计算方法的课后答案解析
《计算方法》习题答案
第一章 数值计算中的误差
1．什么是计算方法？（狭义解释）
答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？
答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果
4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2
3
4
5
-+?+-?+=x x x x x x P ，从而
所以，多项式4)(5
3
-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：
（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、
实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*
x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*
为近似值x 的绝对误差
（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e *，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。
把绝对误差e 与精确值*
x 之比*
**x
x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称*
x ε
η=
为近似值x 的相对误差限η≤r e ，由于真值*
x 是未知的，所以常常用
x
e x x x e r =-=*来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。
7．近似值的规格化表示形式如何？
答：一般地，对于一个精确值*
x ，其近似值x 的规格化形式为m
p x x x x 10.021?±= ，其中{}),2,1(9,2,1,0,01p i x x i =∈≠，p 为正整数，m 为整数。
8．有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。
答：若近似值x 的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。 若近似值x 的（绝对）误差限为n m x x e -?≤
-=102
1
*
，则称x 为具有n 位有效数字的有效数，或称它精确到n
m -10
位，其中的每一位数字n x x x ,,21都是x 的有效数字。
设精确值*
x 的近似值x 的规格化形式为m p x x x x 10.021?±= ，若x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为n r x e -?≤
11
1021
；反之，若x 的相对误差限为n r x e -?+≤
1110)
1(21，则x 至少有n 位有效数字。
9．下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。
（1）024.01=x （2）4135.02=x （3）50.573=x （4）600004=x （5）5
5108?=x ；
解：（1）0005.01*
1
≤-=x x e ；0021.0*≤=-=x
e
x x x e r ；有三位有效数字。 （2）00005.02*
2≤-=x x e ；000121.0*≤=-=x
e
x x x e r ；有四位有效数字。 （3）005.03*
3≤-=x x e ；000087.0*≤=-=x
e
x x x e r ；有四位有效数字。 （4）5.04*
4≤-=x x e ；0000084.0*≤=-=x
e
x x x e r ；有五位有效数字。 （5）5.05*
5≤-=x x e ；000000625.0*≤=-=x
e
x x x e r ；有六位有效数字。 10．为了使19的相对误差≤0.1%，问至少应取几位有效数字？
解：由19的首位数是4.设近似数*
x 有n 位有效数字，由定理4.1可知，相对误差
001.0104
21
)(1*≤??≤
-n r x e ，解得097.3≥n ，即取4位有效数字，近似数的相对误差不超过0.1%。
11．已知33,3100,1150)(*
2
==-+==x x x x x P y ，计算)3
100
(*p y =及)33(P y =，并求x 和y 的相对误差。 解： 55555.51150)3
100
()3100()3100(
2*
-≈-+==p y 281150)33()33()33(2
-=-+==P y 333.0)(*≈-=x x x e 0101.0)
()(≈=
x
x e x e r 44444.22)(*≈-=y y y e 801587.0)
()(≈=
y
y e y e r 12．写出误差估计的一般公式（以二元函数),(y x f z =为例）。 解：二元函数),(y x f z =的绝对误差： )(|)(|)(),(),(y e y
f
x e x f z e y x y x ???+???≈
二元函数的相对误差： z y e y f z x e x f z z e z e y x y x r )
(|)(|)()(),(),(???+???≈=
)(|)(|),(),(y e y
f
z y x e x f z x r y x r y x ????+????=
13．用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V V 2220±=，
A I 1.010±=，求这个电阻的阻值R ，并估算其绝对误差和相对误差。
解：2)(≤V e ，1.0)(≤I e ，又2,1,I
V I R I V R I V R -=??=??=
。所以： 42.01.0100
2202101)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=???+???≤???+???≈
I e I R V e V R I e I
R
V e V R R e I V I V I V I V
21099.1)
()(-?≈=
R
R e R e r 。 14．若01.045.0,01.003.1*
2*
1±=±=x x ，计算2
2
12
1x e x y +
=的近似值，并估计)(y e 及其上界。
解：45.02
2
1)03.1(e y +
≈ )(2
1))(()21()21()(2*22*21*11*11*
1*x x x x e e x x x x e x e x y y y e -++-=+-+
=-= ),(,01.02
11006.2)(21))((*2221*1
1*
12*2x x e e e x x x x x x ∈??+?=-++-≤-ξξ
15．已测得某场地长为m l 110=，宽d 的值为m d 80=，已知m l l l e 2.0)(*
≤-=，
m d d d e 1.0)(*≤-=，试求面积ld s =的绝对误差限和相对误差限。
解：由ld s =,
l d
s d l s =??=??,，m l l l e 2.0)(*≤-=，m d d d e 1.0)(*≤-=。可得：30
1.080
2.0110)
(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=?+?=???+???≤???+???≈
d e d
s l e l s d e d s l e l s s e d l d l d l d l 3104.3)
()(-?≈=
s
s e s e r 。
16．掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。 解：（1）加、减运算：
由于()1/=?+?x y x ()()(),1/,1/,1/-=?-?=?-?=?+?y y x x y x y y x ，所以
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()|
||/|||/|||,//,,//,y e y x y x e y x x y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e r r r r r r r r r ?-+
?-≤-?--?-≈--≈-?++?+≈++≈+从而有
（2）乘法运算： 由于
()()，x y
xy y x xy =??=??,所以()()()()()()y e x e xy e y xe x ye r r r +≈+≈,x y e ，从而()()()|||||||||y e x x e y xy e ?+?≤
（3）除法运算： 由于2)(,1)
(y
x y y x y x y
x
-=??=
??，所以)()(1)(2y e y
x
x e y y x
e -≈
，)()()(y e x e y
x
e r r r -≈
（4）乘方及开方运算：
由于()
1-=??n n
nx x
x ，所以()()()()x ne x e x e nx x e r n r n n ≈≈-,1 17．求方程01562
=+-x x 的两个根，使它至少具有4位有效数字（982.27783≈）。
解：782.55982.27281
21
14)56(5621=+≈???--+=x
017863.0782
.55112≈==
x c x 19．求方程01162
=+-x x 的较小正根，要求有3位有效数字。
解：937.15937.781
21
14)16(1621=+≈???--+=x
062747.0937
.15112≈==
x c x 所以较小正根为062747.02≈x 。 20．设41
10,,2,1,0, ==
?n dx e x
I x n
n 。
（1）证明：4
110,,2,1,0, =-=-n nI e I n n ；
（2）给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。 （1）证明：11
11
1
---=-===???n x n x
n x
n
n nI e x d e nx e e d x dx e x
I
（2）)(1
1n n I e n
I -=
- 设n n n I I e -=*
，则
n n
n
n n n n n n n e n I I e e n
I I e e n I I e 1
11
0*
0022
*221*
11=
-==-==-=------
当n 无限大时，n e 越小，所以该算法稳定。
21．用递推算法计算积分?=+=1
010,2,1,0,41 n dx x
x I n
n ，并验证算法的数值稳定性。 解：1101
10110114
1
41)41(4141441------=+-=+-+=???n n n n n n n I n dx x x dx x dx x x x x I 设0*
00I I e -=，则
1010*
1010022*
2201*11414141
e I I e e I I e e I I e =-==-==
-=
所以该算法是稳定的。 22．设计一个计算362412
163)(x x x
x f ++=的最小计算量的算法。
解：24121212442362412
163163)(x x x x x x x x x x x x
x f ??+??+????=++=
23．什么是数值稳定的算法？数值计算应遵循的六条规则是什么？
答：一个算法如果原始数据有误差（扰动），而计算过程中舍入误差不增长或增长可以
控制，则称此算法是数值稳定的。否则，称此算法是数值不稳定的。
数值计算应遵循的六条规则是：
（1）选用数值稳定的算法（计算公式）；
（2）尽量避免两个相近数相减；
（3）尽量避免用绝对值很大的数作乘数；
（4）尽量避免用绝对值很小的数作除数；
（5）防止大数“吃掉”（或“淹没”）小数（即合理安排运算顺序）；
（6）简化计算步骤，减少运算次数。
第二章 非线性方程的数值解法
1．叙述零点定理的内容。
答：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且0)()(
b a x ∈使
0)(*=x f ，即)(x f 在区间),(b a 内存在实的零点，称区间],[b a 为方程的有根区间。
2．方程求根的两个步骤是什么？确定方程有根区间的方法有哪些？ 答：第一步 确定方程0)(=x f 的有根区间。 第二步 近似根的精确化。
确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法。 3．利用作图法确定方程01)(3
=--=x x x f 的有根区间。
解
：
由于,05128)2(,01)0(>=--=<-=f f 于是，在区间)2,0(内至少有一个根，取步长5.0=h 向右进行根的搜索，即计算)5.1(),0.1(),5.0(f f f 的值得到
0)5.1(,0)0.1(,0)5.0(>< 4．利用逐步搜索法确定方程0343)(2 3 =++-=x x x x f 的有根区间。 1 )(3--=x x x f 解：由于,05)1(,03)0(<-=->=f f 于是，方程在)0,1(-内至少有一个实根，所以，从1-=x ，取步长5.0=h 向右进行根的搜索，即计算)5.0(-f 得到08 1 )5.0(>=-f ，从而，原方程的有根区间缩小为)2 1,1(--。 5．确定方程01042 3 =-+x x 的有根区间。 解：由于函数104)(2 3 -+=x x x f 的定义域为()+∞∞-,，用逐步搜索法：由于 014)2(,010)0(>=<-=f f ，于是，方程在)2,0(内至少有一个实根，所以，从0=x , 取步长5.0=h 向右进行根的搜索，即计算)5.1(),0.1(),5.0(f f f 的值得到 0)5.1(,0)1(,0)5.0(>< 6．二分发的基本思想是什么？ 解：二分发的基本思想是将方程0)(=x f 的有根区间逐步分半，通过判别)(x f 在端 点的符号以及零点定理来缩小有根区间，使在足够小的区间内使方程0)(=x f 有且仅有一个根，并满足给定的精度要求为止。 7．以方程0)(=x f 的有根区间为[]b a ,为例)0)(,0)((> 解：第一步：将有根区间[]b a ,分半，用区间[]b a ,的中点2 b a +将[] b a ,分为两个相等区间，计算中点的函数值)2(b a f +。若0)2(=+b a f ，则2 *b a x += 就是方程0)(=x f 的根；否则，若0)2( <+b a f ，由于)(x f 在左半区间?? ? ???+2,b a a 内不变号，所以方程的有根区间变为???? ??+b b a ,2。同理，若0)2(>+b a f ，则方程的有根区间变为??? ?? ?+2,b a a ，从而将新的有根区间记为[]11,b a ，且区间[]11,b a 的长度仅为区间[]b a ,的一半，即2 11a b a b -=-。 第二步：对压缩了的有根区间[]11,b a 又可施行同样的方法，即用中点 2 1 1b a +将区间[]11,b a 再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个新的有根区间[]22,b a ，该区间的长度是区间[]11,b a 的一半。 如此反复可得出一系列有根区间且具有关系[][][] ????k k b a b a b a ,,,11，其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间[]k k b a ,的长度k k k a b a b 2 -= -，当∞→k 时，区间[]k k b a ,的长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一点*x ，显然*x 就是方 程0)(=x f 的根。 8．以方程0)(=x f 的有根区间为[]b a ,，精度要求为ε，试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数k 的计算公式。 解：若事先给定的精度要求为0>ε，则只需ε<-≤ -+1 * 2k k a b x x ，即2 ln 2ln εa b k ->，此时k x 就是满足给定精度要求的近似值，k 为二分法的次数。 9．用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数k （编程） （1）2)(-=x xe x f []1,5.0 0001.0=JD 解：852600.0=k x 12=k （2）343)(2 3 -+-=x x x x f []5.1,1 00001.0=JD 解：499992.1=k x 15=k （3）104)(2 3 -+=x x x f []2,1 0005.0=JD 解：364746.1=k x 10=k （4）1)(3 --=x x x f []5.1,1 00005.0=JD 解：324707.1=k x 13=k 10．若应用二分法求方程02 sin =--x e x π在区间[]1,0上误差不超过 52 1 的近似值，应二分多少次？ 解：其近似根为437500.0，应分5=k 次。 11．迭代法的基本思想是什么？ 解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程0)(=x f 的一个粗糙的初始近似根0x ， 然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。 12．迭代法的具体做法如何？ 解：(1)将方程0)(=x f 改写成等价形式)(x x ?=,在根*x 的附近任取一个初始近似根 0x 。 (2)构造近似根序列：将0x 代入)(x ?计算得到)(01x x ?=，一般01x x ≠，再把1x 作为新的近似根代入)(x ?得到)(12x x ?=，重复上述步骤即可。 13.迭代法的几何意义是什么？ 答：方程()x x ?=的求根问题在几何上就是确定曲线()x y ?=与直线x y =交点* p 的 横坐标* x 。设迭代初值为0x ，曲线()x y ?=上以0x 为横坐标的点为0p ，()0x ?为0p 点的 纵坐标，过0p 点引平行于x 轴的直线，并与直线x y =相交于0P '，其横坐标为()01x x ?=，然后过点0P '引平行线于y 轴的直线，并与曲线()x y ?=的交点记作1p ，重复上述过程可得点列,,,,,21 k p p p 他们横坐标依次由迭代公式()k k x x ?=+1， 1,0=k 所确定。如果 点列,,,,,21 k p p p 逐步逼近* p ，则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。 14．叙述迭代过程收敛定理的内容。 解：假设迭代函数满足下列两个条件 （1）对任意的[]b a x ,∈有b x a ≤≤)(?； （2）存在正数1 则（1）对任意初值[]b a x ,0∈迭代过程)(1k k x x ?=+均收敛于方程)(x x ?=的根* x ，即)(lim * ∞→=k x x k 。 (2)误差事后估计公式为k k k x x L x x --≤-+1* 11 。 15．试构造收敛的迭代公式求解下列方程： （1）4 sin cos x x x += ； （2）x x 24-=。 解：（1）将方程4 sin cos x x x +=改写为4 ) 4sin(2π + = x x ，从而得到迭代公式 0,1,2,k 4 ) 4sin(21=+ = +π k k x x 。 （2）将方程x x 24-=改写为)4ln(x x -=，从而得到迭代公式 ,2,1,0 )4ln(1=-=+k x x k k 。 16．判断迭代法解方程0)2ln()(=+-=x x x f 在[]2,0内的根时所用的迭代过程的收敛性。 解：将方程0)2ln(=+-x x 改写为)2ln(+=x x ，从而得到迭代公式 ,2,1,0),2ln(1=+=+k x x k k 。则)2ln()(+=x x ?为迭代函数。由12 1 )(<+= 'x x ?，由定理3.2可得该迭代法是收敛的。 17．用迭代法计算4 4446666 ++++=s 的近似值。 19．牛顿法的基本思想是什么？具体做法如何？ 解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程 0)(=x f 逐步归结为某种线性方程来求解的方法。 具体做法：设已知方程0)(=x f 有近似根k x ，将)(x f 在k x 作一阶泰勒展开，于是方 程0)(=x f 可近似地表示为0))(()(=-'+k k k x x x f x f 是一个线性方程，设0)(≠'k x f ，则)()(k k k x f x f x x '- =,于是就有牛顿迭代公式 ,2,1,0,) () (1='- =+k x f x f x x k k k k 。 20．牛顿法的几何意义是什么？ 解：牛顿迭代法实质上是用过点))(,(k k x f x 的切线与x 轴交点的横坐标1+k x 来逐步逼 近曲线)(x f y =与x 轴交点的横坐标* x ,所以牛顿法又叫切线法。 22．试证：用牛顿法求方程0)3()2(2 =+-x x 在[]3,1内的根2* =x 是线性收敛的。 证明：由牛顿迭代公式 ,2,1,0,) () (1='- =+k x f x f x x k k k k ，可得，4 36 32)()()(2+++='-=x x x x f x f x x ?，显然，0)2(≠'?，所以该迭代过程是线性收敛的。 23．用牛顿法求方程03 =-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。 解：设0)(3 =-=a x x f ，得牛顿迭代公式为 ,1,0,32 31 ==--=+k x a x x x k k k k ，牛顿迭代函数2332)(x a x x +=?，3 3322)(x a x x -='?，10)(3 <='a ?，所以该迭代公式收敛。 26．正割迭代法的基本思想是什么？具体做法如何？几何意义是什么？ 解：基本思想：用过两点))(,(k k x f x ，))(,(11--k k x f x 的直线的斜率这个差商来代替牛堆迭代公式中的倒数)(k x f '。 具体做法：对方程0)(=x f 经过k 次迭代后得到近似根1-k x ，k x ，从而取 ) ())()(()(11----≈ 'k k k k k x x x f x f x f ，于是牛顿迭代公式变为 )() ()() (111--+--- =k k k k k k k x x x f x f x f x x ，此公式为正割法迭代公式。 几何意义：正割迭代法是用过两点))(,(k k x f x A ，))(,(11--k k x f x B 的直线与x 轴交点的横坐标1+k x 来逐步逼近曲线)(x f 与x 轴交点的横坐标* x ，因此正割迭代法又叫割线法。 27．简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。 解：牛顿迭代法在计算时只需要一个初值0x ，在计算1+k x 只用到前一步的值Xk ，但要 计算)(k x f '；而正割法在计算时需要两个初值0x ，1x ，在计算1+k x 时要用到前两次的迭代值1-k x ，k x ，但不用计算导数。 30．使迭代法加速的方法有哪些？并分别写出它们的迭代公式。 答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法： 艾特肯加速公式： 校正：()K +K X =X ?1 再校正：() 12+K +K X =X ? () ,2,1,0=K 改进：()2 1 2 1 2 221+K +K K +K +K X +X -X X -X +K +K -X =X 斯蒂芬森方法： 迭代：()()();,2,1,0, =K Y =Z X =Y K K K K ?? 加速：()().,2,1,0212 =K -X =X K K K K K X +Y -Z X -Y K +K 第三章 线性方程组的数值解法 1．线性方程组的数值解法有哪两大类？并简述他们的概念。 答：线性方程组的数值解法有两大类： （1）直接法 ：直接法就是在没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运算可求得 方程组精确解的算法。 （2）迭代法：迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，即先给定一个初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更准确值的方法。 2．高斯消去法的基本思想是什么？ 答：高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原来方程组b AX =化为与其 同解的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了。 3．高斯主元素消去法是在何种情况下提出来的？ 答：用高斯消去法解线性方程组b AX =的消元过程中，可能会出现以下两种情况：第一是主元素全是0的情形，致使消元过程无法进行下去；第二即使主元素不为0，但其绝对值很小时作除数可能会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的传播，使计算结果不可靠。所以对于一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵中绝对值大的元素作为主元素。 4．用高斯顺序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程组，并写出高斯顺序消去法的程序。 （1）?????-=--=+-=++44385522321321321x x x x x x x x x ； （2）??? ??=---=-+-=+-0 2321227 43321 321321x x x x x x x x x 。 解：（1）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得： ??? ??=-==→????? ??→????? ??→????? ??211x 4 2 0 09 8 7 05 2 1 213- 10- 7- 09- 8- 7- 05 2 1 24- 4- 3- 18 1 1- 55 2 1 23 21x x ； 利用完全主元素消去法得： ????? ??→????? ??→????? ??→????? ??4 2 3 09 7 8 08 1 - 1 54 3 2 09 8 7 08 1 1- 54- 4 - 3- 15 2 1 28 1 1- 54- 4- 3- 18 1 1- 55 2 1 2 ?????-===→????? ??→1 21x 5- 5 0 09 7 8 08 1 - 1 5231x x ； 利用列主元素消去法得： ??? ??=-==→????? ??→????? ??→????? ??→????? ??2 11x 10 5 0 09 8 7 08 1 1- 54 3 2 09 8 7 08 1 1- 54- 4 - 3- 15 2 1 28 1 1- 54- 4- 3- 18 1 1- 55 2 1 2321x x （2）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得： ??? ? ??? ===→????? ??→????? ??→????? ??21 12x 1 2 0 04 2- 5 07 4 1- 32 2 1 04 2- 5 07 4 1- 30 2- 3- 21- 2- 2 1-7 4 1- 33 21x x ； 利用完全主元素消去法得： ???? ? ??→????? ??→????? ??→????? ??1 1 1- 05 1 3 07 3 1- 41 1 1- 05 1 3 07 3 1- 40 2 3- 2-1- 1- 2 2-7 3 1- 40 2- 3- 21- 2- 2 1-7 4 1- 3 ??? ???? === →????? ??→2 121x 8 4 0 05 1 3 07 3 1- 4123x x ； 利用列主元素消去法得： ??? ???? ===→????? ??→????? ??→????? ??21 12x 1 2 0 04 2- 5 07 4 1- 32 2 1 04 2- 5 07 4 1- 30 2- 3- 21- 2- 2 1-7 4 1- 33 21x x 。 5．用矩阵的三角分解法解下列方程组，并掌握三角分解法的编程思路。 （1）??????????=????????????????????785 20- 2 6- 16- 18 4-8 4 2-321x x x ； （2）?????? ????=????????????????????201814 5 1 3 2 5 2 3 2 1321x x x 。 解：（1）对系数矩阵A 作如下的三角分解： ???? ????????????? ???=??????????332322131211323121u 0 0u u 0u u 1 l l 0 1 l 0 0 1 20- 2 6- 16- 18 4-8 4 2-u 。 根据矩阵的乘法可得： 2211111-=?-=?u u ，4411212=?=?u u ，8811313=?=?u u ； 24211121=?-=?l u l ，1018122221221=?=?+?u u u l ， 3216123231321-=?-=?+?u u u l ；36311131=?-=?l u l ， 123222321231-=?=?+?l u l u l ， 76201333323321331-=?-=?+?+?u u u l u l 。 于是有LU A =?? ?? ??????-??????????=76- 0 032- 10 08 4 21 1- 30 1 20 0 1，则原方程组可表示为 ?? ???? ????=????????????????????-??????????78576- 0 032- 10 08 4 21 1- 30 1 20 0 1321x x x 。解方程组b Ly =，即????? ?????=????????????????????7851 1- 30 1 20 0 1321y y y ，得 ??????????--=1025y 。解方程组y Ux =，即??????????--=????????????????????-102576- 0 032- 10 08 4 2321x x x ，得?? ?? ?? ? ? ? ?????????-=385 9521 190291x 。 （2）对系数矩阵A 作如下的三角分解： ???? ????????????? ???=??????????332322131211323121u 0 0u u 0u u 1 l l 0 1 l 0 0 1 5 1 3 2 5 23 2 1u 。 根据矩阵的乘法可得： 1111111=?=?u u ，2211212=?=?u u ，3311313=?=?u u ； 22211121=?=?l u l ，151********=?=?+?u u u l ， 42123231321-=?=?+?u u u l ；33311131=?=?l u l ， 513222321231-=?=?+?l u l u l ， 2451333323321331-=?=?+?+?u u u l u l 。 于是有LU A =?? ?? ????????????????=24- 0 04- 1 03 2 11 5- 30 1 20 0 1，则原方程组可表示为 ?? ????????=??????????????????????????????20181424- 0 04- 1 03 2 11 5- 30 1 20 0 1321x x x 。解方程组b Ly =，即????? ?????=????????????????????2018141 5- 30 1 20 0 1321y y y ，得 ??????????--=721014y 。解方程组y Ux =，即?? ???? ????--=????????????????????721014 24- 0 04- 1 03 2 1321x x x ，得????? ?????=321x 。 6．用追赶法解下列方程组。 （1）????? ???????=????????????????????? ???0001 2 1- 0 0 1- 2 1- 00 1- 2 1-0 0 1- 24321x x x x ； （2） ????? ???????-=????????????????????????1 21 6 5 3- 0 0 3- 4 2- 00 1- 3 1-0 0 1- 24321x x x x 。 解：（1）由LU A =得： ?? ????????? ???????? ?????=????????? ??? 1 0 0 0 1 0 00 1 00 0 1 0 00 00 0 0 0 0 2 1- 0 0 1- 2 1- 00 1- 2 1-0 0 1- 23 214433221βββαγαγαγα。 于是有,2 3 2,1,211,2221221111=?=+?-=-=?-=?=ααβγγββαα 1,1,3 4 2,1,32133433233222-=?-==?=+?-=-=?-=?βαγααβγγββα 45 2,4344343=?=+?-=?ααβγβ。 从而f Ly =为 ????????????=??????????????????????????????? ?000145 1- 0 00 34 1- 00 0 23 1-0 0 0 24321y y y y ，解得??????????? ???????????=51413121y 。y Ux =为 ??????????? ???????????=??????????????????????????????? ?51413121 1 0 0 043- 1 0 00 32- 1 00 0 21- 14321x x x x ，解得?????????? ????????????=51525354x 。 （2）由LU A =得： ?? ????????? ???????? ?????=????????? ??? 1 0 0 0 1 0 00 1 00 0 1 0 00 00 0 0 0 0 5 3- 0 0 3- 4 2- 00 1- 3 1-0 0 1- 23 214433221βββαγαγαγα。 于是有,2 5 3,1,211,2221221111=?=+?-=-=?-=?=ααβγγββαα 3,3,5 16 4,2,52133433233222-=?-==?=+?-=-=?-=?βαγααβγγββα 16 35 5,161544343=?=+?-=?ααβγβ。 第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b -- 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 38×25×4 42×125×8 25×17×4 （25×125）×（8×4） 49×4×5 38×125×8×3 (125×25)×4 5 ×289×2 （125×12）×8 125×（12×4） 乘法交换律和结合律的变化练习 125×64 125×88 44×25 125×24 25×28 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 357＋288＋143 158＋395＋105 167＋289＋33 129＋235＋171＋165 378＋527＋73 169＋78＋22 58＋39＋42＋61 138＋293＋62＋107 乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c （80＋4）×25 （20＋4）×25 （125＋17）×8 25×（40＋4）15×（20＋3） 乘法分配律正用的变化练习： 36×3 25×41 39×101 125×88 201×24 乘法分配律反用的练习： 34×72＋34×28 35×37＋65×37 85×82＋85×18 25×97＋25×3 76×25＋25×24 乘法分配律反用的变化练习： 38×29＋38 75×299＋75 64×199＋64 35×68＋68＋68×64 其他的一些简便运算。 800÷25 6000÷125 3600÷8÷5 58×101－58 74×99 姓名： （1）125×15×8×4 （2）25×24 （3）125×16 （4）75×16 （5）125×25×32 （6）25×5×64×125 （7）125×64+125×36 （8）64×45+64×71-64×16 （9）21×73+26×21+21 姓名：（1）（720+96）÷24 （2）（4500-90）÷45 （3）6342÷21 （4）8811÷89 （5）73÷36+105÷36+146÷36 （6）（10000-1000-100-10）÷10 （7）238×36÷119×5 （8）138×27÷69×50 （9）624×48÷312÷8 （10）406×312÷104÷203 运算定律练习题 （1）乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 38×25×4 42×125×8 25×17×4 （25×125）×（8×4） 49×4×5 38×125×8×3 (125×25)×4 — 5 ×289×2 （125×12）×8 125×（12×4） (2) 乘法交换律和结合律的变化练习 | 125×64 125×88 44×25 125×24 25×28 （3）加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 357＋288＋143 158＋395＋105 167＋289＋33 129＋235＋171＋165 ~ 378＋527＋73 169＋78＋22 58＋39＋42＋61 138＋293＋62＋107 （4）乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 正用练习 （80＋4）×25 （20＋4）×25 （125＋17）×8 25×（40＋4）15×（20＋3） （5）乘法分配律正用的变化练习： 36×3 25×41 39×101 125×88 201×24 ( （6）乘法分配律反用的练习： 34×72＋34×28 35×37＋65×37 85×82＋85×18 25×97＋25×3 76×25＋25×24 ~ （7）乘法分配律反用的变化练习： 38×29＋38 75×299＋75 64×199＋64 35×68＋68＋68×64 ； ☆思考题：（8）其他的一些简便运算。 800÷25 6000÷125 3600÷8÷5 58×101－58 74×99 【思路导航】在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。 325÷25 =（325×4）÷（25×4） =1300÷100 =13 【练一练1】 （1）450÷25 （2）525÷25 （3）3500÷125 / （4）10000÷625 （5）49500÷900 （6）9000÷225 ! 【经典例题二】计算25×125×4×8 【思路导航】如果先把25与4相乘，可以得到100，同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100和1000相乘就可以了。运用了乘法交换律和结合律。 25×125×4×8 =（25×4）×（125×8） =100×1000 =100000【练一练2】 （1）125×15×8×4 （2）25×24 （3）125×16 （4）75×16 （5）125×25×32 （6）25×5×64×125 ( 《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称 习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为： 作者：李庆扬，王能超，易大义编 出版社：清华大学出版社 出版时间：2008年12月 本书是为理工科大学各专业普遍开设 的“数值分析”课程编写的教材。其内容包 括插值与逼近，数值微分与数值积分，非 线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵 的特征值与特征向量计算，常微分方程数 值解法。每章附有习题并在书末给出了部 分答案，每章还附有复习与思考题和计算 实习题。全书阐述严谨，脉络分明，深入 浅出，便于教学。 本书也可作为理工科大学各专业研究 生学位课程的教材，并可供从事科学计算 的科技工作者参考。 作者：徐萃薇，孙绳武编著 出版社：高等教育出版社 本书为普通高等教育“十一五”国家 级规划教材。本书从服务于多层次、多 专业、多学科的教学需要出发，在选材 上考虑普适性，涉及现代数字电子计算 机上适用的各类数学问题的数值解法以 及必要的基础理论，在材料组织安排上 给讲授者根据教学要求和学生情况适当 剪裁的自由，一些内容还可作为阅读材 料。 新版全书经过整理、润色，多处内容有 所修改，乃至重写。考虑到代数计算在 应用中所占份额较大，是比较活跃的领 域，六至十章改动较大；新增共轭斜量 法、预善共轭斜量法、拟Newton法等；改进了例题设置，增加数量，加强例题间联系；新 增习题参考答案；参考文献收集了国内外内容结构与本书相近的、有影响的、包括新近面世 的一些书籍，并按大学生教材和研究生教材或专著分列，可供读者加深理解和进一步提高使 用。有些对研究工作亦不无裨益。 本书算法描述不拘一格，或用自然语言，或用某种形式语言(以描述某些细节)，便于理解， 也便于编程。本书可作为工科非计算数学专业本科生学习“计算方法”课程的教材。 六年级数学简便计算专项练习题（附答案＋计算方法汇总） 小学阶段（高年级）的简便运算，在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。如果学生没真正理解运算定律、性质，他只能照葫芦画瓢。在实际解题的过程当中，学生的思路不清晰，常出现这样或那样的错误。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。 下面，为大家整理了8种简便运算的方法，希望同学们在理解的基础上灵活运用，不提倡死记硬背哟！ 1.提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2.借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1－4 3.拆分法 顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25 4.加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5.拆分法和乘法分配律结合 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6.利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083 计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021 用简便方法计算下面各题 4.8×0.25 2.4×12.5 1.25×1.6×2.5 4.76×99+4.76 58.5×101-58.5 18.7×99+18.7 2.85×99 4.23×101 5.8×102 5.4×10.1 6.8×9.9 2.5×10.2 12.5×（100+8）9.4×10.1 93.7×0.32+93.7×0.68 2.52×101 1.25×0.7+1.25×1.2+12.5 3.6×2.5 7.2×0.2＋2.4×1.4 12.7×9.9＋1.2710.7×16.1-151×1.07 1、学校图书室长9.7 m，宽5.3 m，用边长0.9 m的正方形瓷砖铺地，70块够吗？（不考虑损耗。） 2、某公司出租车的收费标准如下：收费标准4 km及以内10元，超出4 km （不足1 km按1 km计算）每千米1.2元，某乘客要乘出租车去30 km处的某地，应付车费多少元？ 3小强家的固定电话收费标准如下：前3分钟收费0.4元，超过3分钟每分钟收费0.12元（不足1分钟按1分钟计算）。小强给爷爷和奶奶打电话用时8分钟52秒，他这一次通话的费用是多少？ 4、某市自来水公司供水收费标准如下：每月用水在12吨及以内，每吨收费2.65元；超出12吨部分，每吨3.8元。王琼家八月份用水18吨，付给自来水公司收费人员100元，应找回多少钱？ 5、刘强从家骑车到学校要用0.4小时，刘强的家离学校有多远？如果他改为步行，每小时走4.8km，0.9小时能到学校吗？（骑车：12千米/时） 6、我市某出租车公司租车计费方法如下：乘车路程不超过4km，收费8.5元（起步价）；超过部分按每千米1.5元加收费（不足1km，按1km计算）。爸爸和小亮乘车回家的路程为14.1km，付给出租车司机100元，应找回多少元？ 引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字 四年级下册简便方法计算练习题126×6×8 600÷25÷4 55×36＋64×55 755－122－78 600÷25 （8＋80）×125 125×18 234×80×5 781－499 125×38＋125×30 25×32 4004×25 25×16－25×10 25×16×125 （125＋16）×8 79×99＋79 781×101－781 79×16＋79×78＋79×6 25×101 789×99 800÷125 1736＋403 2000÷125 65＋93×65＋6×65 9999＋999＋99＋9 158+262+138 375+219+381+225 5001－247－1021－232 （181+2564）+2719 378+44+114+242+222 276+228+353+219 (375+1034)+(966+125) (2130+783+270)+1017 99+999+9999+99999 7755－(2187+755) 2214+638+286 3065－738－1065 899+344 2370+1995 3999+498 1883－398 12×25 75×24 138×25×4 (13×125)×(3×8) (12+24+80)×50 704×25 25×32×125 32×(25+125) 88×125 102×76 58×98 178×101－178 84×36+64×84 75×99+2×75 83×102－83×2 98×199 123×18－123×3+85×123 50×(34×4)×3 25×（24+16） 178×99+178 79×42+79+79×57 7300÷25÷4 8100÷4÷75 16800÷120 30100÷2100 32000÷400 49700÷700 《计算方法》课程教学大纲 课程编号： 学时：54 学分：3 适用对象：教育技术学专业 先修课程：高等数学、线性代数 考核方式：本课程考试以笔试为主70%，兼顾学生的平时成绩30%。 使用教材及主要参考书： 使用教材： 李庆扬.《数值分析(第四版)》, 清华大学出版,2014年。 主要参考书： 1.朱建新,李有法.《高等学校教材:数值计算方法(第3版)》,高等教育出版社,2012。 2.徐萃薇,孙绳武.《计算方法引论(第4版)》,高等教育出版社,2015。 一课程的性质和任务 计算方法是教育技术学专业学生的一门专业选修课。作为计算数学的一个重要分支，它是数学科学与计算机技术结合的一门应用性很强的学科，本课程重点介绍计算机上常用的基本计算方法的原理和使用；同时对计算方法作适当的分析。 教学任务：通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理计算机常用数值分析的构造思想和计算方法。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识分析和解决实际问题的能力。 二教学目的与要求 教学目的：通过学习使学生了解数值计算方法的基本原理。了解计算机与数学结合的作用及课程的应用性。为今后使用计算机解决实际问题中的数值计算问题打下基础。 通过理论教学达到如下基本要求。 1．了解误差的概念 2．掌握常用的解非线性方程根的方法 3．熟练掌握线性代数方法组的解法 4．熟练掌握插值与拟合的常用方法 5．掌握数值积分方法 6．了解常微分方程初值问题的数值方法 三学时分配 四教学中应注意的问题 本课程是一门理论性较强、内容较抽象的综合课程，因此面授辅导或自学，将是不可缺少的辅助教学手段，教师在教学的过程中一定要注意理论结合实际，课堂教学并辅助上机实验，必须通过做练习题和上机实践来加深对概念的理解和掌握，熟悉公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。同时应注重面授辅导或答疑，及时解答学生的疑难问题。 五教学内容 第一章绪论（误差） 基本内容: 第一节数值分析研究的对象和特点 第二节数值计算的误差 1.误差的来源与分类 2.误差与有效数字 3.数值运算的误差估计 第三节误差的定性分析与避免误差的危害 1.病态问题与条件数 2.算法的数值稳定性 3.避免误差危害的若干原则 教学重点难点: 重点：数值运算的误差估计。 难点：误差的定性分析与避免误差的危害。 计算方法引论： 微分方程数值解法 ?常微分方程初值问题的数值解法?双曲型方程的差分解法 ?抛物型方程的差分解法 ?橢圆型方程的差分解法 ?有限元方法 第十三章抛物型方程差分解法?初值问题和初边值混合问题 ?微分方程的差分近似 ?边界条件的差分近似 ?几种常用的差分格式 ?差分格式的稳定性 ?二维热传导方程的交替方向法 热传导方程定解问题 ?热传导方程 ?初值问题 ?初边值问题 –u (x ,0)=?(x ), 0≤x ≤1 –Ⅰu (0,t )=g 1(t ), Ⅲu (1,t )=g 2(t ), 2 20, 0, 0≤??(,0)(), u x x x ?=<+∞110 221()() 0()()x x u t u g t x t T u t u g t x λλ==? ??? -=? ?????≤≤? ????+= ?????? 一些数值微分公式 ?一阶差商 ?二阶差商 1(,)(,1)(,)(,)2tt k j u u k j u k j u k t t τ τ?+-''=-?2(,)(,)(,1)(,)2 tt k j u u k j u k j u k t t τ τ?--''=+?2 3(,)(,1)(,1)(,)26 ttt k j u u k j u k j u k t t τ τ?+--''=-?2 2 (4) 22 (,)(1,)2(,)(1,)(,)12xxxx k j u u k j u k j u k j h u x j x h ?+-+-=-? 微分方程的差分近似 ?差商代微商h =1/N ?近似解满足差分方程 –形式1 –形式2 s =τ/h 2 ?截断误差 ,2 (,1)(,) (1,)2(,)(1,)0h u k j u k j u k j u k j u k j b R h ττ+-+-+---=2 (4) 2,1(,)(,)() 212 h tt xxxx bh R u"k t u x j O h τττ=-=+ 0 22 ,1,,1,1,=+----++h u u u b u u j k j k j k j k j k τ 2 (4)2 ,1(,)(,)()212 h tt xxxx bh R u"k t u x j O h ττ τ=-=+,1,1,,1,(2)k j k j k j k j k j u u bs u u u ++-=+-+ 1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 31105.06592001.0-*?≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10?50≤00009260=-.. x x 即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字 1x =2，相对误差限000025.010******** 1)1(1 =??=??=---n r x ε （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x x m -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字 1x =2，相对误差限3 110221 -??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000?<≤-=-*x x x m -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字 4 110921-??=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4， 2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x x m -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6 110921-??=r ε＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？ 解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过 31021-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f +=，则32)(x x f -='，由于 2001—2010年粮食产量数据分析 摘要: 本文搜集了近十年的粮食产量数据，应用最小二乘法原理建立了粮食产量与粮食播种面积的数学模型。通过对模型的分析得出粮食产量变化的原因，提出保障粮食安全的一些措施，并预测了下一年的粮食产量。 关键词: 粮食产量数据；数据拟合；最小二乘法 通过上网及查阅文献，收集了近十年的粮食产量数据，应用最小二乘法原理对数据进行了处理，建立了粮食产量与粮食播种面积之间的数学模型。通过分析模型找出了影响粮食产量的主要因素，针对这些因素提出了一些保障我国粮食安全的措施。其中，本文中所用的最小二乘法原理以及数据拟合方法参考文献[1]和[4].本文数据来源于《中国农业统计年鉴》、国家统计局统计、国家发改委和科技部相关网站。 1.有关数据 2. 模型的设定及预测 2.1 模型的建立 根据上述表格中的数据，作出2001-2010年粮食产量与粮食播种面积变化图 形（如下所示）： 40000 420004400046000480005000052000 54000560002001200220032004200520062007200820092010时间(年) 粮食产量(万吨) 14 14.51515.51616.517 17.5 18播种面积(亿亩) 对比上图中两条曲线的走势可以看出粮食产量大致随着粮食播种面积的变化而变化，尤其是在2003年粮食播种面积大幅度减少的同时粮食产量也明显下降。为了进一步研究这两种量之间的关系，下面建立粮食产量与粮食播种面积之间的散点图。 2001—2010年播种面积与粮食产量散点图（如下） 40000 4500050000550006000014.5 15 15.5 16 16.5 17 粮食播种面积（亿亩） 粮食产量（万吨） 根据散点图可以看出粮食产量随着粮食播种面积的增加而增加，这两种量有一定的正相关性，因此可以把粮食播种面积作为自变量x ，粮食产量作为因变量 y ，初步构造线性函数 bx a y += 数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=????????????。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )；计算方法引论课后答案.
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