初中数学圆的基本概念和性质知识点、经典例题及练习题

B

C

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讲义编号： GE —ZBM 副校长/组长签字： 签字日期：

【考纲说明】

1、理解圆及其有关概念， 知道圆的对称性，了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。

2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。

3、本部分在中考中占5分左右。

【知识梳理】

1.圆的基本概念

定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性：

(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

4.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径

5.圆弧：

(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”

以A,B 两点为端点的弧.记作AB ?

,读作“弧AB ”.

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ?

(用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ?

(用三个字母). 6.垂径定理及其推论:

（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；

（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所

对的劣弧。这五条中可以“知二推三”

7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；

9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论

（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半； （2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

【经典例题】

【例1】下列判断中正确的是（ ）

A. 平分弦的直线垂直于弦

B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧

D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【例2】如果两条弦相等，那么（ ）

A ．这两条弦所对的弧相等

B ．这两条弦所对的圆心角相等

C ．这两条弦的弦心距相等

D ．以上答案都不对

【例3】如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______．

B

A

D

【例4】（08山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【例5】如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=，则A D C ∠的

度数为 ．

【例6】（08年江苏南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是

65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．

这样的监视器 台．

【例7】（2007重庆市）已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，

∠BAC ＝450

。给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.50

，；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧?

AE 是劣弧?

DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。其中正确结论的序号是 。 .

【例8】（08辽宁沈阳）如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上． （1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．

【例9】（2007山东德州）如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中AB ?

上一点，延长

DA 至点E ，

图

使CE CD =． （1）求证：AE BD =；

（2）若AC BC ⊥

，求证：AD BD +=．

【例10】（2006年金华市）如图，已知AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在⊙O 上,且AB ＝5,(1) 求sin ∠BAC 的值;

(2) 如果OE ⊥AC , 垂足为E ,求OE 的长; (3) 求tan ∠ADC 的值.(结果保留根号)

【例11】（2009山西省太原市）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO --的路径运动一周．设OP

为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）

【课堂练习】

1. 如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于 A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°

2. 如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C= 70°． 现给出以下四个结论： ①∠A=45°； ②AC=AB ： ③AE BE =； ④CE ·AB=2BD 2

．

其中正确结论的序号是

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

3. 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（

）

A．10B．20C．30D．40

4. 如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则（）

A. ＝

B. ＞

C. 的度数＝的度数

D. 的长度＝的长度

5.如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）

A. 60°

B. 100°

C. 80°

D. 130°

【课后作业】

1．（2013?温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（）

2．（2013?滨州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）

3．（2012?黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）

4．（2012?鄂州）如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是（）

5．（2011?衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）

6．（2012?德阳）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=（）

7．（2011?重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）

8．（2011?玉溪）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC=50°，则∠D为（）

9．（2011?台湾）如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D 分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）

10．（2011?长春）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（）