幂函数题型及解析
3. 比较下列各组中两个值的大小
幕函数题型及解析
1. (1)下列函数是幕函数的是 ____________
y=x 2
, y=(丄)x
, y=4x 2
, y=x 5
+1, y= (x - 1) 2
, y=x , y=a x
(a > 1) 分析：由幕函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幕
函数的是
y=x 2
和y=x .
y=x 2
, y=(丄)x
, y=4x 2
, y=x 5
+1, y= (x - 1) 2
, y=x , y=a x
(a > 1),七个函数中是幕函
解：由幕函数的定义知, 数的是y=x 2
和y=x ,
2
(2［①y=x +1;②y=2
1 ③y
； ④y= (x - 1) 2
；
⑤y=x 5
； ⑥y=x
x+1
分析：根据幕函数的定义，对以下函数进行判断即可. 解：根据幕函数y=x “，a€ R 的定义知，
①y=x 2
+1不是幕函数，②y=2x
不是幕函数，③y=—=x -2
是幕函数，④y= ( x - 1) 2不是幕函数，⑤y=x 5
是幕函数,
x 2
⑥y=x x+1
不是幕函数；综上是幕函数的为③⑤
2.已知幕函数y=f (x )的图象过点(9, ■) . (1 )求 f (x )的解析式；(2)求 f (25)的值；(3)若 f (a ) =b
(a , b > 0),贝U a 用b 可表示成什么？
分析：(1)设出幕函数f (x )的解析式，根据图象过点(
9
，知求出函数解析式; 出f
(25)的值；(3)根据函数的解析式求出 a 与b 的关系.
(2)根据函数的解析式求
解：(1)设幕函数f (x ) =x t
，:图象过点(9,
(2)T f (x ) = . 一，??? f (25) =25 -0.5
),「0出即3W 」
1
-1
； ( 3)T f (a )
=a -0.5
=b ,.?. a -0.5
= b ,「. a -1
=b 2
,
(1)1.5
，1.7
2 2
_
； (2) 0.71.5
, 0.6 1.5
； (3) ( 1.2) 丁 , ( 1.25)三
-0.24
5、 )与(；)
6
)-0.24
6 -0.3
-
,(—
3
(6)(豆)
分析：由幕函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得. 3
3
1.55 V 1.75
； (2)???幕
函数
“ 、
0.5
2.3
(5) 3.1 , 3.1
3
解：(1 )???幕函数y=x 5在(0, -1.5 -1.8
；(7) 0.6 2
, 0.6 3
； (8)(一)
+s)单调递增，?
2
y=x 15 在(0,
2
+s)单调递增,
? 0.7 1.5
> 0.6 1.5
； (3)) T 幕函数 y=x 3 在(-g,
0)单调递增，?
( 1.2) 3 > ( 1.25) 3 ； (4)T 0V-
V 1,
-0.24 > -丄,
4
-0.24
?■)
0.24
<(勢
6
0.5 2.3
；(5) 3.1 V 3.1
； (6)
-1.5
'
- 1.8 2
3
>(二) ；(7) 0.6 > 0.6 ；
?V
(二)
4. 若函数y= ( m i +2m- 2) x m
为幕函数且在第一象限为增函数，求 m 的值
②已知幕函数y= (m 2- m - 1) x m2 2m 3,当x €( 0, +^)时为减函数，求幕函数 分析：根
据幕函数的性质，列出不等式组，求出 m 的值即可
解：①???函数y= ( m+2m- 2) x m
为幕函数且在第一象限为增函数，? ②解：???幕函数 y= (m 2-m - 1) x m2 2m 3,.「m 2-m - 1=1，解得 函数，?当m=2
时，m 2-2m-3= - 3,幕函数为y=x -3，满足题意；当 足题意；综上幕函数 y=x -3
5. 幕函数y= ( m - 3m+3 乂“是偶函数，求 m 的值 分析：根据幕函数的定义先求出
m 的值，结合幕函数是偶函数进行判断即可.
m i +2m-2=1 且 m > 0;解得 m=1
m=2，或 m= - 1 ;又 x €( 0, +^) m=-1时，m -2m-3=0 ,幕函数为y=x ",不满
时y 为减 0
6.求函数y x 3的定义域和值域.
2
8.已知幕函数y= x4 3m m 分
析：由题意得4-3m-m2> 0
解得-4v m< 1，又因为图象关于
-1, - 2, - 3，即可画出图象.
解：由题意得4 - 3m-卅>0，即有(m+4 ( m- 1)v 0，解得-4v m< 1,又因为图象关于y轴对称，所以4 - 3m -m必须为偶数，所以m=0 - 1，- 2,- 3, m=- 3, y=x4, m=- 2, y=x6, m=- 1, y=x6,
m=0 y=x4其图象如图：
2
9.已知函数丫=垃卅一缶7 (n € Z)
的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于
函数图
象.
分析：由题意可得，可得幕指数n2- 2n-3为负数，且为偶数?由于当n=1时,
幕指数n2- 2n-3=- 4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象.
n=1时，幕指数n2- 2n- 3=- 4，满足条件，当n=3时，n2- 2n- 3=0, _ 」 , ________ 2
解：.??函数是幕函数，? m-
3m+3=1,
m=2时，y=x2是偶函数，满足条件，即
即mi - 3m+2=0则m=1或m=2当m=1时，y=x是奇函数，不满足条件.当
m=2
分析：本题考察幕函数的概念及性质，把
2
解：?函数y= x 3
y=x3化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域.
丄
7.求函数y=0.2-x2-3X+4的定义域、值域和单调区间.
分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可.
4
??? XM 0,且y>0；???函数y的定义域是｛x| x丰0｝，值域是｛y|y>0｝
解：令 f (x) = - x2- 3x+4= -( x2+3x+亠)
4
+1递减，?函数y=0.2 -x2 ― 3x+4 升 /
在(-8,
?)递减，在(-—+m
y=0.2 -x2- 3x+4的定义域是R、值域是［+m),在(-汽-仝)递减，在(-
2
、、-2 )递增，? ?
ymin = |- -
■
■
一，+R)递增
y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象
y轴对称，所以4 - 3m- m必须为偶数，故m=0,解：已知函数y=(n€Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，可得幕指数
(m€ Z)的图象与
y轴对称，求n的值，并画出
2n- 3为非正数，且为偶数?由于当
条件故函数为y=x
满足
+丄
4
，?函数
4,或y=x0，它的图象如图所示：
10.已知幕函数y=x
m2(m€ N)的图象与x, y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象.
分析：由题意利用幕函数的性质可得 m € N, m- 2< 0,且m- 2为偶数，由此求得 m 的值.
解：???幕函数y=x m2
(m € N )的图象与x , y 轴都无交点，且关于 y 轴对称，.??①m- 2v 0, m- 2为偶数，故m=0 即幕函数y=x -2
，它的图象如右图所示.或② m- 2=0, m=2,此时y=x 0
, (x 丰0),它的图象如图所示
解出即可.
解：不等式 0.64 2m+3
< 1.25 3m
,即为 0.8
2 (2m+3)
< (丄)3m
，即有(二)「
(4m+6)
< 隹)3m
，由于 y=(旦)x
在 R 上递增，
4 』
4
4
则-(4m+6 < 3m,解得，01>-三，故实数 m 的取值范围是(- 寻，+^)
14.已知幕函数f (工)二芒‘乜CmE 『).(1)试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)
若该函数还经过点
a )> f (a - 1)的实数a 的取值范围.
分析：(1 )将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幕函数的性质知单调性 (2)将点的坐标代入列出方程解得 m 利用函数的单调性去掉法则 f ,列出不等式解得，注意定义域. 解：(1) v m+m=m(m+1), m € N 二nf+m
为偶数，二
x >0，所以函数定义域为［0 , +Q 由幕函数的性质知：其函
J_ 数在
定义域内单调递增.(2)依题意得：匚-J =
,
???1<
呂今，故a 的取值范围为：［1,曾)
11. 已知幕函数
分析：由幕函数的概念与该函数为偶函数的性质可知， 解：???幕函数 2m- 3为偶数 当m=- 1时， m 的值
m - 2m- 3 W 0且m - 2m- 3为偶数，从而可得答案. (m € Z )的图象与x 轴，y 轴没有交点，且关于 y 轴对称，二 卅-2m- 3< 0且nf - y= m
€ Z ),由 m - 2m — 3< 0 得：-1W m W 3，又 m € Z ,「. m=— 1, 0, 1, 2, 3. m - 2m- 3=1+2
- 3=0,为偶数，符合题意；当 m=0时，m - 2m- 3= - 3,为奇数，不符合题意；当 m=2时，m i - 2m- 3=4- 4 - 3=- 3,为奇数，不符合题
m=1时，卅-2m- 3=1 - 2 - 3= - 4,为偶数，符合题意；当 意；当m=3时， 12. 已知幕函数 画出它的图象. 分析：由题意知，
解：幕函数y=x
m - 2m- 3=9 - 6 - 3=0,为偶数，符合题意.综上所述，
m=- 1, 1, 3 y=x m
2「2m-3
(m € Z )的图象与x 、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求 m 的值，并且 3m
，再由y= (―) x
在R 上递增，得到-(4m+6 < 3m,
4
(2 - aZ>a - 1
[a - 1^0
什加I 忒2)
(4m+6
3
< 1.25 3m
,即为(_)
卅-2m- 3< 0,且m 2
- 2m- 3为奇数，解此不等式组可得 m 的值. m -2m3
(m € Z )的图象与x 、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称， /? vm - 2m- 3< 0,且m 2
分析：不等式0.64
2m+3
???m=1( m € N*)由已知
得: