C

3cm 2

A B

5、圆周角定理及其推论 1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例题：

(

)

A 、1

B 、2

C 、2 判断下列命题是否正确？

⑴圆周角的顶点一定在圆上。（ ） ⑵顶点在圆上的角是圆周角。（ ） ⑶圆周角的两边都和圆相交。（ ）⑷两边都和圆相交的角是圆周角。（ ）

3、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB 的度数？

4．如图，⊙O 是ABC ?的外接圆，AB 是直径，若 ?=∠80BOC ，则A ∠等于（ ） A ．60o B ．50o C ．40o D ．30o

5．如图，已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行 于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是： A ．25° B ．40° C ．30° D ．50°

6. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

O

C

B

A

O

C

课堂练习：

1、如图，弦AB 分圆为1：3两段，则 AB 的度数= 度，

ACB 的度

数等

于 度；∠AOB ＝ 度，∠ACB ＝ 度，

2、如图，已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若 AB

、 CA 、 BC

的度数之比为1∶2∶3，则∠AOB ＝ ，∠AOC ＝ ， ∠ACB ＝ ，

3、如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○

， 则 ⊙O 的半径等于=_________cm ．

4、⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OD=3， 则AD= ，AB 的长为 ；

5、如图，已知⊙O 的半径OA=13㎝，弦AB ＝24㎝， 则OD= ㎝。

6、如图,已知⊙O 的直径AB ＝10cm ，弦AC ＝8cm, 则弦心距OD 等于 cm.

7、已知：AB 为⊙O 的直径，C 为弧AF 中点，CD ⊥AB 于D ，CD 交AF 于E 求证：∠1=∠2

6、（1）归纳直线和圆的三种位置关系：

相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

· O A

B

D

第1小题

2小题

B

A

如果圆O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：

直线l 和圆O 相交 d r; 直线l 和圆O 相切 d r; 直线l 和圆O 相离 d r.

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）。

（3）由直线与圆的位置关系和切线的性质定理推理总结出切线的判定定理：

切线的判定定理：经过半径（或直径）的外端并且垂直于这条半径（直径）的直线是圆的切线。 注意：“经过半径（或直径）的外端”和“垂直于这条半径（或直径）”这两个条件缺一不可。

引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．

请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行? 定理中的两个条件缺一不可．

总结切线的判定方法： ① 直线到圆心的距离等于该圆的半径（直线与圆的位置关系）；②线与圆有唯一公共点（切线

定义）；③切线的判定定理． 切线例题：

1、 判断下列命题是否正确．

(1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线．

(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．

(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．

图（１） 图（２） 图（３）

图（１） 图（２） 图（３）

A

2、PA 切⊙O 于点A,PA=4,OP=5,则⊙O 的半径是____。

3、已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB 。求：①直线AB 是⊙O 的切线；②若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 的长。

4、（宜昌市）如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）

A ．130°

B ．100°

C ．50°

D ．65

课堂练习题：

1、下列结论中正确的是（ ）

A ．圆的切线垂直于半径

B ．垂直于切线的直线必经过圆心

C ．垂直于切线的直线必经过切点

D ．经过圆心和切点的直线必须垂直于切线 2、如图4，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠A=36°，则∠C= 。 3、如图5，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点

E 是⊙O 上一点，且∠AEB=60°，则∠P= 。

4、如图6，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠BAC=30°，在AB 的延长线上取一点P ，连结PC ，当PB=

2

1

AB 时，求证：PC 是⊙O 的切线 5、正方形ABCD 的边长为4cm ，以正方形的边BC 为直径在正方形内部作半圆，AE 交CD 于点E ，且与半圆相切于点F ，求△ADE 的面积。

课后作业： 一、选择题．

1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；?③圆有且只有一个内接三

角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（? ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2．如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）．

A ．2.5

B ．2.5cm

C ．3cm

D ．4cm

3．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB ，则弦AD 长为（ ） A ．

5

2 B ．5

2

C

D ．3

4．如果两个圆心角相等，那么（ ）

A ．这两个圆心角所对的弦相等;

B ．这两个圆心角所对的弧相等

C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;

D ．以上说法都不对

5．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）

A ．

AB =2 CD B ． AB > CD C ． AB <2 CD D ．不能确定 6．如图5，⊙O 中，如果 AB =2 AC ，那么（ ）．

B A

A

(5) (6) 二、填空题

1．经过一点P 可以作_______个圆；经过两点P 、Q 可以作________?个圆，?圆心在_________上；

经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，?圆心是________的交点．

2．边长为a 的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．

3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形

_________．

4．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 5．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．

6．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题

1、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC

2、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB 的度数？

3．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N ?在⊙O 上．

（1）求证： AM = BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则 AM MN NB ==成立吗？

4．如图，以

ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，

求 BE

的度数和 EF 的度数．

B

A

5．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．

课后作业（切线部分）：

1、已知⊙O 的半径为8cm ，如一条直线和圆心O 的距离为8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．相交或相离

2、（上海）如图9，从⊙O 外一点P 到⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如果∠APB=60°，PA=8,那么弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．7

C ． 34

D ．38

3、如图10，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，PA=10，CD 是⊙O 的切线，交PA 、PB 于C 、D 两点，则△PCD 的周长是（ ）

A ．10

B ．20

C ．30

D ．40

4、如图1，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6cm ，AB=4cm ，则⊙O 的半径为（ ） A ．

B ．

C ．

D

（1） （2） （3）

https://www.360docs.net/doc/598279373.html,

O

https://www.360docs.net/doc/598279373.html,

5、如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，?2cm?为半径作⊙M，?当OM=______cm时，⊙M与OA相切．

6、已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，?那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．

7、如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC?交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．

（4）（5）

8、如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O?的切线AD，BA⊥DA于A，

BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，5

2

为半径的圆的位置关系是

________．

9、如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F。已知∠B=50°∠C=60°.那么∠EDF=________．

10、已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，?弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．